Exponentialgleichungen – Einführung

Exponentialgleichungen – Einführung Übung

• Gib die Definition für eine Exponentialgleichung an.

  Tipps

  Sieh dir folgende Beispiele zu Exponentialgleichungen an:

  • $2^x=8$
  • $2^{x-3}=1$
  • $2^{x+1}+x^2=12$

  Eine Potenz $a^n$ setzt sich wie folgt zusammen:

  • $a^n$: Potenz
  • $a$: Basis
  • $n$: Exponent

  Lösung

  Es gibt im Alltag viele Dinge, deren Zunahme oder Abnahme exponentiell erfolgt. Möchte man ein solches Verhalten mathematisch ausdrücken, nutzt man Exponentialgleichungen.

  Was aber macht eine solche Gleichung aus?

  Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Variable mindestens einmal im Exponenten einer Potenz vorkommt.

  Demnach handelt es sich beispielsweise bei den folgenden Gleichungen um Exponentialgleichungen:

  • $2^x=8$
  • $2^{x-3}=1$
  • $2^{x+1}+x^2=12$

• Bestimme, bei welchen Gleichungen es sich um eine Exponentialgleichung handelt.

  Tipps

  Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten einer Potenz auftaucht.

  Sieh dir folgende Beispiele an:

  Exponentialgleichungen:

  • $2^{x^2}-x=14$
  • $2^{x-1}=2$
  • $2^{\frac x2}=2$

  Keine Exponentialgleichungen:

  • $x^2-3x=2$
  • $\frac 12x-1=0$
  • $x^3-x^2=4$

  Lösung

  Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die gesuchte Variable mindestens einmal im Exponenten einer Potenz auftaucht.

  Demnach handelt es sich bei den folgenden Beispielen um Exponentialgleichungen:

  • $5^x = 25$
  • $3^{x+2}=27$
  • $2^{x-5}+8^{\frac {x}{2}}=514$
  • $2^{x+1} + x^2 = 10$

  Diese Gleichungen hingegen sind keine Exponentialgleichungen:

  • $x^2 = 16$
  • $x^2 -x= 2$

• Entscheide, bei welchen Gleichungen es sich um Exponentialgleichungen handelt.

  Tipps

  Eine Exponentialgleichung besitzt mindestens eine Potenz, in deren Exponenten die gesuchte Variable auftaucht.

  Sieh dir folgende Exponentialgleichungen an:

  • $6^{x-1}=36$
  • $2^x-3^{x^2}=-1$
  • $2^x-3x=-2$

  Lösung

  Es handelt sich genau dann um eine Exponentialgleichung, wenn die Gleichung mindestens eine Potenz besitzt, in deren Exponenten die gesuchte Variable auftaucht.

  Demnach muss Frau Baums Korrektur wie folgt aussehen:

  • $2(x^2+x)=4~$ X
  • $8^{x^2}-2^{2x+1}=0~\checkmark$
  • $4^{2(x-1)}=16~\checkmark$
  • $3x^2+x-1=3~$ X

  Die gesuchte Variable taucht nämlich in der ersten und letzten Gleichung in keinem Exponenten auf, in der zweiten und dritten Gleichung hingegen schon.

• Zeige, an welchen Termen du erkennst, dass es sich um eine Exponentialgleichung handelt.

  Tipps

  Gegeben ist folgende Exponentialgleichung:

  • $x^2+3^{x^2-1}+4=2\cdot 3^x$

  Die exponentiellen Terme sind:

  • $3^{x^2-1}$ und $2\cdot 3^x$

  Eine Gleichung ist genau dann eine Exponentialgleichung, wenn die gesuchte Variable mindestens einmal in dem Exponenten einer Potenz steht.

  Lösung

  Woran können wir erkennen, dass es sich bei einer gegebenen Gleichung um eine Exponentialgleichung handelt?

  Eine Gleichung ist genau dann eine Exponentialgleichung, wenn die gesuchte Variable mindestens einmal in dem Exponenten einer Potenz steht. Demnach können wir anhand folgender Terme beurteilen, dass die gegebenen Gleichungen Exponentialgleichungen sind:

  Gleichung 1: $~2x-3^{2x-1}=-1$

  • $3^{2x-1}$

  Gleichung 2: $~x^2-5^{x^2+1}=(-2)^{x+2}-4^{x+1}$

  • $5^{x^2+1}$
  • $(-2)^{x+2}$
  • $4^{x+1}$

  Gleichung 3: $~2^{3(x-3)}-5^{\frac x2}=2(x+1)-3^{x-1}$

  • $2^{3(x-3)}$
  • $5^{\frac x2}$
  • $3^{x-1}$

• Beschrifte die Größen der Potenz.

  Tipps

  Da bei einer Exponentialgleichung die gesuchte Variable mindestens einmal in dem Exponenten einer Potenz steht, handelt es sich bei folgender Gleichung um eine Exponentialgleichung:

  • $5^{x-1}=125$

  Eine Potenz ist die abgekürzte Schreibweise für die wiederholte Multiplikation eines Faktors mit sich selbst:

  • $\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n\text{ -mal}}=a^n$

  Dabei steht der Faktor in der Basis der Potenz. Die Anzahl der mehrfachen Multiplikation steht im Exponenten.

  Lösung

  Bei einer Exponentialgleichung steht die gesuchte Variable mindestens einmal in dem Exponenten einer Potenz. Aus diesem Grund ist es wichtig zu wissen, wie sich eine Potenz zusammensetzt.

  Eine Potenz ist die abgekürzte Schreibweise für die wiederholte Multiplikation eines Faktors mit sich selbst:

  • $\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n\text{ -mal}}=a^n$

  Dabei steht der Faktor $a$ in der Basis der Potenz. Die Anzahl der mehrfachen Multiplikation $n$ steht im Exponenten.

• Leite die gesuchte Exponentialgleichung her.

  Tipps

  Eine Potenz $a^n$ setzt sich wie folgt zusammen:

  • $a$: Basis
  • $n$: Exponent

  Das Ergebnis einer Potenz wird Potenzwert genannt.

  Lösung

  Im Folgenden stellen wir diejenigen Gleichungen auf, deren Lösungen die Antworten der gegebenen Fragen liefern.

  Frage 1: Wie oft muss man $2$ mit sich selbst multiplizieren, um $8$ zu erhalten?

  Die mehrfache Multiplikation eines Faktors mit sich selbst können wir in der Potenzschreibweise ausdrücken. Die Potenz $a^n$ drückt beispielsweise die $n$-fache Multiplikation des Faktors $a$ mit sich selbst aus. Da wir die Anzahl der mehrfachen Multiplikation des Faktors $2$ mit sich selbst suchen, nennen wir diese Anzahl $x$. So erhalten wir folgende Exponentialgleichung:

  • $2^x=8$

  Frage 2: Wie oft muss man $3$ mit sich selbst multiplizieren, um $9$ zu erhalten?

  Hier erhalten wir diese Exponentialgleichung:

  • $3^x=9$

  Frage 3: Wie groß ist der Exponent einer Potenz, deren Basis $3$ und deren Potenzwert $27$ ist?

  Eine Potenz $a^n$ setzt sich aus der Basis $a$ und dem Exponenten $n$ zusammen. Das Ergebnis einer Potenz wird Potenzwert genannt. Somit folgt:

  • $3^x=27$