Baumdiagramme und Summenregel – Beispiele

Baumdiagramme und Summenregel – Beispiele Übung

• Ergänze die Erklärung zu Baumdiagrammen.

  Tipps

  Eine Wahrscheinlichkeit wird berechnet, indem man den Anteil eines Ergebnisses an der Grundmenge bestimmt:

  In diesem Beispiel befindet sich $1$ rote Kugeln in einer Urne, die insgesamt $2$ Kugeln enthält.

  Die Pfadregel wird auch als Produktregel bezeichnet.

  Wenn der Baum so gezeichnet ist, merke dir:

  • Von links nach rechts wird multipliziert und
  • von oben nach unten wird addiert.

  Lösung

  Baumdiagramme werden verwendet, um mehrstufige Zufallsexperimente darzustellen.

  Hier ist ein Baumdiagramm zu sehen, welches das Zufallsexperiment

  „Zweimaliges Ziehen aus einer Urne mit einer blauen und einer roten Kugel mit Zurücklegen.“

  beschreibt.

  Bei jedem Zug ist die Wahrscheinlichkeit für „rot“ und „blau“ gleich: $\frac12$. Diese Wahrscheinlichkeiten werden auf die Äste geschrieben.

  Am Ende jedes Pfades steht ein Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird mit Hilfe der Pfadregel durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades berechnet:

  • $P(b,b)=\frac12\cdot\frac12=\frac14$
  • $P(b,r)=\frac12\cdot\frac12=\frac14$
  • $P(r,b)=\frac12\cdot\frac12=\frac14$
  • $P(r,r)=\frac12\cdot\frac12=\frac14$

  Die Summenregel dient dazu, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen.

  Sei zum Beispiel das Ereignis „genau ein Mal rot“. Dann ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, in denen einmal rot vorkommt:

  $P($ „genau einmal rot“$)=P(b,r)+P(r,b)=\frac14+\frac14=\frac12$.

• Beschrifte das Baumdiagramm.

  Tipps

  Beachte, dass dies ein Experiment ohne Zurücklegen ist. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeiten sich im zweiten Zug verändern.

  Du kannst immer die Probe machen: Wenn du die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse addierst, erhältst du $1$.

  „Mindestens ein Gewinn“ bedeutet

  • entweder $1$ Gewinn
  • oder $2$ Gewinne.

  Insgesamt drei Ergebnisse liegen in dem Ereignis.

  Lösung

  Im ersten Zug berechnen sich die Wahrscheinlichkeiten wie folgt

  $P(G)=\frac39=\frac13$

  sowie

  $P(N)=\frac69=\frac23$.

  Dies sind die Wahrscheinlichkeiten, welche an die linken beiden Äste geschrieben werden.

  Da das gezogene Los nicht zurückgelegt wird, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten: Es sind nur noch $8$ Lose im Topf:

  Wenn im ersten Zug ein Gewinnlos gezogen wurde, befinden sich noch $2$ Gewinnlose und $6$ Nieten in der Urne. Also gehört

  • an den obersten Ast $\frac28=\frac14$ und
  • an den zweiten von oben $\frac68=\frac34$.

  Diese Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu $1$.

  Wenn im ersten Zug eine Niete gezogen wurde, befinden sich noch $3$ Gewinnlose und $5$ Nieten in der Urne. Also gehört

  • an den dritten Ast von oben $\frac38$ und
  • an den untersten $\frac58$.

  Auch diese Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu $1$.

  Nun können mit der Pfadregel die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert werden zu

  • $P(GG)=\frac13\cdot \frac14=\frac1{12}$
  • $P(GN)=\frac13\cdot \frac34=\frac1{4}$
  • $P(NG)=\frac23\cdot \frac38=\frac1{4}$
  • $P(NN)=\frac23\cdot \frac58=\frac5{12}$

  Nun kann mit der Summenregel die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „mindestens ein Gewinn“ berechnet werden. Hierfür werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse mit mindestens einem Gewinnlos addiert:

  $P($„mindestens ein Gewinn“$)=P(GG)+P(GN)+P(NG)$.

  Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind bereits berechnet:

  $P($„mindestens ein Gewinn“$)=\frac1{12}+\frac14+\frac14=\frac7{12}\approx0,58=58\%$.

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeiten sind - sofern möglich - gekürzt.

  Verwende die Pfadregel.

  Die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades werden multipliziert.

  Wenn du alle Wahrscheinlichkeiten am Ende addierst, erhältst du $1$.

  Lösung

  Hier ist beispielhaft die Berechnung einer Wahrscheinlichkeit zu sehen. Es wird die Pfadregel verwendet.

  Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert werden, um die Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Ergebnisses zu berechnen.

  Es ist

  • $P(b,b)=\frac58\cdot \frac47=\frac5{14}$
  • $P(b,r)=\frac58\cdot \frac37=\frac{15}{56}$
  • $P(r,b)=\frac38\cdot \frac57=\frac{15}{56}$
  • $P(r,r)=\frac38\cdot \frac27=\frac3{28}$

• Wende die Summenregel an, um die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse zu berechnen.

  Tipps

  Ein Ereignis kann als Menge von Ergebnissen angegeben werden.

  Nach der Summenregel werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die in einem Ereignis liegen, addiert.

  Zum Beispiel ist $E$: „es wird zuerst blau und dann rot gezogen“ ein Elementarereignis. Es enthält nur ein Ergebnis

  $E=\{(b,r)\}$.

  $C$ ist das Gegenereignis zu $D$. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu $1$.

  Lösung

  Möchte man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen, macht man sich zunächst klar, welche Ergebnisse in dem Ereignis liegen. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse werden dann addiert.

  • Untersuchen wir zunächst $A$: „Es wird zweimal die gleiche Farbe gezogen.“ In $A$ liegen die Ergebnisse $(b,b)$ sowie $(r,r)$, also $A=\{(b,b);(r,r)\}$. Somit ist $P(A)=P(b,b)+P(r,r)=\frac5{14}+\frac3{28}=\frac{13}{28}\approx 0,46=46\%$
  • Wie sieht es mit $B$: „Es wird mindestens einmal blau gezogen.“ aus? $B$ enthält folgende Elemente: $B=\{(b,r);(r,b);(b,b)\}$. Somit ist $P(B)=P(b,r)+P(r,b)+P(b,b)=\frac{15}{56}+\frac{15}{56}+\frac5{14}=\frac{25}{28}\approx 0,89=89\%$
  • $C$: „Es wird keine rote Kugel gezogen.“ setzt sich folgendermaßen zusammen: $C=\{(b,b)\}$. Somit ist $P(A)=P(b,b)=\frac5{14}\approx 0,36=36\%$
  • $D$: „Es wird mindestens eine rote Kugel gezogen.“ ist das Gegenereignis von $C$. Das bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse zu $1$ addieren. Umgekehrt erhält man die Wahrscheinlichkeit von $D$, indem man $P(C)$ von $1$ subtrahiert: $P(D)=1-P(C)=1-\frac5{14}=\frac{9}{14}\approx 0,64=64\%$

• Nenne die Pfadregel sowie die Summenregel.

  Tipps

  Es gilt: Summand + Summand = Summe.

  Wenn der Baum so gezeichnet ist, kannst du dir merken:

  • Von links nach rechts wird multipliziert: Zum Beispiel ist $P(b,b)=\frac12\cdot \frac12=\frac14$.
  • Von oben nach unten wird addiert.

  Sei ein $E$ das Ereignis „zweimal die gleiche Farbe“.

  Dann werden die Wahrscheinlichkeiten $P(b,b)$ und $P(r,r)$ addiert, also $P(E)=P(b,b) + P(r,r)$.

  Lösung

  Mehrstufige Zufallsexperimente werden mit Hilfe von Baumdiagrammen dargestellt.

  Dabei werden zwei Regeln verwendet, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen:

  • Die Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ergibt sich, indem die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert werden.
  • Die Summenregel: Ein Ereignis ist eine Menge, die aus Ergebnissen besteht. Wenn man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen soll, werden die Wahrscheinlichkeiten der in diesem Ereignis enthaltenen Ergebnisse addiert.

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.

  Tipps

  Erstelle zunächst ein Baumdiagramm, um mit Hilfe der Pfadregel (entlang des Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert) die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse zu berechnen.

  Schreibe jedes Ereignis als Menge bestehend aus Ergebnissen.

  Nach der Summenregel werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die sich in dem Ereignis befinden, addiert.

  Hier ist das zugehörige Baumdiagramm zu sehen.

  Lösung

  Es ist nicht immer sinnvoll oder auch notwendig, ein komplettes Baumdiagramm zu zeichnen. Manchmal genügt es, auch nur die Pfade zu zeichnen, die interessieren. Man zeichnet einen reduzierten Baum.

  Nichtsdestotrotz ist hier der komplette Baum zu sehen. Damit können die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse berechnet werden.

  Die Ergebnisse sind Tripel:

  $\Omega=\{(b,b,b);(b,b,r);...;(r,r,r)\}$

  Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten können mit der Pfadregel berechnet werden. Natürlich können die Pfadregel sowie die Summenregel auch in einem Schritt verwendet werden:

  $\mathbf{A}$ : „Es wird die Reihenfolge $\mathbf{(r,b,r)}$ gezogen.“

  Hier interessiert nur dieses eine Ergebnis:

  $P(A)=P(r,b,r)=\frac12\cdot \frac35\cdot \frac12=\frac3{20}=0,15$.

  $\mathbf{B}$ : „Es wird dreimal die gleiche Farbe gezogen.“

  $B=\{(b,b,b);(r,r,r)\}$

  Damit ist

  $P(B)=P(b,b,b)+P(r,r,r)=\frac12\cdot \frac25\cdot \frac14+\frac12\cdot \frac25\cdot \frac14=\frac1{10}=0,1$.

  $\mathbf{C}$ : „Es wird genau einmal rot gezogen.“

  $C=\{(b,b,r);(b,r,b);(r,b,b)\}$

  Damit ist

  $\begin{array}{rcl} P(C)&=&P(b,b,r)+P(b,r,b)+P(r,b,b)\\ &=&\frac12\cdot \frac25\cdot \frac34+\frac12\cdot \frac35\cdot \frac12+\frac12\cdot\frac25\cdot \frac34\\ &=&\frac9{20}=0,45\end{array}$

  $\mathbf{D}$ : „Es wird höchstens einmal rot gezogen.“

  $D=\{(b,b,b);(b,b,r);(b,r,b);(r,b,b)\}$

  Damit ist

  $\begin{array}{rcl} P(D)&=&P(b,b,b)+P(b,b,r)+P(b,r,b)+P(r,b,b)\\ &=&\frac12\cdot\frac25\cdot\frac14+\frac12\cdot \frac25\cdot \frac34+\frac12\cdot \frac35\cdot \frac12+\frac12\cdot\frac25\cdot \frac34\\ &=&\frac1{2}=0,5\end{array}$