Logarithmen- und Exponentialgleichungen – Beispiele

Logarithmen- und Exponentialgleichungen – Beispiele Übung

• Bestimme die Wachstumsfunktion.

  Tipps

  Beachte, es sind zwei Größen unbekannt:

  • $N_0$ der Anfangsbestand sowie
  • $b$ die Basis der Potenz.

  Setze jeweils die bekannten Werte für $t$ und den zugehörigen Funktionswert in der Funktionsgleichung

  $N(t)=n_0\cdot b^{-t}$

  ein.

  Du erhältst zwei Gleichungen.

  Wenn bei einer Potenzgleichung $x^n=b$ die Basis gesucht ist, musst du die Wurzel ziehen.

  Lösung

  Es sind die Werte zu zwei Zeiten bekannt:

  • $t=0$, also $1000000=N(0)=N_0\cdot b^{-0}$. Somit ist $N_0=1000000$.
  • $t=5$, also $800000=N(5)=1000000\cdot b^{-5}$.

  Es bleibt also die Gleichung $800000=1000000\cdot b^{-5}$.

  • Zuerst wird durch $1000000$ dividiert zu $0,8=b^{-5}$.
  • Dann wird die $-5$-te Wurzel gezogen: $b=\sqrt[-5]{0,8}\approx1,05$.

  Die Funktion lautet gesamt

  $N(t)=1000000\cdot 1,05^{-t}$.

• Ermittle, wann die Einwohnerzahl unter 1 Milliarde zurückgegangen ist.

  Tipps

  Denke daran: Exponentialgleichungen werden mit dem Logarithmus gelöst.

  Verwende das 3. Logarithmusgesetz:

  $\lg(a^n)=n\cdot\lg(a)$.

  Lösung

  China ist das bevölkerungsreichste Land.

  2012 betrug die Einwohnerzahl 1,34 Milliarden Menschen. Die Einwohnerzahl geht mit einer negativen Wachstumsrate von $-0,5\%$ zurück.

  Gefragt ist nach der Zeit, zu der die Einwohnerzahl unter 1 Milliarde gesunken ist.

  Es wird die Wachstumsfunktion

  $N(t)=N_0\cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)^t$

  verwendet. Zunächst können die bekannten Größen eingesetzt werden:

  $N(t)=1340000000\cdot \left(1-\frac{0,5}{100}\right)^t=1340000000\cdot 0,995^t$.

  Da nach der Zeit gefragt ist, nach der die Einwohnerzahl unter 1 Milliarde gefallen ist, muss die folgende Gleichung gelöst werden

  $1000000000=1340000000\cdot 0,995^t$.

  Division durch $1340000000$ führt zu

  $\frac{100}{134}=0,995^t$.

  Nun muss man logarithmieren und das dritte Logarithmusgesetz anwenden:

  $\lg\left(\frac{100}{134}\right)=t\cdot \lg(0,995)$.

  Zuletzt wird dividiert durch $\lg(0,995)$ und man erhält

  $t=\frac{\lg\left(\frac{100}{134}\right)}{\lg(0,995)}\approx 58,39$.

  Das bedeutet, dass nach etwa 58 Jahren die Bevölkerungszahl Chinas unter 1 Milliarde gesunken sein wird.

• Selle die Wachstumsfunktionen auf.

  Tipps

  Verwende die Wachstumfunktion

  $N(t)=N_0\cdot b^t$.

  Dabei sind

  • $N(t)$ der Bestand (die Anzahl) zum Zeitpunkt $t$,
  • $t$ die Zeit in Tagen,
  • $N_0$ der Anfangswert und
  • $b$ der Wachstumsfaktor.

  Bei der Gruppe $A$ ist der Anfangswert bereits bekannt.

  Setze die jeweils bekannten Werte in der Wachstumsfunktion ein und forme nach den unbekannten Größen $N_0$ sowie $b$ um.

  Lösung

  Zu beiden Gruppen wird die jeweilige Wachstumsfunktion, eine Exponentialfunktion, gleichermaßen aufgestellt:

  Gruppe A

  Bei Gruppe $A$ ist bereits der Anfangswert $N_0=100$ bekannt, sowie die Anzahl nach drei Tagen, also $N(3)=152$. Somit gilt

  $152=100\cdot b^3$.

  Nun wird durch $100$ dividiert und anschließend die dritte Wurzel gezogen:

  $b=\sqrt[3]{1,52}\approx 1,15$.

  Damit lautet die Wachstumsfunktion, welche das Verbreiten der Nachricht in Gruppe $A$ beschreibt

  $N_A(t)=100\cdot 1,15^t$.

  Ebenso kann die Exponentialfunktion für die Gruppe B bestimmt werden:

  • $N_B(2)=145$: Dies führt zu $145=N_0\cdot b^2$.
  • $N_B(5)=193$: Dies führt zu $193=N_0\cdot b^5$.

  Die obere Gleichung wird nach $N_0$ umgeformt. Hierfür wird durch $b^2$ dividiert:

  $N_0=\frac{145}{b^2}$.

  Dieses $N_0$ wird in der unteren Gleichung eingesetzt:

  $193=\frac{145}{b^2}\cdot b^5=145\cdot b^3$.

  Nun wird durch $145$ dividiert und die dritte Wurzel gezogen: $b=\sqrt[3]{1,33}\approx1,1$.

  Nun kann auch $N_0$ berechnet werden:

  $N_0=\frac{145}{1,1^2}\approx 120$.

  Damit lautet die Exponentialfunktion, welche das Verbreiten der Nachricht in Gruppe $B$ beschreibt

  $N_B(t)=120\cdot 1,1^t$.

• Berechne die Verbreitung der Nachricht nach einer gegebenen Zahl von Tagen sowie den Zeitpunkt, zu dem die Nachricht sich auf eine gegebene Zahl von Menschen verbreitet hat.

  Tipps

  Um bei einer gegebenen Zeit die Verbreitung zu berechnen, setzt du für $t$ die gegebene Zeit in der entsprechenden Gleichung ein.

  Wenn die Zeit gefragt ist, musst du eine Exponentialgleichung lösen.

  Exponentialgleichungen löst du durch Logarithmieren.

  Du kannst eine Probe durchführen. Setze das gefundene Ergebnis in der Ausgangsgleichung ein.

  Lösung

  Die beiden Wachstumsfunktionen für die Verbreitung der Nachricht sind bereits bekannt:

  $N_A(t)=100\cdot 1,15^t$ in Gruppe $A$ sowie

  $N_B(t)=120\cdot 1,1^t$ in Gruppe $B$.

  Nun können verschiedene Fragen zu diesen Funktionen gestellt werden:

  Wie weit hat sich die Nachricht nach 10 Tagen in Gruppe A verbreitet?

  Man setzt für $t=10$ in der Gleichung $N_A(t)$ ein und erhält

  $N_A(10)=100\cdot 1,15^{10}=404,55...$.

  Das bedeutet, dass nach $10$ Tagen bereits $405$ Menschen die Nachricht kennen.

  Wann kennen 500 Menschen die Nachricht in Gruppe A?

  Dieses Mal muss eine Gleichung gelöst werden: $500=100\cdot 1,15^t$.

  • Zuerst dividiert man durch $100$ und erhält die Gleichung $5=1,15^t$.
  • Dann logarithmiert man $\lg(5)=t\cdot\lg(1,15)$.
  • Zuletzt dividiert man durch $\lg(1,15)$ und gelangt zu der Lösung

  $t=\frac{\lg(5)}{\lg(1,15)}\approx11,5$.

  Nach ungefähr $11,5$ Tagen hat sich die Nachricht auf $500$ Menschen verbreitet.

  Ebenso kann die Gruppe $B$ betrachtet werden:

  Wie weit hat sich die Nachricht nach 20 Tagen in Gruppe B verbreitet?

  Man setzt für $t=20$ in der Gleichung $N_B(t)$ ein und erhält

  $N_B(20)=120\cdot 1,1^{20}=807,2\bar9$.

  Das bedeutet, dass nach $20$ Tagen bereits $807$ Menschen die Nachricht kennen.

  Wann kennen 500 Menschen die Nachricht in Gruppe B?

  Dieses Mal muss eine Gleichung gelöst werden: $500=120\cdot 1,1^t$.

  • Zuerst dividiert man durch $120$ und erhält die Gleichung $\frac{25}6=1,1^t$.
  • Dann logarithmiert man $\lg\left(\frac{25}6\right)=t\cdot\lg(1,1)$.
  • Zuletzt dividiert man durch $\lg(1,1)$ und gelangt zu der Lösung

  $t=\frac{\lg\left(\frac{25}6\right)}{\lg(1,1)}\approx15$.

  Nach ungefähr $15$ Tagen hat sich die Nachricht auf $500$ Menschen verbreitet.

• Berechne wie viel Geld nach 18 Jahren auf dem Konto ist.

  Tipps

  Setze die bekannten Größen in der Formel ein.

  Beachte, dass in der Zinzsformel

  $1+\frac{p}{100}$

  steht.

  Lösung

  Man setzt das Kapital zum Anfang $K_A=1000~€$, die Zahl der Jahre $n=18$ und $p=4$ in der nebenstehenden Formel ein.

  Damit gilt

  $\begin{array}{rcl} K_E&=&2000~€\cdot\left(1+\frac4{100}\right)^{18}\\ &=&2000~€\cdot1,04^{18}\\ &\approx& 4051,63~€ \end{array}$.

• Ermittle den Zeitpunkt, zu dem sich die Nachricht in beiden Gruppen auf gleich viele Menschen verbreitet hat.

  Tipps

  Löse die Gleichung $N_A(t)=N_B(t)$.

  Setze für $t$ den berechneten Wert mit einer Nachkommastelle ein.

  Bei der Angabe der Tage ist eine der beiden Antworten „vier“ oder „fünf“ richtig.

  Die Zahl der Menschen wird mit dem Wert von $t$ berechnet, nicht mit der ganzen Zahl.

  Lösung

  In dieser Aufgabe muss das $t$ berechnet werden, welches $N_A(t)=N_B(t)$ löst.

  Diese Gleichung wird nun umgeformt

  $\begin{array}{crclll} &100\cdot 1,15^t&=&120\cdot 1,1^t&|&:100\\ \Leftrightarrow&1,15^t&=&1,2\cdot 1,1^t&|&:1,1^t\\ \Leftrightarrow&\left(\frac{1,15}{1,1}\right)^t&=&1,2&|&\lg(~~~)\\ &x&=&\frac{\lg(1,2)}{\lg\left(\frac{1,15}{1,1}\right)}\\ &&\approx&4,1 \end{array}$

  Nach ungefähr vier Tagen ist das Gerücht in beiden Gruppen gleichermaßen verbreitet.

  Um die entsprechende Anzahl an Menschen zu erhalten, setzt man $t=4,1$ in einer der beiden Gleichungen ein:

  $N_A(4)=100\cdot 1,15^{4,1}=177,36...$.

  Das bedeutet, dass ungefähr $177$ Menschen die Nachricht kennen.