Logarithmen- und Exponentialgleichungen

Logarithmen- und Exponentialgleichungen Übung

• Ergänze die Erklärung zu Exponentialgleichungen.

  Tipps

  Hier siehst du eine Potenz.

  • Die Variable $a$, welche in der Potenz unten steht, wird als Basis bezeichnet.
  • Die Variable $n$, welche in der Potenz oben steht, wird als Exponent bezeichnet.

  Dies ist eine Potenzgleichung. Die Variable steht hier in der Basis.

  Lösung

  Was sind eigentlich Exponentialgleichungen?

  Als Exponentialgleichungen werden Gleichungen bezeichnet, bei denen die Variable $x$ im Exponenten steht.

  $f(x)=a^x+b$

  Diese Gleichung wird als Exponentialgleichung zur Basis $a$ bezeichnet.

  Besondere Exponentialgleichungen sind solche

  • mit der Basis $10$, also $g(x)=10^x+b$, oder
  • mit der Basis $e\approx2,718$, der Euler'schen Zahl, also $h(x)=e^x+b$.

  Exponentialgleichungen werden mit dem Logarithmus gelöst.

• Bestimme die Lösung der Exponentialgleichung.

  Tipps

  Denke daran: Exponentialgleichungen werden mit dem Logarithmus gelöst.

  Verwende das 3. Logarithmusgesetz:

  $\lg(a^n)=n\cdot\lg(a)$.

  Hier siehst du ein Beispiel.

  Lösung

  Um diese Gleichung zu lösen, wird zunächst die $8$ subtrahiert:

  $\begin{array}{rclll} 10&=&5^x+8&|&-8\\ 2&=&5^x \end{array}$

  Nun kommt man mit den Grundrechenarten nicht mehr weiter. Es muss der Logarithmus angewendet werden:

  $\lg(2)=\lg(5^x)$.

  Mit Hilfe des dritten Logarithmusgesetzes $\lg(a^n)=n\cdot\lg(a)$ kann weiter umgeformt werden zu

  $\lg(2)=x\cdot \lg(5)$.

  Zuletzt muss noch durch $\lg(5)$ dividiert werden:

  $x=\frac{\lg(2)}{\lg(5)}\approx0,43$.

• Ermittle die Zeit, nach der das Kapital sich vervierfacht hat.

  Tipps

  Verwende die Zinsformel

  $K_E=K_A\cdot\left(\frac{p}{100}\right)^n$.

  Dabei sind

  • $K_E$ das Endkapital,
  • $K_A$ das Anfangskapital,
  • $p$ der Zinssatz und
  • $n$ die Zahl der Jahre.

  Beachte: Es ist nach der Zahl der Jahre gefragt. Du musst also eine Exponentialgleichung lösen.

  Exponentialgleichungen werden mit dem Logarithmus gelöst.

  Das dritte Logarithmusgesetz besagt

  $\lg(a^n)=n\cdot\lg(a)$.

  Lösung

  Camilla muss diese Gleichung lösen:

  $4000 € = 1000 € \cdot1,025^n$.

  1. Sie dividiert durch $1000€$ und erhält $4=1,025^n$.
  2. Nun logarithmiert sie $\lg(4)=\lg(1,025^n)$.
  3. Der Exponent kann aus dem Logarithmus herausgezogen werden: $\lg(4)=n\cdot\lg(1,025)$.
  4. Zuletzt dividiert sie durch $\lg(1,025)$. Dies führt zu $n=\frac{\lg(4)}{\lg(1,025)}\approx 56,1$.

  Das ist ganz schön lange: Camilla muss mehr als 56 Jahre warten, bis ihr Kapital sich vervierfacht hat.

• Leite die Lösungen der Exponentialgleichungen her.

  Tipps

  Forme jede der Gleichungen so weit um, dass du zu der Gleichung

  $a^x=e$

  gelangst.

  Nun kannst du logarithmieren.

  Du könntest auch jeweils die Probe machen.

  Lösung

  Jede der folgenden Gleichungen kann zunächst so weit umgeformt werden, dass noch die Gleichung $3^x=???$ zu lösen ist.

  $\mathbf{3^x-3=6}$

  $\begin{array}{rclll} 3^x-3&=&6&|&+3\\ 3^x&=&9&|&\lg(~~~)\\ x\cdot\lg(3)&=&\lg(9)&|&:\lg(3)\\ x&=&\frac{\lg(9)}{\lg(3)}\\ &=&2 \end{array}$

  $\mathbf{3^x+3=6}$

  $\begin{array}{rclll} 3^x-3&=&6&|&-3\\ 3^x&=&3&|&\lg(~~~)\\ x\cdot\lg(3)&=&\lg(3)&|&:\lg(3)\\ x&=&\frac{\lg(3)}{\lg(3)}\\ &=&1 \end{array}$

  $\mathbf{4\cdot 3^x=15}$

  $\begin{array}{rclll} 4\cdot 3^x&=&15&|&:4\\ 3^x&=&3,75&|&\lg(~~~)\\ x\cdot\lg(3)&=&\lg(3,75)&|&:\lg(3)\\ x&=&\frac{\lg(3,75)}{\lg(3)}\\ &\approx&1,2 \end{array}$

  $\mathbf{2\cdot 3^x-3=12}$

  $\begin{array}{rclll} 2\cdot 3^x-3&=&12&|&+3\\ 2\cdot 3^x&=&15&|&:2\\ 3^x&=&7,5&|&\lg(~~~)\\ x\cdot\lg(3)&=&\lg(7,5)&|&:\lg(3)\\ x&=&\frac{\lg(7,5)}{\lg(3)}\\ &\approx&1,8 \end{array}$

• Berechne das Kapital nach 18 Jahren.

  Tipps

  Setze die bekannten Größen in der Formel ein.

  Beachte, dass in der Zinzsformel

  $1+\frac{p}{100}$

  steht.

  Lösung

  Das Kapital zum Anfang $K_A=1000~€$, die Zahl der Jahre $n=18$ und $p=4$ werden in dieser Formel eingesetzt. Damit gilt

  $\begin{array}{rcl} K_E&=&1000~€\cdot\left(1+\frac4{100}\right)^{18}\\ &=&1000~€\cdot1,04^{18}\\ &\approx& 2025,82~€ \end{array}$.

• Gib eine allgemeine Lösungsformel für eine Exponentialgleichung an.

  Tipps

  Subtrahiere zunächst $b$.

  Logarithmiere auf beiden Seiten: $\lg(c_b)=\lg(a^x)$.

  Wende das dritte Logarithmusgesetz an:

  $\lg(a^n)=n\cdot \lg(a)$.

  Lösung

  Subtraktion von $b$ führt zu $c-b=a^x$.

  Nun wird auf beiden Seiten logarithmiert:

  $\lg(c-b)=\lg(a^x)$.

  Hier kann man auch sehen, warum sowohl $a>0$ als auch $c-b>0$, also $c>b$, sein müssen. Der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert.

  Damit ist

  $\lg(c-b)=x\cdot \lg(a)$.

  Zuletzt wird durch $\lg(a)$ dividiert und man erhält die allgemeine Lösung

  $x=\frac{\lg(c-b)}{\lg(a)}$.

  Man kann sich dies so merken: Die Basis steht auch im Bruch unten.