Baumdiagramme – Übung

Baumdiagramme – Übung Übung

• Stelle das Gegenereignis im Baumdiagramm dar.

  Tipps

  Das Gegenereignis besteht aus allen Pfaden, die nicht zum Ereignis selbst gehören.

  Beispiel:

  'Zweimal falsch' ist das Gegenereignis zu 'ein- oder zweimal richtig'.

  Lösung

  Das Gegenereignis umfasst immer alle Pfade, die nicht zum Ereignis gehören. Jeder Pfad gehört also entweder zu einem Ereignis selbst oder zu seinem Gegenereignis. Daher müssen die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis zusammen stets $1$ ergeben.
  Umfasst ein Ereignis sehr viele Pfade, so ist es häufig einfacher, die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis zu bestimmen, da wir hierzu nur genau die Pfade betrachten müssen, die nicht zum gesuchten Ereignis gehören.

  In unserem Beispiel ist nach der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 'mind. $1$ x $G$' gesucht. Das Gegenereignis dazu ist 'keinmal $G$', oder anders gesagt 'zweimal $\bar{G}$'. Den zugehörigen Pfad finden wir ganz rechts im Baumdiagramm, wie in der Abbildung. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeiten mit der Pfadregel:

  $P(\bar{G}\bar{G}) = \frac{8}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{28}{45}$

  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann folgendermaßen:

  $P(\text{mind. } 1 \text{ x } G) = 1 - P(\bar{G}\bar{G}) = 1 - \frac{28}{45} = \frac{17}{45} \approx 0,3778 = 37,78\,\%$

• Nenne Tipps und Tricks zur Berechnung am Baumdiagramm.

  Tipps

  Das Gegenereignis besteht immer aus allen Pfaden, die nicht zum gesuchten Ereignis gehören.

  Beispiel:

  Baumdiagramm für das Ereignis 'mind. einmal Sechs'.

  Lösung

  Baumdiagramme helfen uns, mehrstufige Zufallsexperimente zu veranschaulichen. Wir können mit ihrer Hilfe auch die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse berechnen. Dabei können wir einige Tipps und Tricks anwenden, um Baumdiagramme möglichst effektiv einzusetzen:

  • Überlege, ob es sich um einen Versuch mit oder ohne Zurücklegen handelt.
  • Fasse Pfade zu für uns relevanten Ereignissen zusammen.
  • Skizziere nur wichtige Ausschnitte des Baums.
  • Nutze die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.

  richtige Aussagen:

  Es gibt die Möglichkeit, mehrere Pfade einer Stufe zu einem Pfad zusammenzufassen, indem man die Wahrscheinlichkeiten addiert.
  In dem Diagramm in der Abbildung wurden zum Beispiel die Pfade für $1$, $2$, $3$, $4$ und $5$ zu nicht $6$ zusammengefasst, da nur diese Unterscheidung für die Fragestellung relevant ist.

  Manchmal ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von $1$ zu subtrahieren.
  Wenn wir im Baum aus der Abbildung alle Pfade markieren, die zum Ereignis 'mind. einmal Sechs' gehören, dann sind das sieben Pfade. Das Gegenereignis besteht also nur aus einem Pfad und kann daher leichter bestimmt werden.

  falsche Aussagen:

  Beim Erstellen des Baumdiagramms ist es unwichtig, ob es sich um ein Zufallsexperiment mit oder ohne Zurücklegen handelt.
  Beim Ziehen mit Zurücklegen bleiben die Möglichkeiten in jeder Stufe erhalten und die Wahrscheinlichkeiten sind in jeder Stufe gleich, da sich die Ausgangssituation nicht verändert. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die Ausgangssituation abhängig davon, was schon gezogen wurde. Dadurch verändern sich die Wahrscheinlichkeiten. Es kann auch sein, dass eine Möglichkeit wegfällt, weil zum Beispiel schon alle roten Kugeln gezogen wurden.

  Um Wahrscheinlichkeiten mit einem Baumdiagramm zu berechnen, müssen wir immer den vollständigen Baum zeichnen.
  Es ist auch ausreichend nur die relevanten Teile des Baums zu zeichnen. Manchmal reicht auch schon ein Pfad aus, um eine Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.

• Beschreibe die Zufallsversuche, zu denen die Baumdiagramme gehören.

  Tipps

  An der Anzahl der Stufen des Baums erkennst du, wie oft ein Zufallsversuch wiederholt wurde.

  Beispiel:

  Das Baumdiagramm hat zwei Stufen. In jeder Stufe gibt es die beiden Möglichkeiten Zahl und Sofa.
  $\rightarrow$ Eine Münze wird zweimal geworfen.

  Beim Werfen einer Münze gibt es in jedem Wurf immer genau zwei Möglichkeiten.

  Lösung

  Bei einem Baumdiagramm gibt die Anzahl der Stufen an, wie oft ein Zufallsversuch wiederholt wird oder wie viele Stufen das zugehörige mehrstufige Zufallsexperiment hat. Du kannst in jeder Stufe erkennen, zwischen welchen Möglichkeiten unterschieden wird. An den Wahrscheinlichkeiten kannst du gegebenenfalls ablesen, ob es sich um Ziehen mit oder ohne Zurücklegen handelt. Beim Ziehen mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten in jeder Stufe gleich. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten.

  An dem Baumdiagramm im Bild können wir erkennen, dass es drei Stufen hat. In jeder Stufe werden die Möglichkeiten Sechs würfeln und keine Sechs würfeln unterschieden. Die Wahrscheinlichkeiten sind in jeder Stufe gleich.
  $\rightarrow$ Ein Würfel wird dreimal geworfen.

  Beispiel 1:
  Das Baumdiagramm hat zwei Stufen. In beiden Stufen gibt es die Möglichkeiten $L$ (links) und $R$ (rechts), die Wahrscheinlichkeiten sind in beiden Stufen gleich.
  $\rightarrow$ Tom biegt an zwei Weggabelungen links oder rechts ab.

  Beispiel 2:
  Das Baumdiagramm hat drei Stufen. In jeder Stufe gibt es die Möglichkeiten Zahl und Sofa, die Wahrscheinlichkeiten sind in allen Stufen gleich.
  $\rightarrow$ Eine Münze wird dreimal geworfen.

  Beispiel 3:
  Das Baumdiagramm hat zwei Stufen. Es wird aus einer Schale mit einer blauen und einer gelben Kugel gezogen. In beiden Stufen gibt es die Möglichkeiten blau und gelb. Da die Schale nur je eine blaue und eine gelbe Kugel enthält, es aber möglich ist, diese Farben je zweimal zu ziehen, werden die Kugeln nach dem ersten Zug zurückgelegt.
  $\rightarrow$ Zwei Kugeln werden mit Zurücklegen gezogen.

  Beispiel 4:
  Das Baumdiagramm hat zwei Stufen. In beiden Stufen gibt es die Möglichkeiten Schere, Stein und Papier.
  $\rightarrow$ Ben spielt zwei Runden 'Schere, Stein, Papier'.

  Beispiel 5:
  Das Baumdiagramm hat zwei Stufen. In beiden Stufen gibt es die Möglichkeiten Mango und Kräuter. Die Wahrscheinlichkeiten sind für den zweiten Teebeutel anders, als bei der ersten Ziehung, da sich die Anzahl und die Verteilung der Teebeutel ändert. Der zuerst gezogene Beutel wird also nicht zurückgelegt.
  $\rightarrow$ Zwei Teebeutel werden ohne Zurücklegen gezogen.

• Entscheide, wie du die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen kennst.

  Tipps

  Überlege dir, welche der drei gezogenen Kugeln für das Ereignis wichtig sind.

  Entscheide, welche Eigenschaften (Farbe oder Nummer) der Kugeln für das Ereignis interessant sind.

  Um eine Summe größer als $10$ zu erreichen muss die $9$ gezogen werden. Diese kommt nur auf der grünen Kugel vor.

  Lösung

  Baumdiagramme helfen uns, mehrstufige Zufallsexperimente zu veranschaulichen. Wir können mit ihrer Hilfe auch die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse berechnen. Dabei kann es ausreichen, nur einen Teil des Baums zu zeichnen oder Ereignisse so zusammenzufassen, wie sie für die Fragestellung relevant sind.

  Wir betrachten das Zufallsexperiment Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit $\bf{10}$ Kugeln. Davon sind je drei Kugeln in den Farben rot ($R$), blau ($B$) und orange ($O$) mit den Zahlen $1$, $2$ und $3$ beschriftet. Eine grüne Kugel ($G$) trägt die Nummer $9$.

  Wir überlegen uns, wie wir die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen können:

  Die zweite Kugel ist grün.
  Hier interessiert uns nur die Farbe der zweiten Kugel. Da es nur eine grüne Kugel gibt, müssen die erste und die dritte Kugel eine andere Farbe haben.
  $\Rightarrow P(P(\bar{G}G\bar{G}))$

  Alle drei Kugeln haben dieselbe Farbe.
  Hier ist nur die Farbe der Kugeln relevant. Damit alle drei Kugeln dieselbe Farbe haben, müssen es drei rote, drei blaue oder drei orangene Kugeln sein. Drei grüne Kugeln sind nicht möglich, da nur eine grüne Kugel in der Urne liegt.
  $\Rightarrow P(RRR) + P(BBB) + P(OOO)$

  Nicht alle drei Kugeln haben dieselbe Zahl.
  Hier sind die Zahlen auf den Kugeln relevant. Da es hier sehr viele Möglichkeiten gibt, arbeiten wir mit dem Gegenereignis: Alle drei Kugeln haben dieselbe Zahl.
  $\Rightarrow 1- \lbrack P(111) + P(222) + P(333) \rbrack$

  Die Summe der Zahlen auf den Kugeln ist größer als $10$.
  Für eine Summe größer als $10$ muss die grüne Kugel mit der Zahl $9$ gezogen werden, da ohne diese die maximale Summe $3 + 3 + 3 = 9$ ist. Wir können das Ereignis also auch folgendermaßen definieren: Die grüne Kugel wird gezogen. Die grüne Kugel kann dabei an einer beliebigen Position gezogen werden.
  $\Rightarrow P(G) + P(\bar{G}G) + P(\bar{G}\bar{G}G)$

  Die beiden anderen Terme beschreiben die folgenden Ereignisse:

  • $P(123) + P(132) + P(213) + P(231) + P(312) + P(321) \rightarrow$ Die Kugeln zeigen die Zahlen $1$, $2$ und $3$.
  • $P(\bar{R}\bar{R}\bar{R}) + P(\bar{B}\bar{B}\bar{B}) + P(\bar{O}\bar{O}\bar{O}) \rightarrow$ Mindestens eine Farbe ist nicht vertreten.

• Vervollständige die Pfadregel und die Summenregel.

  Tipps

  Der Name Summenregel verrät schon etwas über die Rechenoperation, die hier verwendet wird.

  Jeder Pfad in einem Baumdiagramm entspricht einem Elementarereignis.

  Lösung

  Beim Berechnen von Wahrscheinlichkeiten mithilfe eines Baumdiagramms helfen uns die folgenden Regeln:

  Pfadregel:
  Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des entsprechenden Pfades.

  Summenregel:
  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu dem entsprechenden Ereignis führen.

  Wir können ihre Verwendung am Beispiel des Baumdiagramms für den zweifachen Münzwurf aus der Abbildung veranschaulichen. Jeder Pfad des Baums entspricht einem Elementarereignis. Diese sind mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit rechts neben den Baumdiagramm aufgeführt. Diese Wahrscheinlichkeiten wurden über die Pfadregel bestimmt. Sie sind also das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades:
  $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

  Wollen wir die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnen, dass sich aus mehreren Elementarereignissen zusammensetzt, dann benutzen wir die Summenregel. Zum Beispiel erhalten wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweiten Wurf Kopf fällt, indem wir die Wahrscheinlichkeiten für (Kopf, Kopf) und (Zahl, Kopf) addieren:
  $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

• Berechne die Wahrscheinlichkeit beim Minilotto '3 aus 29'. Nutze dazu ein geeignetes Baumdiagramm.

  Tipps

  Zeichne ein passendes Baumdiagramm und markiere die Pfade, die zu einem Ereignis gehören.

  Wenn ein Ereignis sehr viele Pfade beinhaltet, ist es geschickt, mit der Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis zu rechnen.

  Baumdiagramm:

  Lösung

  Beim Minilotto werden aus $29$ verschiedenen Kugeln drei ohne Zurücklegen gezogen. Wir zeichnen dazu das Baumdiagramm in der Abbildung. Die einzelnen Stufen entsprechen den Kugeln, die nacheinander gezogen werden. Bei jeder Kugel kann die Zahl mit einem Tipp übereinstimmen (Richtiger $R$) oder nicht (kein Richtiger $\bar{R}$).

  Wir betrachten das Ereignis $\text{'mindestens ein Richtiger'}$:
  Zu diesem Ereignis gehören alle Pfade bis auf den untersten $\bar{R}\bar{R}\bar{R}$. Wir bestimmen daher die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis und subtrahieren den Wert von $1$.
  $P(\text{'mindestens ein Richtiger'}) = 1 - \frac{26}{29} \cdot \frac{25}{28} \cdot \frac{24}{27} = \frac{527}{1827} \approx 0,288 = 28,8\,\%$

  Für das Ereignis $\text{'die zweite Zahl ist richtig'}$ müssen wir die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade addieren, bei denen in der zweiten Stufe $R$ steht (vgl. Abbildung):
  $P(\text{'die zweite Zahl ist richtig'}) = P(RRR) + (P(RR\bar{R}) + P(\bar{R}RR) + P(\bar{R}R\bar{R}) =$
  $\frac{3}{29} \cdot \frac{2}{28} \cdot \frac{1}{27} + \frac{3}{29} \cdot \frac{2}{28} \cdot \frac{26}{27} + \frac{26}{29} \cdot \frac{3}{28} \cdot \frac{2}{27} + \frac{26}{29} \cdot \frac{3}{28} \cdot \frac{25}{27} =$
  $\frac{1}{3654} + \frac{13}{1827} + \frac{13}{1827} + \frac{325}{3654} = \frac{3}{29} \approx 0,103 = 10,3\,\%$