Lösungen von Exponentialgleichungen

Lösungen von Exponentialgleichungen Übung

• Schildere, unter welchen Bedingungen die Verfahren zur Lösung von Exponentialgleichungen verwendet werden.

  Tipps

  Sieh dir folgendes Beispiel für den Exponentenvergleich an:

  $(-3)^x=-27$

  Sieh dir folgendes Beispiel für die Verwendung des Substitutionsverfahrens an:

  $0=9^x+3^x-90$

  Lösung

  Eine Potenz kann allgemein beschrieben werden mit $a^n$. Dabei ist $a$ die Basis und $n$ der Exponent.

  Das Logarithmusverfahren verwendet man, wenn es eine einzige Potenz gibt, die eine positive Basis hat:

  $1,1^{x}=64$

  Den Exponentenvergleich nutzt man, wenn es eine gleiche oder mögliche gleiche positive oder negative Basis gibt:

  $(-2)^{x}=-8$ $\rightarrow$ $(-2)^{x}=(-2)^3$

  Das Substitutionsverfahren wendet man an, wenn es mehrere Potenzen mit verschiedener Basis und gleichem Exponenten gibt:

  $4^{x}+2^{x}-2=0$

  Das Näherungsverfahren braucht man, wenn keins der anderen Verfahren sich eignet:

  $2^{x}+x=2$

• Berechne mit dem Logarithmusverfahren die Variable $x$.

  Tipps

  Sieh dir das folgende Beispiel zur Umformung nach dem dritten Logarithmusgesetz an:

  $\begin{array}{rll} 2,4^x &=& 35 &\vert\ \log() \\ \log(2,4^x) &=& \log(35) & \\ x \cdot \log(2,4) &=& \log(35) \end{array}$

  Setzt man den für $x$ errechneten Wert zur Probe in die ursprüngliche Gleichung ein und ergibt sich dann dieselbe Zahl wie auf der rechten Seite der Ursprungsgleichung, so stimmt der Wert für $x$ und er ist das gesuchte Endergebnis.

  Lösung

  Da es hier nur eine einzige Potenz mit positiver Basis gibt, wendet man das Logarithmusverfahren an. Dieses funktioniert so:

  $1,1^{x}=64\quad\vert\ \log()$ $\log (1,1^{x})=\log(64)$

  Das dritte Logarithmusgesetz besagt:

  $\log(a^{n})=n\cdot \log(a)$

  Also formen wir unsere Gleichung dementsprechend um:

  $\log (1,1^{x})=\log(64)$ $x\cdot \log(1,1)=\log(64)\quad\vert : \log(1,1)$ $x=\frac{\log(64)}{\log(1,1)}$

  Gibt man diesen Term im Taschenrechner ein, bekommt man folgendes Ergebnis:

  $x\approx43,64$

  Probe

  Wert für $x$ in $1,1^{x}=64$ einsetzen, also $x=43,64$ in die Gleichung $1,1^{x}=64$ einsetzen:

  $1,1^{x}=64$ $1,1^{43,64}\approx64,03$ $\checkmark$

  Das beweist: Nach ca. $44$ Minuten ist die Petrischale vollständig besiedelt.

• Untersuche, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

  Tipps

  Eine Aussage ist wahr, wenn nach Einsetzen des genannten Wertes für $x$ und anschließender Auflösung auf beiden Seiten der Gleichung derselbe Wert steht.

  $0=0$ ist eine wahre Aussage.

  $5=0$ ist eine falsche Aussage, da $5\neq0$ ist.

  Sieh dir folgendes Beispiel an für die Gleichung $5x+x^2=14$, wenn $x=2$:

  $\begin{array}{rll} 5x+x^2 &=& 14 &\vert\ x=2\ \text{einsetzen} \\ 5\cdot2+2^2 &=&14 & \\ 10+4 &=& 14 & \\ 14 &=& 14 & \checkmark \\ \end{array}$

  Somit ist $5x+x^2=14$, wenn $x=2$ eine wahre Aussage.

  Lösung

  Wir überprüfen Aussagen, indem wir den Wert für $x$ einsetzen und kontrollieren, ob die abschließende Aussage wahr ist, z. B. $4=4$, oder ob sie falsch ist, z. B. $5=4$.

  • $(-3)^x=-9$, wenn $x=2$

  Wir setzen ein:

  $\begin{array}{rl} (-3)^x& =& -9 \\ (-3)^2 &=& -9 \\ 9 &=& -9 \end{array}$

  Dies ist eine falsche Aussage, da $9\neq-9$ ist.

  • $8^{x}+4^{x}-4=0$, wenn $x=2$

  Wir setzen ein:

  $\begin{array}{rl} 8^{x}+4^{x}-4 &=& 0 \\ 8^2+4^2-4 &=& 0 \\ 64+16-4 &=& 0 \\ 76 &=& 0 \end{array}$ //

  Dies ist eine falsche Aussage, da $76\neq0$ ist.

  • $9^{x}+3^{x}-12=0$, wenn $x=1$

  Wir setzen ein:

  $\begin{array}{rl} 9^{x}+3^{x}-12 &=& 0 \\ 9^1+3^1-12 &=& 0 \\ 9+3-12 &=& 0 \\ 0 &=& 0 \end{array}$

  Dies ist eine wahre Aussage, da $0=0$ ist.

  • $64=2^{x}$, wenn $x=6$

  Wir setzen ein:

  $\begin{array}{rl} 64 &=& 2^{x} \\ 64 &=& 2^6 \\ 64 &=& 64 \\ \end{array}$

  Dies ist eine wahre Aussage, da $64=64$ ist.

  • $(-4)^{x}=-64$, wenn $x=3$

  Wir setzen ein:

  $\begin{array}{rl} (-4)^{x} &=& -64 \\ (-4)^3 &=& -64 \\ -64 &=& -64 \\ \end{array}$

  Dies ist eine wahre Aussage, da $-64=-64$ ist.

  • $7^{x-1}=3\cdot 5^x$, wenn $x=3$

  Wir setzen ein:

  $\begin{array}{rl} 7^{x-1} &=& 3\cdot 5^x \\ 7^{3-1} &=& 3\cdot 5^3 \\ 7^2 &=& 3\cdot 15 \\ 49 &=& 45 \\ \end{array}$

  Dies ist eine falsche Aussage, da $49\neq45$ ist.

• Entscheide, welches Verfahren am geeignetsten zum Lösen der Gleichungen ist.

  Tipps

  Gibt es mehrere Potenzen mit unterschiedlichen Basen und gleichen Exponenten, kann man substituieren.

  Logarithmieren kann man, wenn es eine einzige Potenz mit positiver Basis gibt.

  Der Exponentenvergleich funktioniert auch bei negativer Basis.

  Lösung

  Logarithmusverfahren

  Dieses nutzt man, wenn es nur eine Potenz mit positiver Basis gibt. Folgende Gleichungen erfüllen diese Bedingung:

  $56=1,8^{x}$ $1,3^{x}=15$ $1,02^x=28$

  Exponentenvergleich

  Diesen Vergleich verwendet man, wenn auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Basis steht oder durch Umformung möglich wird. Außerdem funktioniert dieses Verfahren auch mit negativer Basis. Folgende Gleichungen passen:

  $(-3)^{x}=-27$ $-64=(-4)^{x}$ $(-5)^{x}=(-5)^2$

  Substitutionsverfahren

  Besteht eine Gleichung aus Summen bzw. Differenzen von mehreren Potenzen, nutzt man das Substitutionsverfahren. Voraussetzung ist, dass die Potenzen gleiche bzw. mögliche gleiche Basen haben. Die folgenden Gleichungen erfüllen diese Bedingungen:

  $9^{x}+3^{x}=90$ $2=2^{x}+4^{x}$ $9^{x}+3^{x}=20$

  Näherungsverfahren

  Mit diesem Verfahren kann man sich an die Lösung für $x$ herantasten, wenn die anderen Verfahren nicht anwendbar sind. Das trifft auf folgende Gleichungen zu:

  $x-2^{x}=0$ $2x+4^x=80$ $34=3^x+3x$

• Bestimme die Eigenschaften der Exponentialgleichungen.

  Tipps

  Die Potenz $a^n$ setzt sich aus der Basis $a$ und dem Exponenten $n$ zusammen.

  Man kann zwei Werte zu einer gleichen Basis umformen, wenn der eine Wert potenziert den anderen Wert ergibt.

  Eine Potenz $a^n$ hat eine:

  • positive Basis, wenn $a>0$ ist
  • negative Basis, wenn $a<0$ ist

  Lösung

  Eine Potenz kann allgemein beschrieben werden mit $a^n$. Dabei ist $a$ die Basis und $n$ der Exponent. Es ergeben sich folgende Gleichungseigenschaften:

  $1,1^x=64$
  In dieser Exponentialgleichung kommt eine einzige Potenz vor und diese hat eine positive Basis. Man nutzt daher das Logarithmusverfahren.

  $(-2)^{x}=-8$
  Es gibt eine einzige Potenz und die hat eine negative Basis. Hier kann man durch Umformung von $-8$ eine gleiche Basis schaffen. Daher verwendet man hier den Exponentenvergleich.

  $4^{x}+2^{x}-2=0$
  Hier gibt es mehrere Potenzen mit unterschiedlicher Basis und gleichen Exponenten. Deshalb eignet sich das Substitutionsverfahren.

  $2^{x}+x=2$
  In diesem Fall sind weder Exponent noch Basis gleich. Daher kann man nur das Annäherungsverfahren nutzen.

• Bestimme $x$ mithilfe des Substitutionsverfahrens.

  Tipps

  Du kannst in die Lücken sowohl Zahlenwerte als auch Variablen einsetzen.

  Ein Beispiel für das Potenzgesetz siehst du hier:

  $\begin{array}{lll} (a^n)^m &=& (a^m)^n \\ (5^3)^x &=& (5^x)^3 \end{array}$

  $9^x$ mit $z$ substituieren bedeutet, in der Gleichung jedes $9^x$ durch ein $z$ zu ersetzen.

  Lösung

  Ein Potenzgesetz besagt: $(a^n)^m=(a^m)^n$.
  Dieses wenden wir nun bei dem Term $9^x$ an:

  $9^x=(3^2)^x=(3^x)^2$

  Wir setzen diese Potenz in die Gleichung ein:

  $(3^x)^2+3^{x}-90=0$

  Nun substituieren wir $3^x$ durch $z$:

  $z^2+z-90=0$

  Und wir wenden die $pq$-Formel an:

  $z_{1,2}=-\frac12\pm\sqrt{{\left(\frac12\right)^2}+90}$ $z_1=-10$ $z_2=9$

  Wir resubstituieren:

  $3^{x_1}=z_1$
  $3^{x_1}=-10$ $\rightarrow$ fällt weg, da eine positive Basis kein negatives Ergebnis haben kann.
  $\begin{array}{lll} \\ 3^{x_2} &=& z_2 \\ 3^{x_2} &=& 9 \\ x_2 &=& 2 \end{array}$

  Wir machen die Probe, indem wir $x_2=2$ in die Ausgangsgleichung einsetzen:

  $\begin{array}{lll} 9^{2}+3^{2}-90 &=& 0 \\ 81+9-90 &=& 0 \\ 0 &=& 0 \end{array}$

  Damit ist bewiesen:

  $x=2$