Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung

Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung Übung

• Benenne die Pfadregel bei Baumdiagrammen.

  Tipps

  Wenn von zehn Personen sechs weiblich sind, also $60~\%$, und von diesen nochmals ein Drittel blonde Haare haben, wie viele sind das? Drück dies in Prozent aus und überprüfe die verschiedenen Möglichkeiten für die Pfadregel.

  Lösung

  Die Pfadregel bei Baumdiagrammen besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des mehrstufigen Zufallsexperiments wird berechnet, indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang der zugehörigen Pfade multipliziert.

• Bestimme die Wahrscheinlichkeit zuerst ein Heidelbeer- und dann ein Erdbeerbonbon zu ziehen.

  Tipps

  Dies ist ein Zufallsexperiment ohne Zurücklegen. Die Heidelbeerbonbons sind blau und die Erdbeerbonbons sind rot. Welches Ergebnis ist gesucht?

  Verwende die Pfadregel:

  Entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt, werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.

  Runde das Prozentergebnis auf eine ganze Zahl auf.

  Lösung

  Das Ergebnis lautet $(b, r)$. Nun kann mit der Pfadregel die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses berechnet werden, indem die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert werden.

  Dies ist in dem nebenstehenden Bild zu erkennen.

  Es gilt also $P(b,r)=\frac58\cdot \frac37=\frac{15}{56}\approx 27~\%$.

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse.

  Tipps

  Erstelle dir ein passendes Baumdiagramm.

  Es handelt sich hier um ein Zufallsexperiment mit Zurücklegen.

  Es wird unterschieden zwischen $(g,r)$ und $(r,g)$.

  Die Wahrscheinlichkeit, grün zu würfeln, beträgt $\frac46=\frac23$.

  Lösung

  Man könnte sich die verschiedenen Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten mit einem Baumdiagramm klarer machen.

  Es geht auch aber ohne ein Baumdiagramm:

  • Es gibt vier verschiedene Ergebnisse:
  • Es könnte $(g,g)$, $(g,r)$, $(r,g)$ oder $(r,r)$ gezogen werden.
  • Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit der Pfadregel als Produkt der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Experimente berechnen. Hierfür benötigt man $P(g)=\frac46=\frac23$ sowie $P( r)=\frac26=\frac13$:

  • $P(g,g)=\frac46 \cdot \frac46=\frac49=44,\bar4~\%$,
  • $P(g,r)=\frac46 \cdot \frac26=\frac29=22,\bar2~\%$,
  • $P(r,g)=\frac26 \cdot \frac46=\frac29=22,\bar2~\%$ und
  • $P(r,r)=\frac26 \cdot \frac26=\frac19=11,\bar1~\%$.

• Ermittle die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme $8$ zu erzielen.

  Tipps

  Es handelt sich hier um ein Experiment mit Zurücklegen.

  Mache dir zunächst klar, welches Ergebnis zu der Augenzahl $8$ führt.

  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine $4$ zu würfeln?

  Lösung

  Das einzige Ergebnis, welches zu der Augensumme $8$ führt, ist das Paar $(4,4)$. Die Wahrscheinlichkeit eine $4$ zu würfeln, beträgt $\frac14$. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis $(4,4)$ mit der Pfadregel

  $P(4,4)=\frac14\cdot \frac14=\frac1{16}=0,0625=6,25~\%$.

  Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme $8$ zu erzielen, beträgt $6,25~\%$.

• Beschreibe die Bedeutung eines Baumdiagramms.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeiten beim einmaligen Werfen eines Würfels sind für jede Augenzahl gleich, nämlich $\frac16$. Aber wie können die Wahrscheinlichkeiten berechnet werden, wenn

  • mit zwei Würfeln gespielt wird oder
  • ein Würfel mehrmals geworfen wird?

  Aus einer Urne mit vier roten und sechs blauen Kugeln werden zwei Kugeln gezogen. Wie können die verschiedenen Ergebnisse dargestellt werden?

  Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsexperimentes.

  Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ergebnisraumes.

  Lösung

  Ein Baumdiagramm ist eine graphische Darstellung eines mehrstufigen Zufallsexperimentes, in der mehrere einstufige Zufallsexperimente nacheinander aufgezeigt werden.

  Es kann zwischen Zufallsexperimenten mit und ohne Zurücklegen unterschieden werden.

  Ein Pfad führt zu einem Ergebnis des Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Experimente werden an die entsprechenden Pfade geschrieben.

• Leite her, wie viele Schüler sich an der Schule befinden.

  Tipps

  Nach der Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit für einen frühstückenden Schüler: $55~\% \cdot 20~\%=11~\%$.

  Die $11~\%$ entsprechen $132$.

  Häufig werden in Aufgabenstellungen Anteile an einer Gesamtmenge als Beispiele für Wahrscheinlichkeiten verwendet.

  Lösung

  Sei $n$ die unbekannte Anzahl an Schülern an der Schule, so sind

  • $55~\%\cdot n$ die Anzahl der Schüler und
  • $55~\%\cdot 20~\%\cdot n$ die Anzahl der Schüler, die frühstücken.

  Diese $55~\% \cdot 20~\%$ ergeben sich nach der Pfadregel als Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.

  Dies führt zu der Gleichung:

  $55~\%\cdot 20~\%\cdot n=132$. Dies ist äquivalent zu $0,11\cdot n=132$. Durch Division durch $0,11$ erhält man $n=1200$.

  Es befinden sich also insgesamt $1200$ Schüler an der Schule.