Prozente, Brüche und Dezimalbrüche ineinander umwandeln

Prozente, Brüche und Dezimalbrüche ineinander umwandeln Übung

• Gib die Dezimalzahl und den Bruch in Prozent an.

  Tipps

  Hier siehst du, wie du eine Dezimalzahl in Prozent umwandeln kannst:

  $0{,}01=0{,}01\cdot 100\ \%=1\ \%$.

  Da das Prozentzeichen "von Hundert" bedeutet und somit dem Bruch $\frac1{100}$ entspricht, wird oben nur mit dem Faktor $1$ multipliziert, denn es gilt:

  $100\ \%=100\cdot \frac1{100}=\frac{100}{100}=1$.

  Ein Bruch setzt sich aus einem Zähler $a$, dem Bruchstrich und einem Nenner $b$ zusammen. Der Bruch $\frac{a}{b}$ kann gelesen werden als "$a$ geteilt durch $b$". Das Ausführen der Division liefert eine Dezimalzahl.

  Lösung

  Du sollst in dieser Aufgabe eine Dezimalzahl und einen Bruch in Prozent umrechnen. Bevor wir diese Aufgabe gemeinsam durchgehen, klären wir die allgemeine Vorgehensweise beim Umwandeln einer Dezimalzahl in Prozent und eines Bruches in Prozent.

  Dezimalzahl $\mathbf{\rightarrow}$ Prozent

  Die Umwandlung einer Dezimalzahl in Prozent erfolgt in einem Schritt. Dafür multiplizieren wir die Dezimalzahl mit $100\ \%$. Es gilt also:

  • Dezimalzahl $\xrightarrow{\cdot 100\ \%}$ Prozent

  Bruch $\mathbf{\rightarrow}$ Prozent

  Die Umwandlung eines Bruches in Prozent erfolgt über zwei Schritte. Zunächst wird der Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt. Dies erfolgt beispielsweise durch eine schriftliche Division von Zähler und Nenner. Dann erfolgt die Umwandlung der resultierenden Dezimalzahl in Prozent. Dafür multiplizieren wir wieder die Dezimalzahl mit $100\ \%$. Es gilt also:

  • Bruch $\xrightarrow{\text{dividieren}}$ Dezimalzahl $\xrightarrow{\cdot 100\ \%}$ Prozent

  Nun wenden wir diese Regeln für die Umwandlung auf unsere beiden Beispiele an.

  Beispiel 1

  • $0{,}125\ \xrightarrow{\cdot 100\%}\ 12{,}5\ \%$

  Beispiel 2

  • $\frac38\ \xrightarrow{3\ \text{durch}\ 8\ \text{dividieren}}\ 0{,}375\ \xrightarrow{\cdot 100\ \%}\ 37{,}5\ \%$

  Die Division von $3$ durch $8$ kann schriftlich oder im Kopf erledigt werden.

• Beschreibe, wie du eine Dezimalzahl und eine Prozentangabe in einen Bruch umwandelst.

  Tipps

  Ein Dezimalbruch ist ein Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist. Eine Zehnerpotenz ist gegeben durch $10^n$ mit $n\in \mathbb{N}$.

  Schau dir folgende Beispiele an:

  $0,1=\frac{1}{10}$
  $0,01=\frac{1}{100}$
  $0,001=\frac{1}{1000}$

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  $0,52=\frac{52}{100}=\frac{13}{25}$.

  Das Prozentzeichen bedeutet "von Hundert" und entspricht $\frac1{100}$. Somit gilt:

  $52\%=52\cdot\frac1{100}=\frac{52}{100}=\frac{13}{25}$.

  Lösung

  Du sollst in dieser Aufgabe beschreiben, wie du eine Dezimalzahl und eine Prozentangabe in einen Bruch umrechnen kannst. Lass uns das gemeinsam behandeln.

  Dezimalzahl $\mathbf{\rightarrow}$ Bruch

  Die Umwandlung einer Dezimalzahl in einen Bruch erfolgt in zwei Schritten. Zunächst wird die Dezimalzahl in einen Dezimalbruch umgewandelt. Die Anzahl $n$ der Nachkommastellen verrät dir, welche Zehnerpotenz $10^n$ in deinem Nenner stehen muss. Wenn du den Dezimalbruch soweit wie möglich kürzt, erhältst du den gesuchten Bruch. Es gilt also:

  • Dezimalzahl $\xrightarrow{\cdot \frac{10^n}{10^n}}$ Dezimalbruch $\xrightarrow{\text{k}\ddot{u}\text{rzen}}$ Bruch

  Prozent $\mathbf{\rightarrow}$ Bruch

  Die Umwandlung einer Prozentangabe in einen Bruch erfolgt über zwei Schritte. Zunächst wird die Prozentangabe in einen Dezimalbruch umgewandelt, indem durch $100$ geteilt und das Prozentzeichen weggelassen wird. Anschließend wird der Dezimalbruch soweit wie möglich gekürzt. Es gilt also:

  • Prozent $\xrightarrow{:100\%}$ Dezimalbruch $\xrightarrow{\text{k}\ddot{u}\text{rzen}}$ Prozent.

  Nun wenden wir diese Regeln für die Umwandlung auf unsere beiden Beispiele an.

  Beispiel 1

  Wir betrachten die Dezimalzahl $0,125$. Diese hat drei Nachkommastellen, also wandeln wir in einen Dezimalbruch um, dessen Nenner $10^3=1000$ entspricht.

  • $0,125\ \xrightarrow{\cdot \frac{1000}{1000}}\ \frac{125}{1000}$

  Diesen Dezimalbruch können wir noch kürzen, denn Zähler und Nenner haben den gemeinsamen Teiler $125$. Wir erhalten:

  • $\frac{125}{1000}\ \xrightarrow{\text{k}\ddot{u}\text{rzen}}\ \frac{1}{8}$.

  Beispiel 2

  Die Prozentangabe $50\%$ rechnen wir zunächst in einen Dezimalbruch um. Dafür dividieren wir diese durch $100$ und lassen das Prozentzeichen weg.

  • $50\%\ \xrightarrow{:100\%}\ \frac{50}{100}$

  Diesen Dezimalbruch können wir noch kürzen, da Zähler und Nenner den gemeinsamen Teiler $50$ haben.

  • $\frac{50}{100}\ \xrightarrow{\text{k}\ddot{u}\text{rzen}}\ \frac12$

• Ermittle den Bruchteil des farbig markierten Bereichs und wandle in Prozent um.

  Tipps

  Den Bruchteil des markierten Bereichs erhältst du, indem du die Anzahl der markierten Felder zu der Gesamtanzahl der Felder ins Verhältnis setzt.

  Wichtig: Das geht nur, wenn die Felder gleich groß sind.

  Betrachten wir hier die grau markierten Felder. Wir erhalten somit einen Bruchteil von $\frac38$.

  Kürze den Bruch soweit wie möglich.

  Einen Bruch kannst du in eine Prozentangabe umwandeln, indem du den Zähler durch den Nenner teilst und das Resultat mit $100\%$ multiplizierst. Hier siehst du ein Beispiel:

  $\frac38=0,375=37,5\%$.

  Lösung

  Das Vorgehen in dieser Aufgabe wird anhand des rechts dargestellten Beispiels verdeutlicht.

  Abgebildet ist ein Rechteck, welches in $16$ gleich große Felder unterteilt ist. Davon sind $4$ Felder grün markiert. Setzen wir die Anzahl der markierten Felder zu der Gesamtanzahl ins Verhältnis, so erhalten wir folgenden Bruch:

  $\frac4{16}=\frac{1}{4}$.

  Um diesen Bruch in eine Prozentangabe umzuwandeln, dividieren wir zunächst $1$ durch $4$ und erhalten folgende Dezimalzahl:

  $1:4=0,25$.

  Die Dezimalzahl multiplizieren wir mit $100\%$ und erhalten schließlich folgende Prozentangabe:

  $0,25\cdot 100\%=25\%$.

• Bestimme jeweils den entsprechenden Bruch.

  Tipps

  Eine Prozentangabe kannst du wie folgt in einen Bruch umwandeln:

  $40\%=40\cdot\frac1{100}=\frac{40}{100}=\frac25$.

  Eine Dezimalzahl kannst du wie folgt in einen Bruch umwandeln:

  $0,4=0,4\cdot\frac{100}{100}=\frac{40}{100}=\frac25$.

  Lösung

  Folgende Angaben sind uns bekannt.

  $ \begin{array}{ll} \text{Thema} & \text{Anteil vom Schuljahr} \\ \hline \text{Einf}\ddot{\text{u}}\text{hrung in Terme} & 0,25 \\ \text{Binomische Formeln} & 10\% \\ \text{Distributivgesetz} & 0,05 \\ \text{Lineare Gleichungen} & 60\% \\ \hline \end{array} $

  Die Angaben in der Spalte "Anteil vom Schuljahr" möchten wir nun in Brüche umwandeln. Dafür gehen wir wie folgt vor:

  Dezimalzahl $\rightarrow$ Bruch

  Eine Dezimalzahl wandeln wir in einen Bruch um, indem wir zunächst den Dezimalbruch aufstellen und diesen, wenn möglich, kürzen.

  Prozent $\rightarrow$ Bruch

  Eine Prozentangabe wandeln wir in einen Bruch um, indem wir zunächst durch $100\%$ teilen. Den resultierenden Dezimalbruch kürzen wir, wenn möglich. Somit erhalten wir folgende Lösung:

  $ \begin{array}{lll} \text{Gegebener Anteil} & \text{Dezimalbruch} & \text{Bruch}\\ \hline 0,25 & \frac{25}{100} & \frac14 \\ 10\% & \frac{10}{100} & \frac1{10} \\ 0,05 & \frac{5}{100} & \frac1{20}\\ 60\% & \frac{60}{100} & \frac35\\ \hline \end{array} $

  Hinweis: In der zweiten Zeile ist das Ergebnis ($\frac1{10}$) zufällig auch ein Dezimalbruch.

• Gib an, um welche Art es sich bei der gegebenen Zahl handelt.

  Tipps

  Ein gemischter Bruch setzt sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen.

  Ein Beispiel ist $5\frac12$.

  Eine periodische Dezimalzahl ist eine Zahl, bei der sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Folge von Ziffern unendlich oft wiederholt. Der sich wiederholende Teil wird mit einem Periodenstrich gekennzeichnet.

  Ein Beispiel für eine periodische Dezimalzahl ist $0,\bar{3}$.

  Eine Prozentangabe erkennst du an dem Prozentzeichen.

  Ein Dezimalbruch ist ein Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist. Eine Zehnerpotenz ist gegeben durch $10^n$ mit $n\in \mathbb{N}$.

  Zehnerpotenzen sind also $10, 100, 1~000, ...$

  Lösung

  Wir schauen uns die Aufgabe gemeinsam an. Zunächst klären wir die Begriffe.

  Bruch

  Ein Bruch setzt sich aus dem Zähler, dem Bruchstrich und dem Nenner zusammen. Dabei gilt:

  • Der Zähler ist die Zahl, die über dem Bruchstrich steht.
  • Der Bruchstrich trennt Zähler und Nenner.
  • Der Nenner ist die Zahl, die unter dem Bruchstrich steht.

  Gemischter Bruch

  Ein gemischter Bruch setzt sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen.

  Dezimalbruch

  Ein Dezimalbruch ist ein Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist. Eine Zehnerpotenz ist gegeben durch $10^n$ mit $n\in \mathbb{N}$.

  Dezimalzahl

  Eine Dezimalzahl setzt sich aus Vorkommastellen, einem Komma und Nachkommastellen zusammen.

  periodische Dezimalzahl

  Eine periodische Dezimalzahl ist eine Zahl, bei der sich nach dem Komma eine Ziffer oder eine Folge von Ziffern unendlich oft wiederholt. Der sich wiederholende Teil wird mit einem Periodenstrich gekennzeichnet.

  Prozentangabe

  „Prozent“ beschreibt das Hundertstel einer Zahl. Dass es sich um eine Prozentangabe handelt, wird durch das Prozentzeichen deutlich.

  Jetzt, wo wir die verschiedenen Zahlen definiert haben, können wir bestimmen, um welche Form es sich bei den gegebenen Zahlen handelt.

  • $0,65\ \rightarrow$ Dezimalzahl
  • $\frac{65}{100}\ \rightarrow$ Dezimalbruch
  • $65\%\ \rightarrow$ Prozent
  • $\frac{13}{20}\ \rightarrow$ Bruch

• Ermittle die gesuchte Zahl.

  Tipps

  Wenn der Anteil sowie die Gesamtmenge als absolute Werte gegeben sind, so kannst du den Anteil einfach als Bruch schreiben:

  $\text{Anteil als Bruch}=\frac{\text{absoluter Wert des Anteils}}{\text{absoluter Wert der Gesamtmenge}}$

  Diesen Bruch kannst du dann durch Division von Zähler und Nenner in eine Dezimalzahl umwandeln.

  Einen Bruch kannst du durch Division von Zähler und Nenner in eine Dezimalzahl umwandeln. Um diese in Prozent anzugeben, musst du die Dezimalzahl mit $100\%$ multiplizieren.

  Lösung

  Betrachten wir die Beispiele gemeinsam.

  Beispiel 1

  Ein Kuchen ist in $8$ gleich große Stücke geteilt. Davon sind $7$ Stück bereits verzehrt. Wie groß ist der übrig gebliebene Anteil in Form einer Dezimalzahl.

  Wir haben $8$ gleich große Stücke, von denen $7$ bereits weg sind. Es ist also nur noch $1$ Stück von $8$ übrig. Dies entspricht einem Anteil von:

  $\frac18=0,125$.

  Beispiel 2

  $15$ Schüler einer vierzigköpfigen Klasse nehmen nicht an der geplanten Klassenfahrt teil. Wie viel Prozent der Klasse nimmt an der Klassenfahrt teil?

  An der Klassenfahrt nehmen $40-15=25$ Schüler teil. Dies entspricht einem prozentualen Anteil von:

  $\frac{25}{40}=0,625=0,625\cdot 100\%=62,5\%$.

  Beispiel 3

  Die Hausaufgaben haben einen Anteil von $0,4$ an der Gesamtnote. Wie hoch ist der dazugehörige Bruchteil?

  Wir müssen die Dezimalzahl $0,4$ in einen Bruch umwandeln. Es folgt:

  $0,4=\frac4{10}=\frac{2}{5}$.