Prozent und Brüche ineinander umwandeln

Prozent und Brüche ineinander umwandeln Übung

• Beschreibe die Umwandlung von Brüchen in Prozentsätze.

  Tipps

  $100\%$ eines Kuchens sind der ganze Kuchen.

  Stellt man einen Prozentsatz als Bruch mit dem Nenner $100$ dar, so steht im Zähler die Prozentzahl.

  Um einen Bruch mit dem Nenner $25$ in einen Bruch mit dem Nenner $100$ umzuwandeln, kannst du Zähler und Nenner jeweils mit $4$ multiplizieren, denn $4 \cdot 25 = 100$.

  Lösung

  Olivia verwendet Prozentsätze und Brüche, um Anteile von einem Ganzen zu beschreiben. Sie hat gelernt, Prozentsätze und Brüche ineinander umzuwandeln.

  Ein Prozent ist immer ein Anteil von $100$. Das bedeutet: $1\%$ kann Olivia auch als $\frac{1}{100}$ schreiben. Der Prozentsatz $85\%$ ist $85$ mal so viel wie $1\%$. Olivia kann den Prozentsatz als Bruch mit dem Nenner $100$ schreiben. Der Zähler dieses Bruchs ist dann die Prozentzahl, nämlich $85$. Der Anteil $85\%$ entspricht also dem Bruch $\frac{85}{100}$. Olivia kann jeden Prozentsatz als Bruch mit dem Nenner $100$ schreiben, der zugehörige Zähler ist dann immer die Prozentzahl.

  Den Bruch $\frac{85}{100}$ kann Olivia kürzen, denn Zähler und Nenner sind beide durch $5$ teilbar. Kürzen bedeutet, den Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl zu teilen. Durch Kürzen mit $5$ erhält Olivia folgenden Bruch:

  $85\% = \frac{85}{100}= \frac{\not 5\cdot 17}{\not 5\cdot 20} = \frac{17}{20}$

  Diese Gleichung besagt: Auf einem Feld mit $20$ gleich großen Teilen entsprechen genau $17$ Teile dem Anteil von $85\%$.

  Olivia löscht das Feld mit $20$ gleich großen Teilen. Sie hat schon acht Teilfelder gelöscht. Jedes einzelne der $20$ Teilfelder entspricht einem Anteil von $\frac{1}{20}$, die acht Teilfelder zusammen machen daher einen Anteil von $\frac{8}{20}$ der gesamten Fläche aus. Olivia rechnet diesen Anteil in Prozent um. Dafür versucht sie, den Bruch so zu erweitern, dass der Nenner $100$ wird. In diesem Fall geht das durch Erweitern mit $5$, denn $5 \cdot 20 = 100$. Beim Erweitern muss Olivia den Zähler und Nenner eines Bruchs jeweils mit derselben Zahl (in diesem Fall mit der Zahl $5$) multiplizieren. Sie erhält daher:

  $\frac{8}{20} = \frac{8\cdot 5}{20\cdot 5} = \frac{40}{100}$

  Aus einem Bruch mit Nenner $100$ kann Olivia direkt die Prozentzahl ablesen: Sie steht im Zähler dieses Bruchs. So erhält Olivia aus dem Bruch den Prozentsatz:

  $\frac{40}{100} = 40\%$

• Vergleiche die Brüche und Prozentsätze.

  Tipps

  Du kannst einen Prozentsatz immer als Bruch mit dem Nenner $100$ schreiben.

  Schreibst du einen Prozentsatz als Bruch mit dem Nenner $100$, so ist die Prozentzahl der Zähler des Bruchs. Derselbe Prozentsatz entspricht auch jedem anderen Bruch, den du durch Kürzen oder Erweitern erhältst.

  Dem Prozentsatz $75\%$ entspricht der Bruch $\frac{75}{100}$, aber auch $\frac{3}{4}$ (durch Kürzen mit $25$) oder $\frac{45}{60}$ (durch Kürzen mit $5$ und Erweitern mit $3$).

  Lösung

  Olivia findet zu einem Prozentsatz $p\%$ einen passenden Bruch, indem sie als Nenner $100$ und als Zähler die Prozentzahl $p$ verwendet:

  $p\% = \frac{p}{100}$

  Diesen Bruch kann Olivia noch erweitern oder kürzen und erhält dadurch weitere Brüche, die denselben Prozentsatz darstellen.

  So erhält Olivia folgende Gleichungen:

  • $85\% = \frac{85}{100} = \frac{17}{20}$ (durch Kürzen mit $5$)

  • $40\% = \frac{40}{100} = \frac{8}{20}$ (durch Kürzen mit $5$)

  • $5\% = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ (durch Kürzen mit $5$)

  • $20\% = \frac{20}{100} = \frac{4}{20}$ (durch Kürzen mit $5$)

  Umgekehrt kann Olivia auch die Brüche so erweitern, dass der Nenner $100$ wird. Im Zähler des erweiterten Bruchs steht dann die Prozentzahl. Auf diese Weise erhält Olivia dieselben Zuordnungen.

  Mit dieser Methode kann sie auch feststellen, dass zu zwei der angegebenen Brüche kein passender Prozentsatz gegeben ist:

  • $\frac{85}{20} = \frac{425}{100} = 425\%$ (durch Erweitern mit $5$)

  • $\frac{4}{100} = 4\%$ (ohne Erweitern)

• Leite die entsprechenden Brüche her.

  Tipps

  Wandle die Prozentzahl zunächst in einen Bruch mit $100$ als Nenner.

  $16~\% = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$

  Lösung

  Um Prozentzahlen in Brüche umzuwandeln, bietet es sich grundsätzlich an, die Prozentzahl zunächst in einen Bruch mit $100$ als Nenner zu schreiben. Danach kann der Bruch so weit wie möglich gekürzt werden, um den entsprechenden Bruch zur Prozentzahl zu erhalten.

  Es ergeben sich daher folgende Zuordnungen:

  • $15~\% = \frac{15}{100}$

  Dieser Bruch kann mit $5$ gekürzt werden. Somit erhalten wir $15~\% = \frac{3}{20}$.

  • $22~\% = \frac{22}{100}$

  In diesem Fall können Zähler und Nenner lediglich mit $2$ gekürzt werden. Damit gilt $22~\% = \frac{11}{50}$.

  • $18~\% = \frac{18}{100}$

  Auch hier ist der größte gemeinsame Teiler von $18$ und $100$ die $2$. Es gilt demnach $18~\% = \frac{9}{50}$.

  • $20~\% = \frac{20}{100}$

  Der größte gemeinsame Teiler von $20$ und $100$ ist $20$. Teilen wir $100$ und $20$ durch $20$, erhalten wir $20~\% = \frac{1}{5}$.

• Vergleiche die Brüche und Prozentsätze.

  Tipps

  Um zu einem Bruch den passenden Prozentsatz zu bestimmen, kannst du den Bruch so erweitern, dass der Nenner $100$ wird.

  Der Bruch $\frac{p}{100}$ entspricht dem Prozentsatz $p\%$.

  Den Bruch $\frac{55}{125}$ kannst du zuerst mit $5$ kürzen und dann mit $4$ erweitern, um den Prozentsatz abzulesen:

  $\frac{55}{125} = \frac{11\cdot \not 5}{25\cdot \not 5} = \frac {11}{25} = \frac {11\cdot 4}{25\cdot 4} = \frac{44}{100}$

  Lösung

  Folgende Zuordnungen sind korrekt:

  Prozentsatz $64\%$:

  $\dfrac{64}{100} = 64\%$

  $\dfrac{32}{50} = \dfrac{32\cdot 2}{50 \cdot 2} = \dfrac{64}{100} = 64\%$

  $\dfrac{48}{75} = \dfrac{16 \cdot \not 3}{25 \cdot \not 3} = \dfrac{16}{25} = \dfrac{16 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \dfrac{64}{100} = 64\%$

  $\dfrac{16}{25} = \dfrac{16 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \dfrac{64}{100} = 64\%$

  
  

  Prozentsatz $48\%$:

  $\dfrac{48}{100} = 48\%$

  $\dfrac{12}{25} = \dfrac{12 \dot 4}{25 \cdot 4} = \dfrac{48}{100} = 48\%$

  $\dfrac{36}{75} = \dfrac{12 \cdot \not 3}{25 \cdot \not 3} = \dfrac{12}{25} = \dfrac{12 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \dfrac{48}{100} = 48\%$

  $\dfrac{60}{125} = \dfrac{12 \cdot \not 5}{25 \cdot \not 5} = \dfrac{12}{25} = \dfrac{12 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \dfrac{48}{100} = 48\%$

  
  

  Prozentsatz $12\%$:

  $\dfrac{12}{100} = 12\%$

  $\dfrac{3}{25} = \dfrac{3 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \dfrac{12}{100} = 12\%$

  $\dfrac{9}{75} = \dfrac{3 \cdot \not 3}{25 \cdot \not 3} = \dfrac{3}{25} = \dfrac{3 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \dfrac{12}{100} = 12\%$

  $\dfrac{81}{675} = \dfrac{27 \cdot \not 3}{225 \cdot \not 3} = \dfrac{27}{225} = \dfrac{9 \cdot \not 3}{75 \cdot \not 3} = \dfrac{9}{75} = \dfrac{3 \cdot \not 3}{25 \cdot \not 3} = \dfrac{3}{25} = \dfrac{3 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \dfrac{12}{100} = 12\%$

• Vereinfache die Brüche.

  Tipps

  Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl.

  Zwei Brüche sind gleich, wenn sie sich durch Kürzen oder Erweitern ineinander umwandeln lassen.

  Durch Kürzen zuerst mit $5$ und dann mit $3$ erhältst du die Gleichung:

  $\frac{45}{60} = \frac{9 \cdot \not 5}{12 \cdot \not 5} = \frac{9}{12} = \frac{3\cdot \not 3}{4\cdot \not 3} = \frac{3}{4}$

  Lösung

  Olivia rechnet verschiedene Brüche ineinander um, indem sie sie kürzt oder erweitert. Zwei verschiedene Brüche sind gleich (d. h., sie beschreiben denselben Anteil), wenn sie sich durch Kürzen oder Erweitern ineinander umwandeln lassen. Beim Kürzen teilt Olivia Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Das geht also nur dann, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Beim Erweitern nimmt Olivia Zähler und Nenner mit derselben Zahl $\neq 0$ mal. Das geht immer.

  So erhält Olivia folgende Bruchgleichungen:

  • $\frac{85}{100} = \frac{17}{20}$

  Denn $85 = 17 \cdot 5$ und $100 = 20 \cdot 5$.

  • $\frac{40}{100} = \frac{8}{20}$

  Denn $\frac{40}{100} = \frac{8 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{8}{20}$. Hier könnte Olivia sogar noch mit $4$ weiter kürzen und erhielte dann $\frac{40}{100} = \frac{2}{5}$.

  • $\frac{5}{100} = \frac{1}{20}$

  Denn durch Erweitern der rechten Seite mit $5$ erhält Olivia $\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{5}{100}$.

  • $\frac{95}{100} = \frac{19 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{19}{20}$

  Diesen Bruch kann Olivia nicht weiter teilen, denn $19$ enthält keine anderen Teiler als $1$ und $19$ selbst.

  Zu dem Bruch $\frac{1}{20}$ findet Olivia keinen passenden weiteren Bruch in der Aufgabe, denn durch Erweitern erhält sie:

  $\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10} = \frac{2 \cdot 2 }{10 \cdot 2} = \frac{4}{20} = \frac{4 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{20}{100}$

  Keiner dieser Brüche kommt in der Aufgabe vor.

  Auch zu dem Bruch $\frac{18}{20}$ findet sie keine passende Umformung in der Aufgabe. Sie rechnet dazu:

  $\frac{18}{20} = \frac{18 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{90}{100}$

  oder:

  $\frac{18}{20} = \frac{18 \cdot 2}{20 \cdot 2} = \frac{36}{40}$

  sowie:

  $\frac{18}{20} = \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{9}{10}$

  Diese Brüche kommen in der Aufgabe ebenfalls nicht vor.

• Stelle die Prozentsätze dar.

  Tipps

  Teilt man ein Feld in $20$ gleich große Teile, so entspricht jedem Teilfeld $\frac{1}{20}$ des Gesamtfeldes.

  Beginne mit dem Löschen in der linken oberen Ecke des Feldes.

  Lösung

  Olivia muss in der linken oberen Ecke ein Teilfeld mit violettem Löschschaum besprühen. Dieses Teilfeld muss quadratisch sein und $20\%$ der Gesamtfläche ausmachen. Da die Gesamtfläche in $20$ gleich große Felder aufgeteilt ist, hat jedes dieser Teilfelder einen Anteil von $\frac{1}{20} = 5\%$ am Gesamtfeld. Die mit violettem Löschschaum zu bedeckenden $20\%$ bestehen demnach aus vier Feldern, denn $20\% = \frac{20}{100} = 4 \cdot \frac{5}{100}$. Olivia löscht also vier Kästchen in der linken oberen Ecke des Feldes, die zusammen ein Quadrat bilden, mit violettem Löschschaum.

  Außerdem soll Olivia einen möglichst großen Anteil der verbleibenden Fläche mit grünem Löschpulver bedecken. Sie muss dabei beachten, dass zwischen dem violetten Löschschaum und dem grünen Löschpulver mindestens ein Feld frei bleiben muss. Es bleiben genau $11$ Felder übrig, die Olivia mit grünem Löschpulver löschen kann. Da sie den Anteil so groß wie möglich wählen soll, muss sie jedes dieser $11$ Felder mit grünem Löschpulver bedecken. Der zugehörige Anteil ist dann elfmal so groß wie der Anteil eines Feldes, also $\frac{11}{20} =\frac{55}{100}$.

  Schließlich bestimmt Olivia noch den Anteil der frei bleibenden Fläche zwischen dem violetten Löschschaum und dem grünen Löschpulver. Alle drei Anteile ergeben zusammen das gesamte Feld, also $100\%$. Daher ist der Prozentsatz des frei bleibenden Teils:

  $100\% - 20\% - 55\% = 25\%$

  Daher markiert Olivia den Prozentsatz $25\%$ gelb.

  Geschafft!