Brüche und periodische Dezimalbrüche ineinander umwandeln

Brüche und periodische Dezimalbrüche ineinander umwandeln Übung

• Vervollständige die schriftliche Division des Bruchs $\frac 13$.

  Tipps

  Den Rest in der schriftlichen Division erhält man, indem man die tatsächlich geteilte Zahl von der ursprünglich zu teilenden Zahl abzieht.

  Wollen wir zum Beispiel $10$ durch $3$ teilen, so ergibt das keine natürliche Zahl. Daher wählen wir für die Division mit Rest die nächst kleinere natürliche Zahl, die durch $3$ teilbar ist, also $9$. Daher ergibt sich als Rest $10-9=1$.

  Wenn wir $1$ um eine Zehnerpotenz erhöhen, erhalten wir $10$.

  Lösung

  Um $\frac 1 3$ als Dezimalzahl auszudrücken, fassen wir den Bruch zunächst als Division natürlicher Zahlen auf. Dafür schreiben wir:

  $1:3$

  Nun können wir schriftlich dividieren. Die gesamte schriftliche Division ist hier abgebildet. Da $1$ kleiner als $3$ ist, also nicht teilbar durch $3$ ist, lautet der Einer des Ergebnisses $0$. Das Ergebnis hat also die Form $0,\dots$.

  Wir erhalten als Rest in der schriftlichen Division $1$. Um die erste Nachkommastelle zu berechnen, erhöhen wir den Rest $1$ um eine Zehnerpotenz und erhalten $10$. Nun müssen wir $10$ durch $3$ teilen.

  Da sich $10$ nicht durch $3$ teilen lässt, bestimmen wir die nächstkleinere natürliche Zahl, die $3$ als Teiler hat, nämlich $9$. Teilen wir $9$ durch $3$, ergibt dies $3$ mit Rest $1$, da $10-9=1$ ist. Bis hierhin ergibt sich also:

  $1:3=0,3...$

  Da der Rest nun wieder $1$ ist, können wir, wie auf dem Bild ersichtlich ist, die zuvor genannten Schritte wiederholen und stellen fest, dass das Ergebnis eine unendliche Kommazahl der Form $0,3333...$ ist. Dafür schreiben wir $\frac 1 3=0, \overline 3$. Es handelt sich bei $\frac 13$ also um einen periodischen Dezimalbruch.

• Gib die Brüche zu den gegebenen periodischen Dezimalzahlen an.

  Tipps

  Um eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, schreiben wir zunächst die Periode in den Zähler des Bruchs. In den Nenner schreiben wir als Nächstes so viele Neunen, wie die Anzahl der Stellen der Periode beträgt.

  Hat man die periodische Kommazahl in einen Bruch umgewandelt, kann man kürzen, wenn Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $0,\overline{123}=\frac {123}{999}=\frac {41}{333}$.

  Lösung

  Um periodische Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, kannst du nach folgendem Schema vorgehen:
  

  • Schreibe die Periode in den Zähler.
  • Schreibe so viele Neunen in den Nenner, wie die Periode, also der Zähler, Stellen hat.
  • Kürze den Bruch vollständig.

  Beispiel 1

  Wir wenden dieses Schema nun auf $0,\overline 2$ an. Die Periode besteht nur aus einer Stelle, der $2$. Daher schreiben wir $2$ in den Zähler und eine $9$ in den Nenner unseres Bruchs. Es ergibt sich also folgender Bruch:

  • $0,\overline{2}=\frac 2 9$

  Da $2$ und $9$ teilerfremd sind, können wir den Bruch nicht weiter kürzen.

  Beispiel 2

  Wenn wir das Schema auf die Dezimalzahl $0,\overline{36}$ anwenden, schreiben wir zunächst $36$ in den Zähler unseres Bruchs. Da $36$ zwei Stellen hat, schreiben wir zwei Neunen, also $99$, in den Nenner und erhalten:

  • $0,\overline{36}=\frac{36}{99}$

  Der größte gemeinsame Teiler von $36$ und $99$ ist $9$. Daher kann der Bruch durch $9$ gekürzt werden. Wir erhalten:

  • $\frac{36}{99}=\frac{4}{11}$.

  Beispiel 3

  Nun betrachten wir die Dezimalzahl $0,\overline{459}$. Wir schreiben zunächst $459$ in den Zähler unseres Bruchs. Da $459$ drei Stellen hat, schreiben wir drei Neunen, also $999$, in den Nenner und erhalten:

  • $0,\overline{459}=\frac{459}{999}$

  Der größte gemeinsame Teiler von $459$ und $999$ ist $27$, daher kann der Bruch durch $27$ gekürzt werden. Wir erhalten:

  • $\frac{459}{999}=\frac{17}{37}$.

  Wenn man den größten gemeinsamen Teiler nicht auf Anhieb feststellt, kann man alternativ auch dreimal in Folge durch $3$ kürzen. In dem Fall ergibt sich folgende Rechnung:

  • $\frac{459}{999}=\frac{153}{333}=\frac{51}{111}=\frac{17}{37}$.

• Ermittle die periodischen Dezimalzahlen der gegebenen Brüche.

  Tipps

  Um die periodische Dezimalzahl $0,\overline{36}$ in einen Bruch umzuwandeln, schreiben wir zunächst $0,\overline{36}=\frac{36}{99}$ und kürzen dann vollständig zu $\frac{36}{99}=\frac{4}{11}$.

  Es ist wichtig, dass man in den Nenner des Bruchs so viele Neunen schreibt, wie die Periode Stellen hat. Beim Bruch $0,\overline{009}$ sind dies drei Stellen.

  Lösung

  Um periodische Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, kannst du nach folgendem Schema vorgehen:
  

  • Schreibe die Periode in den Zähler.
  • Schreibe so viele Neunen in den Nenner, wie die Periode Stellen hat.
  • Kürze den Bruch vollständig.

  Das obige Schema wenden wir nun auf die gegebenen periodischen Dezimalzahlen an.

  Beispiel 1: $~0,\overline{6}$

  Die Periode besteht hier aus einer Stelle, nämlich der $6$. Daher erhalten wir folgenden Bruch:

  • $0,\overline{6}=\frac{6}{9}$.

  Der größte gemeinsame Teiler von $6$ und $9$ ist $3$. Wenn wir den Bruch durch $3$ kürzen, erhalten wir:

  • $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

  Beispiel 2: $~0,\overline{27}$

  Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $27$. Daher erhalten wir zunächst folgenden Bruch:

  • $0,\overline{27}=\frac{27}{99}$.

  Der größte gemeinsame Teiler von $27$ und $99$ ist $9$. Wenn wir den Bruch durch $9$ kürzen, erhalten wir:

  • $\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$.

  Beispiel 3: $~0,\overline{45}$

  Die Periode ist hier gegeben durch $45$. Daher erhalten wir den Bruch:

  • $0,\overline{45}=\frac{45}{99}$.

  Der größte gemeinsame Teiler von $45$ und $99$ ist $9$. Wenn wir den Bruch durch $9$ kürzen, erhalten wir:

  • $\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$.

  Beispiel 4: $~0,\overline{009}$

  Mit der Periode $009$ erhalten wir folgenden Bruch:

  • $0,\overline{009}=\frac{9}{999}$.

  Der größte gemeinsame Teiler von $9$ und $999$ ist $9$. Wenn wir den Bruch durch $9$ kürzen, erhalten wir:

  • $\frac{9}{999}=\frac{1}{111}$.

• Bestimme die gesuchten Brüche zu den periodischen Dezimalzahlen.

  Tipps

  Um die periodische Dezimalzahl $0,\overline{45}$ in einen Bruch umzuwandeln, schreiben wir zunächst $0,\overline{45}=\frac{45}{99}$ und kürzen dann vollständig zu $\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$.

  Es ist wichtig, dass man in den Nenner des Bruchs so viele Neunen schreibt, wie die Periode Stellen hat. Beim Bruch $0,\overline{126}$ sind dies drei Stellen.

  Lösung

  Um periodische Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, kannst du nach folgendem Schema vorgehen:
  

  • Schreibe die Periode in den Zähler.
  • Schreibe so viele Neunen in den Nenner, wie die Periode Stellen hat.
  • Kürze den Bruch vollständig.

  Beispiel 1: $~0,\overline{5}$

  Die Periode besteht hier aus einer Stelle, der $5$. Daher erhalten wir den Bruch $\frac{5}{9}$. Die Zahlen $5$ und $9$ sind teilerfremd. Daher lässt sich der Bruch nicht mehr weiter kürzen.

  Beispiel 2: $~0,\overline{30}$

  Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $30$. Daher erhalten wir den Bruch $\frac{30}{99}$. Der größte gemeinsame Teiler von $30$ und $99$ ist $3$. Wenn wir den Bruch durch $3$ kürzen, erhalten wir $\frac{30}{99}=\frac{10}{33}$.

  Beispiel 3: $~0,\overline{81}$

  Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $81$. Daher erhalten wir den Bruch $\frac{81}{99}$. Der größte gemeinsame Teiler von $81$ und $99$ ist $9$. Wenn wir den Bruch durch $9$ kürzen, erhalten wir $\frac{81}{99}=\frac{9}{11}$.

  Beispiel 4: $~0,\overline{126}$

  Die Periode besteht hier aus drei Stellen, nämlich $126$. Daher erhalten wir den Bruch $\frac{126}{999}$. Der größte gemeinsame Teiler von $126$ und $999$ ist $9$. Wenn wir den Bruch durch $9$ kürzen, erhalten wir $\frac{126}{999}=\frac{14}{111}$.

  Beispiel 5: $~0,\overline{69}$

  Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $69$. Daher erhalten wir den Bruch $\frac{69}{99}$. Der größte gemeinsame Teiler von $69$ und $99$ ist $3$. Wenn wir den Bruch durch $3$ kürzen, erhalten wir $\frac{69}{99}=\frac{23}{33}$.

• Beschreibe, wie du eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandelst.

  Tipps

  Beim Umrechnen einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch stellst du zunächst den Zähler und dann den Nenner auf.

  Man kann erst dann kürzen, wenn der Bruch vollständig aufgestellt ist.

  Lösung

  Möchtest du eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln, so gehst du wie folgt vor:

  1. Du hast eine periodische Dezimalzahl gegeben.
  2. Um eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, müssen wir zunächst die Periode bestimmen. Das ist die Zahl unter dem Strich hinter dem Komma der Dezimalzahl. Bei der Dezimalzahl $0,\overline{36}$ ist dies zum Beispiel $36$.
  3. Diese Zahl schreibst du dann in den Zähler eines Bruchs.
  4. In den Nenner des Bruchs schreibst du so viele Neunen, wie die Periode, oder zu diesem Zeitpunkt der Zähler, Stellen hat. Im Fall von $36$ sind das zwei Stellen, wir schreiben also $99$ in den Nenner.
  5. Nun hast du einen Bruch gegeben, den du nur noch vollständig kürzen musst. Dafür bestimmst du den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. Im Fall von $\frac{36}{99}$ ist der größte gemeinsame Teiler von $36$ und $99$ gerade $9$, sodass sich vollständig gekürzt der Bruch $\frac{4}{11}$ ergibt.

• Prüfe die Aussagen auf ihre Richtigkeit.

  Tipps

  Um die periodische Dezimalzahl $0,\overline{45}$ in einen Bruch umzuwandeln, schreiben wir zunächst $0,\overline{45}=\frac{45}{99}$ und kürzen dann vollständig zu $\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$.

  Um zwei Brüche zu addieren, musst du diese zunächst gleichnamig machen, d.h., beide Summanden müssen auf denselben Nenner gebracht werden.

  Um zwei periodische Dezimalzahlen zu addieren, kannst du sie zuerst in Brüche umwandeln und danach erst miteinander addieren.

  Lösung

  Um die Gleichheit der Gleichungen zu verifizieren, müssen wir zunächst periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln. Dabei kannst du nach folgendem Schema vorgehen:

  • Schreibe die Periode in den Zähler.
  • Schreibe so viele Neunen in den Nenner, wie die Periode Stellen hat.
  • Kürze den Bruch vollständig.

  Zudem müssen in einigen Fällen Brüche der rechten Seite der Gleichung addiert werden. Dafür machen wir diese zunächst gleichnamig, d.h., wir bringen sie auf denselben Nenner.

  $\bullet$ Diese Gleichungen sind richtig:

  • $0,\overline{51}=\frac{17}{33}$

  Begründung:

  Das obige Schema wenden wir nun auf die periodische Dezimalzahl $0,\overline{51}$ an. Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $51$. Daher erhalten wir folgenden Bruch:

  $0,\overline{51}=\frac{51}{99}$.

  Die Zahlen $51$ und $99$ haben als größten gemeinsamen Teiler $3$. Kürzen wir den Bruch durch $3$, so ergibt sich:

  $\frac{51}{99}=\frac{17}{33}$.

  Die erste Gleichung ist also richtig.

  • $0,\overline{30}=\frac{1}{11}+\frac{7}{33}$

  Begründung:

  Nun wenden wir das obige Schema auf die periodische Dezimalzahl $0,\overline{30}$ an. Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $30$. Daher erhalten wir:

  $0,\overline{30}=\frac{30}{99}$.

  Die Zahlen $30$ und $99$ haben als größten gemeinsamen Teiler $3$. Kürzen wir den Bruch durch $3$, so ergibt sich:

  $\frac{30}{99}=\frac{10}{33}$.

  Auf der rechten Seite der Gleichung steht die Summe der beiden Brüche $\frac{1}{11}$ und $\frac{7}{33}$. Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner ist $33$, daher bringen wir den ersten Bruch auf den Nenner $33$. Es folgt:

  $\frac{1}{11}+\frac{7}{33}=\frac{3}{33}+\frac{7}{33}=\frac{10}{33}$ .

  Demnach ist die Gleichung also richtig.

  $\bullet$ Diese Gleichungen sind falsch

  • $0,\overline{27} = \frac{4}{11}$

  Begründung:

  Nun wenden wir das obige Schema auf die periodische Dezimalzahl $0,\overline{27}$ an. Die Periode besteht hier aus zwei Stellen, nämlich $27$. Daher erhalten wir den Bruch:

  $0,\overline{27}=\frac{27}{99}$.

  Die Zahlen $27$ und $99$ haben als größten gemeinsamen Teiler $9$. Kürzen wir den Bruch durch $9$, so ergibt sich:

  $\frac{27}{99}=\frac{3}{11} \neq \frac{4}{11} $.

  Die Gleichung ist also falsch.

  • $0,\overline{252}=\frac{18}{111} $

  Begründung:

  Nun wenden wir das obige Schema auf die periodische Dezimalzahl $0,\overline{252}$ an. Die Periode besteht hier aus drei Stellen, nämlich $252$. Daher erhalten wir folgenden Bruch:

  $0,\overline{252}=\frac{252}{999}$

  Die Zahlen $252$ und $999$ haben als größten gemeinsamen Teiler $9$. Kürzen wir den Bruch durch $9$, so ergibt sich

  $\frac{252}{999}=\frac{28}{111} \neq \frac{18}{111}$.

  Die Gleichung ist also falsch.

  • $0,\overline{3} + 0,\overline{23} = \frac{19}{33}$

  Begründung:

  Zunächst müssen die periodischen Dezimalzahlen in Brüche umgewandelt werden.

  $0,\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ und $0,\overline{23} = \frac{23}{99}$

  Anschließend müssen sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden:

  $\frac{3}{9} = \frac{3 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{33}{99}$.

  Nun können die Brüche addiert werden und mit dem Ergebnis verglichen werden:

  $\frac{33}{99} + \frac{23}{99} = \frac{56}{99} \neq \frac{19}{33}$.

  Da $56$ und $99$ keinen gemeinsamen Teilen haben, kann der Bruch nicht mehr gekürzt werden. Somit ist diese Gleichung falsch.