Gleichsetzungsverfahren

Gleichsetzungsverfahren Übung

• Bestimme die Lösung des linearen Gleichungssystems.

  Tipps

  Notiere rechts neben den Gleichungen den Umformungsschritt für die nächste Zeile.

  Die erste Zeile entsteht durch Gleichsetzung der beiden Gleichungen.

  Die linke Seite der ersten Zeile ist die rechte Seite der Gleichung $\text{I}$.

  Lösung

  Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Sind zwei Gleichungen mit zwei Variablen jeweils nach derselben Variablen aufgelöst, so kannst du diese Variablen bzw. die jeweils anderen Seiten der Gleichungen gleichsetzen. So erhältst du eine Gleichung, in der nur noch eine Variable vorkommt. Diese kannst du lösen, indem du die Gleichung nach der Variablen auflöst. Den Wert dieser ersten Variablen kannst du dann in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen und den Wert der zweiten Variablen ausrechnen.

  Hier ist die vollständige Rechnung:

  $ \begin{array}{rrcl} \text{I}: & y &=& 6x-5 \\ \text{II}: & y &=& 2x+15 \end{array} $

  Gleichsetzen:

  $ \begin{array}{rcll} 6x-5 &=& 2x+15 & | -2x \\ 4x-5 &=& 15 & | +5 \\ 4x &=& 20 & | :4 \\ x &=& 5 & \\ \end{array} $

  Einsetzen:

  $ \begin{array}{rcl} y &=& 6 \cdot 5-5 \\ y &=& 25 \end{array} $

  Lösung:

  $(x|y) = (5|25)$

  Probe:

  $ \begin{array}{rrcl} \text{I}: & 25 &=& 6\cdot 5-5 \\ \text{II}: & 25 &=& 2 \cdot 5+15 \end{array} $

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Jede Lösung eines linearen Gleichungssystems mit den Variablen $x$ und $y$ ist ein Paar konkreter Zahlen.

  Beim Wertepaar $(x|y) =(5|25)$ des linearen Gleichungssystems

  $\begin{array}{rrcl} \text{I}: & y &=& 6x-5 \\ \text{II}: & y &=& 2x + 15 \end{array}$

  handelt es sich nicht um zwei Lösungen, sondern um eine Lösung.

  Bestimme alle Lösungen des linearen Gleichungssystems

  $\begin{array}{rrcl} \text{I}: & y &=& x-1 \\ \text{II}: & y &=& x+1 \end{array}$

  Lösung

  Folgende Sätze sind richtig:

  • „Hat ein lineares Gleichungssystem mehr als eine Lösung, so hat es unendlich viele Lösungen.“ Denn ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine oder genau eine oder unendlich viele Lösungen.

  • „Die beiden Gleichungen eines linearen Gleichungssystems kannst du gleichsetzen, wenn sie nach derselben Variablen aufgelöst sind.“ Denn das Gleichsetzen nutzt gerade aus, dass bei beiden Gleichungen auf einer Seite nur die Variable steht, und zwar bei beiden Gleichungen dieselbe.

  • „Jede Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen besteht aus zwei Werten, einem für jede Variable.“ Das genau bedeutet es, eine Lösung des Gleichungssystems anzugeben: Für jede Variable eine Zahl anzugeben, so dass durch Einsetzen dieses Zahlenpaares in die Gleichungen beide Gleichungen erfüllt werden.

  Folgende Sätze sind falsch:

  • „Es gibt ein lineares Gleichungssystem mit genau zwei Lösungen.“ Jedes lineare Gleichungssystem hat entweder keine oder genau eine oder unendlich viele Lösungen.

  • „Jedes lineare Gleichungssystem hat mindestens eine Lösung.“ Das lineare Gleichungssystem $y=x+1$ und $y=x-1$ hat keine Lösung, denn das Gleichsetzungsverfahren führt auf die falsche Gleichung $1=-1$.

  • „Das Gleichsetzungsverfahren ist die einzige Möglichkeit, ein lineares Gleichungssystem zu lösen.“ Das Gleichsetzungsverfahren ist nur ein Verfahren unter mehreren. Es gelingt nur dann, wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind.

  • „Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten hat auch zwei Lösungen.“ Es gibt kein lineares Gleichungssystem mit genau zwei Lösungen. Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen kann entweder keine oder eine oder unendlich viele Lösungen haben.

• Bestimme die Lösung.

  Tipps

  Notiere rechts neben den Gleichungen die Umformungsschritte zur nächsten Zeile.

  Jede Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen besteht aus zwei Werten.

  Lösung

  Ein lineares Gleichungssystem kannst du mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen, wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind. Setzt du die jeweils anderen Seiten gleich, so erhältst du eine Gleichung mit einer Variablen. Das Auflösen nach dieser Variablen liefert dir den konkreten Wert für diese Variable. Setzt du den Wert in eine der beiden Gleichungen ein, so erhältst du den konkreten Wert für die andere Variable. Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist das Wertepaar $(x|y)$ mit den konkreten Werten, die du berechnet hast. Bei der Berechnung hast du die Existenz einer Lösung vorausgesetzt und ihre Eindeutigkeit bewiesen. Mit der Probe, also dem Einsetzen beider konkreten Werte in beide Gleichungen, zeigst du, dass das Wertepaar tatsächlich eine Lösung ist und damit insbesondere die Existenz einer Lösung.

  Hier ist die vollständige Rechnung:

  Lineares Gleichungssystem:

  $ \begin{array}{rrcll} \text{I} & y &=& 2x-3 \\ \text{II} & y &=& -2x+1 \end{array} $

  Gleichsetzen:

  $ \begin{array}{rcll} 2x-3 &=& -2x+1 & | +2x \\ 4x-3 &=& 1 & | +3 \\ 4x &=& 4 & | :4 \\ x &=& 1 \\ \end{array} $

  Einsetzen:

  $ \begin{array}{rcl} y &=& 2 \cdot 1-3 \\ y &=& -1 \end{array} $

  Lösung:

  $ \begin{array}{rcl} (x|y) &=& (1|-1) \end{array} $

  Probe:

  $ \begin{array}{rrcll} \text{I} & -1 &=& 2\cdot 1-3 \\ \text{II} & -1 &=& -2 \cdot 1+1 \end{array} $

• Erschließe die Lösungen der linearen Gleichungssysteme.

  Tipps

  Setze die beiden rechten Seiten jedes Gleichungssystems gleich und löse die resultierende Gleichung nach der verbleibenden Variablen auf.

  Setze zur Probe deine Lösung in beide Gleichungen ein.

  Lösung

  Mit dem Gleichsetzungsverfahren kannst du lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen lösen, wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind. Hier sind alle Gleichungen jeweils nach $y$ aufgelöst. Durch die Gleichsetzung der rechten Seiten erhältst du eine Gleichung, in der nur noch die Variable $x$ vorkommt. Du kannst die Gleichung nach $x$ auflösen und erhältst so schon den ersten der beiden gesuchten Werte. Setzt du diesen in eine der beiden Gleichungen des Gleichungssystems ein, so findest du den Wert für die zweite Variable.

  Beispiel 1:

  Betrachten wir das folgende lineare Gleichungssystem:

  $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& 3x-5 \\ \text{II} & y &=& 2x -3 \end{array} $

  Durch das Gleichsetzungsverfahren erhalten wir die Gleichung $3x-5=2x-3$, die wir dann nach $x$ auflösen können zu der Gleichung $x=2$. Setzt du dies wieder in die erste Gleichung ein, so ergibt sich $y=3\cdot 2-5=1$.

  Die Lösung ist also $(x|y)=(2|1)$.

  Du kannst die Lösung durch Einsetzen in das Gleichungssystem überprüfen: In der ersten Gleichung erhältst du $y =3\cdot 2-5 = 1$ und in der zweiten $y= 2\cdot 2 -3 = 1$. Somit sind beide Gleichungen erfüllt.

  Für die anderen Gleichungssysteme genügt es auch, die angegebenen Lösungen durch Einsetzen zu prüfen:

  Beispiel 2:

  Als nächstes betrachten wir das folgende lineare Gleichungssystem:

  $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& 3x+2 \\ \text{II} & y &=& 4x +2 \end{array} $

  Mit dem Gleichsetzungsverfahren kommst du auf die Lösung $(x|y) = (0|2)$. Einsetzen in die Gleichungen ergibt $y =3\cdot 0+2 =2$ in der ersten Gleichung und $y = 4\cdot 0 +2 =2$ in der zweiten.

  Beispiel 3:

  Versuchen wir nun das folgende lineare Gleichungssystem zu lösen:

  $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& x \\ \text{II} & y &=& x -6 \end{array} $

  Das Gleichsetzungsverfahren zeigt, dass das lineare Gleichungssystem keine Lösung besitzt. Denn das Gleichsetzungsverfahren liefert die Gleichung $x=x-6$. Subtraktion von $x$ liefert $0=-6$, was offensichtlich falsch ist.

  Beispiel 4:

  Wenden wir schließlich das Gleichsetzungsverfahren auf folgendes lineare Gleichungssystem an:

  $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=&-5x-7 \\ \text{II} & y &=& x -1 \end{array} $

  Das Gleichsetzungsverfahren ergibt die Lösung $(x|y) =(-1|-2)$. Die Probe zeigt, dass dieses Wertepaar beide Gleichungen erfüllt: In der ersten Gleichung erhältst du $y = (-5) \cdot (-1)-7 =5-7 = -2$ und in der zweiten Gleichung $y= (-1) -1 = -2$.

• Überprüfe die Lösung.

  Tipps

  Setze den Wert $5$ an jeder Stelle für $x$ ein.

  Hier ist eine Beispielrechnung: Das Wertepaar $(x|y) =(1|-1)$ löst das lineare Gleichungssystem

  $\begin{array}{llll} \text{I} & y &=& 2x-3 \\ \text{II} & y &=& - x + 0 \end{array}$

  Denn Einsetzen von $x=1$ in die beiden Gleichungen ergibt:

  $\begin{array}{lll} -1 &=& 2\cdot 1-3 \\ -1&=& -1+ 0 \end{array}$

  Einsetzen von $x=5$ in die rechte Seite der ersten Gleichung ergibt den Term $6 \cdot 5-5$.

  Lösung

  Die Probe dient einerseits dazu, eine zuvor gefundene Lösung eines linearen Gleichungssystems zu überprüfen, dass also die angegebenen Werte wirklich beide Gleichungen lösen. Andererseits zeigt erst die Probe, dass eine Lösung des Gleichungssystems existiert.

  Bei der Probe setzt du die gegebenen oder gefundenen Werte in die beiden Gleichungen des Gleichungssystems ein. Die Probe ist erfolgreich, wenn beide Gleichungen nach dem Einsetzen eine offensichtlich richtige Gleichung ergeben. Ist dies nicht der Fall, so zeigt die Probe, dass das eingesetzte Wertepaar $(x|y)$ keine Lösung des Gleichungssystems ist.

  Durch Einsetzen von $(x|y) = (5|25)$ in das lineare Gleichungssystem folgt:

  $\begin{array}{llll} \text{I} & y &=& 6x-5 \\ \text{II} & y &=& 2x+15 \end{array}$

  $\begin{array}{llll} \text{I} & 25 &=& 6\cdot 5-5 \\ \text{II} & 25 &=& 2 \cdot 5+15 \end{array}$

  Da beide Gleichungen offensichtlich richtig sind, ist $(x|y) = (5|25)$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems. Tatsächlich ist dies die einzige Lösung. Das kannst du aber an der Probe nicht erkennen, sondern dazu musst du das lineare Gleichungssystem, z. B. mit dem Gleichsetzungsverfahren, lösen.

• Analysiere die Gleichungssysteme.

  Tipps

  Du kannst die rechten Seiten der Gleichungen nur dann gleichsetzen, wenn sie nach derselben Variablen aufgelöst sind.

  Lösung

  Folgende Gleichungen lassen sich mit dem Gleichsetzungsverfahren eindeutig lösen:

  $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& x-2 \\ \text{II} & y &=& 2x-1 \end{array} $

  Gleichsetzen liefert die Gleichung $x-2=2x-1$ mit der Lösung $x=-1$. Eingesetzt in die erste Gleichung ergibt sich $y=-3$.

  $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& 2x-2 \\ \text{II} & y &=& 3x-2 \end{array} $

  Das Gleichsetzungsverfahren ergibt die Lösung $(x|y) =(0|-2)$.

  $ \begin{array}{rll} \text{I} & x &=& 3y-2 \\ \text{II} & x &=& 2y-3 \end{array} $

  Gleichsetzen führt auf die Gleichung $3y-2=2y-3$ mit der eindeutigen Lösung $y=-1$. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt $x=-5$.

  Folgende Gleichungen lassen sich nicht mit dem Gleichsetzungsverfahren oder nicht eindeutig lösen:

  $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& x-2 \\ \text{II} & x &=& y-2 \end{array} $

  Die beiden Gleichungen sind nicht nach derselben Variablen aufgelöst und können daher nicht gleichgesetzt werden. Löst du das Gleichungssystem mit einem anderen Verfahren, so findest du, dass es keine Lösung hat.

  $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& x-1 \\ \text{II} & x &=& y+1 \end{array} $

  Auch bei diesem linearen Gleichungssystem sind die beiden Gleichungen nicht nach derselben Variablen aufgelöst, so dass du das Gleichsetzungsverfahren nicht direkt anwenden kannst. Löst du die zweite Gleichung nach der Variablen $y$ auf, so ist sie mit der ersten identisch. Das lineare Gleichungssystem hat daher unendlich viele Lösungen.

  $ \begin{array}{rll} \text{I} & y &=& 2x-2 \\ \text{II} & y &=& 2x-3 \end{array} $

  Das Gleichsetzungsverfahren führt auf die Gleichung $2x-2=2x-3$. Dazu äquivalent ist die Gleichung $2=3$. Es gibt also kein $x$, das die Gleichung $2x-2=2x-3$ löst. Das lineare Gleichungssystem hat demnach keine Lösung.

  $ \begin{array}{rll} \text{I} & x &=& 3y-2 \\ \text{II} & x &=& 3y-3 \end{array} $

  Das Gleichsetzungsverfahren führt auf die Gleichung $3y-2=3y-3$ bzw. $-2=-3$. Das lineare Gleichungssystem hat daher keine Lösung.