Körper in Prismen zerlegen – Oberflächeninhalt berechnen

Körper in Prismen zerlegen – Oberflächeninhalt berechnen Übung

• Beschreibe, wie du die Grund- und Deckfläche eines Prismas erkennst.

  Tipps

  Hier erkennst du ein sechseckiges Prisma. Kannst du die Deck- und Grundfläche sowie die Mantelfläche bestimmen?

  Grund- und Deckfläche haben dieselbe Form und den gleichen Flächeninhalt.

  Lösung

  Die Oberfläche eines Prismas besteht aus seiner Grund- und Deckfläche sowie seiner Mantelfläche.

  Die Grund- und die Deckfläche sind dabei kongruent. Das heißt, dass die eine Fläche die andere abdecken würde und umgekehrt, wenn du sie übereinanderlegen würdest. Sie sind also genau gleich groß. Außerdem sind sie parallel zueinander. Das heißt, dass sie in jedem Punkt den gleichen Abstand haben. Diesen Abstand bezeichnet man als Höhe $h$. Dadurch stehen die Grund- und die Deckfläche senkrecht zur Höhe.

  Das kannst du dir einmal anhand des abgebildeten Prismas mit der dreieckigen Grund- und Deckfläche klarmachen.

• Berechne den Oberflächeninhalt des Körpers.

  Tipps

  Den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnet man mit der Formel $O = 2 \cdot A_G + M$.

  Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man seine Länge mit der Breite multipliziert.

  Mit der Formel $A_G = \frac{a \cdot h_a}{2}$ berechnet man den Flächeninhalt von einem Dreieck, wobei $a$ die Kantenlänge und $h_a$ die Höhe, senkrecht auf der Seite $a$, angibt.

  Lösung

  Den Körper kann man in drei Prismen, nämlich zwei Quader und ein dreiecksförmiges Prisma, zerlegen. Diese Prismen werden wir nachfolgend mit $P_1$,$P_2$ und $P_3$ bezeichnen. Um den Oberflächeninhalt des Körpers zu bestimmen, muss man den Oberflächeninhalt der einzelnen Prismen bestimmen und anschließend addieren. Mit der Formel $O = 2 \cdot A_G + M$ berechnet man den Oberflächeninhalt eines Prismas. Abschließend müssen noch die nicht sichtbaren Flächen, die wir mit $F$ bezeichnen, subtrahiert werden.

  Den Oberflächeninhalt der Prismen bestimmen wir, indem wir zunächst die Grundfläche bestimmen und berechnen. Anschließend berechnen wir den Umfang der Grundfläche, da wir diesen brauchen, um die Mantelfläche des Prismas zu berechnen. Die Mantelfläche berechnen wir mit der Formel $M = u \cdot h$. Wenn wir $A_G$ und $M$ bestimmt haben, können wir den Oberflächeninhalt berechnen.

  $P_1$ Die Grundfläche des blauen Quaders $P_1$ ist ein Rechteck. Den Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmt man, indem man seine Länge mit der Breite multipliziert.

  $\begin{aligned} A_{G_{P_1}} & = (4~cm + 8~cm + 3~cm) \cdot 2~cm\\ & = 15~cm \cdot 2~cm\\ & = 30~cm^2\\ \end{aligned}$

  Dann kann der Umfang berechnet werden:

  $\begin{aligned} u_{P_1} & = 15~cm + 2~cm + 15~cm + 2~cm\\ & = 34~cm\\ \end{aligned}$

  Nun lässt sich die Mantelfläche bestimmen.

  $\begin{aligned} M_{P_1} & = 34~cm \cdot 2~cm\\ & = 68~cm^2\\ \end{aligned}$

  Nun, da die Mantelfläche bestimmt ist, beträgt die Oberfläche:

  $\begin{aligned} O_{p_1} & = 2 \cdot 30~cm^2 + 68~cm^2\\ & = 128~cm^2\\ \end{aligned}$

  $P_2$ Die Grundfläche des grünen Quaders $P_2$ ist auch ein Rechteck.

  $\begin{aligned} A_{G_{P_2}} & = 5~cm \cdot 4~cm\\ & = 20~cm^2\\ \end{aligned}$

  Es lässt sich auch der Umfang berechnen.

  $\begin{aligned} u_{P_2} & = 5~cm + 4~cm + 5~cm + 4~cm\\ & = 18~cm\\ \end{aligned}$

  Die Mantelfläche beträgt:

  $\begin{aligned} M_{P_2} & = 18~cm \cdot 2~cm\\ & = 36~cm^2\\ \end{aligned}$

  Und dann noch die Oberfläche:

  $\begin{aligned} O_{P_2} & = 2 \cdot 20~cm^2 + 36~cm^2\\ & = 76~cm^2\\ \end{aligned}$

  $P_3$ Die Grundfläche des rosafarbenen Prismas $P_3$ ist ein Dreieck. Seinen Flächeninhalt berechnet man mit der Formel $A_G = \frac{a \cdot h_a}{2}$

  $\begin{aligned} A_{G_{P_3}} & = \frac{3~cm \cdot 5~cm}{2}\\ & = 7,5~cm^2\\ \end{aligned}$

  Der Umfang lässt sich auch berechnen:

  $\begin{aligned} u_{P_3} & = 5~cm + 3~cm + 5,8~cm\\ & = 13,8~cm\\ \end{aligned}$

  Die Mantelfläche beträgt dann:

  $\begin{aligned} M_{P_3} & = 13,8~cm \cdot 2~cm\\ & = 27,6~cm^2\\ \end{aligned}$

  Die Oberfläche des rosafarbenen Prismas $P_3$ ist:

  $\begin{aligned} O_{P_3} & = 2 \cdot 7,5~cm^2 + 27,6~cm^2\\ & = 42,6~cm^2\\ \end{aligned}$

  Da wir nun von allen Prismen den Oberflächeninhalt bestimmt haben, müssen wir die einzelnen Oberflächeninhalte addieren. Allerdings müssen wir Flächen, die wir zwar mit berechnet haben, die aber an unserem Körper nicht sichtbar sind, subtrahieren. Davon gibt es hier zwei. Einmal müssen wir eine Fläche zwischen dem grünen und dem blauen Prisma subtrahieren und einmal zwischen dem rosafarbenen und dem blauen Prisma. Wir erhalten:

  $\begin{aligned} F & = (4~cm \cdot 2~cm) + (2~cm \cdot 3~cm)\\ & = 8~cm^2 + 6~cm^2\\ & = 14~cm^2\\ \end{aligned}$

  Nun können wir den Oberflächeninhalt des Körpers berechnen. Wir erhalten

  $\begin{aligned} O & = O_{P_1} + O_{P_2} + O_{P_3} - 2 \cdot F\\ & = 128~cm^2 + 76~cm^2 + 42,6~cm^2 - 2 \cdot 14~cm^2\\ & = 218,6~cm^2\\ \end{aligned}$

  Der Oberflächeninhalt des gesamten Körpers ist $218,6~cm^2$ groß.

• Entscheide, ob das Prisma eines Kreuzes als Dekoration verwendet werden darf.

  Tipps

  Den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnet man mit der Formel $\large{O = 2 \cdot A_G + M}$.

  Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man seine Länge mit der Breite multipliziert.

  Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dieses Prisma in kleinere Prismen aufzuteilen.

  Die Grund- und Deckfläche sollte aber durch das Kreuz dargestellt werden.

  Flächen, welche du berechnet hast, obwohl sie gar nicht an der Oberfläche liegen, müssen am Ende wieder abgezogen werden.

  Lösung

  Den Körper könnte man in drei Prismen mit der Form eines Quaders zerlegen. Diese Prismen werden wir nachfolgend mit $P_1$,$P_2$ und $P_3$ bezeichnen. Um den Oberflächeninhalt des Körpers zu bestimmen, muss man den Oberflächeninhalt der einzelnen Prismen bestimmen und anschließend addieren. Mit der Formel $O = 2 \cdot A_G + M$ berechnet man den Oberflächeninhalt eines Prismas. Abschließend müssen noch die nicht sichtbaren Flächen, die wir mit $F$ bezeichnen, subtrahiert werden.

  Den Oberflächeninhalt der Prismen bestimmen wir, indem wir zunächst die Grundfläche bestimmen und berechnen. Anschließend berechnen wir den Umfang der Grundfläche, da wir diesen brauchen, um die Mantelfläche des Prismas zu berechnen. Die Mantelfläche berechnen wir mit der Formel $M = u \cdot h$. Wenn wir $A_G$ und $M$ bestimmt haben, können wir den Oberflächeninhalt berechnen.

  ($P_1$) Die Grundfläche des großen Quaders in der Mitte ist ein Rechteck. Den Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmt man, indem man seine Länge mit der Breite multipliziert.

  $\begin{aligned} A_{G_{P_1}} & = 14~cm \cdot 8~cm\\ & = 112~cm^2\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} u_{P_1} & = 14~cm + 8~cm + 14~cm + 8~cm\\ & = 44~cm\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} M_{P_1} & = 44~cm \cdot 15~cm\\ & = 660~cm^2\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} O_{P_1} & = 2 \cdot 112~cm^2 + 660~cm^2\\ & = 884~cm^2\\ \end{aligned}$

  ($P_2$) Die Grundfläche der kleineren Quader oben und unten ist auch rechteckig. Sie sind gleich groß. Es gilt:

  $\begin{aligned} A_{G_{P_2}} & = 10~cm \cdot 2~cm\\ & = 20~cm^2\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} u_{P_2} & = 10~cm + 2~cm + 10~cm + 2~cm\\ & = 24~cm\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} M_{P_2} & = 24~cm \cdot 15~cm\\ & = 360~cm^2\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} O_{P_2} & = 2 \cdot 20~cm^2 + 360~cm^2\\ & = 400~cm^2\\ \end{aligned}$

  Da der dritte Quader genauso groß ist wie der zweite, gilt für diesen ebenso $O_{P_2}=O_{P_3} = 400~cm^2$

  Bevor wir die Oberflächeninhalte addieren, müssen wir noch die Fläche $F$ subtrahieren, wie wir doppelt berechnet haben. Davon haben wir zwei Flächen. Es gilt:

  $\begin{aligned} F & = (10~cm \cdot 15cm ) + (10~cm \cdot 15~cm)\\ & = 150~cm^2 + 150~cm^2\\ & = 300~cm^2\\ \end{aligned}$

  Es gilt also:

  $\begin{aligned} O & = O_{P_1} + O_{P_2} + O_{P_3} - 2 \cdot F\\ & = 884~cm^2 + 400~cm^2 + 400~cm^2 - 2 \cdot 300~cm^2 = 1084~cm^2\\ \end{aligned}$

  Der Oberflächeninhalt des Körpers ist $1084~cm^2$ groß und liegt damit genau im Rahmen, um als Dekoration aufgestellt zu werden.

• Bestimme den Oberflächeninhalt des Werkstücks.

  Tipps

  Den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnet man mit der Formel $O = 2 \cdot A_G + M$.

  Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man seine Länge mit der Breite multipliziert.

  Mit der Formel $A_G = \frac{a + c}{2} \cdot h$ berechnet man den Flächeninhalt von einem Trapez, wobei $a$ die untere Kantenlänge, $c$ die obere Kantenlänge und $h$ die Höhe des Trapezes angibt.

  Bedenke auch, dass sich im Innern des Prismas noch Flächen befinden.

  Lösung

  Den Körper kann man in fünf Prismen, nämlich vier Quader und ein trapezförmiges Prisma, zerlegen. Diese Prismen werden wir nachfolgend mit $P_1$,$P_2$,$P_3$,$P_4$, und $P_5$ bezeichnen. Um den Oberflächeninhalt des Körpers zu bestimmen, muss man den Oberflächeninhalt der einzelnen Prismen bestimmen und anschließend addieren. Mit der Formel $O = 2 \cdot A_G + M$ berechnet man den Oberflächeninhalt eines Prismas. Abschließend müssen nicht sichtbare Flächen, die wir mit $F$ bezeichnen, subtrahiert werden. Den Oberflächeninhalt der Prismen bestimmen wir, indem wir zunächst die Grundfläche bestimmen und berechnen. Anschließend berechnen wir den Umfang der Grundfläche, da wir diesen brauchen, um die Mantelfläche des Prismas zu berechnen. Die Mantelfläche berechnen wir mit der Formel $M = u \cdot h$. Wenn wir $A_G$ und $M$ bestimmt haben, können wir den Oberflächeninhalt berechnen.

  (P1) Die Grundfläche vom Prisma $P_1$ ist ein Rechteck. Den Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmt man, indem man seine Länge mit der Breite multipliziert.

  $\begin{aligned} A_{Gp1} & = 27~cm \cdot 7~cm\\ & = 189~cm^2\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} u_{p1} & = 27~cm + 7~cm + 27~cm + 7~cm\\ & = 68~cm\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} M_{p1} & = 68~cm \cdot 30~cm\\ & = 2040~cm^2\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} O_{p1} & = 2 \cdot 189~cm^2 + 2040~cm^2\\ & = 2418~cm^2\\ \end{aligned}$

  (P2) Die Grundfläche der Prismen $P_2$ und $P_3$ sind auch Rechtecke. Sie sind gleich groß. Es gilt:

  $\begin{aligned} A_{Gp2} & = 9~cm \cdot 9~cm\\ & = 81~cm^2\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} u_{p2} & = 4 \cdot 9~cm\\ & = 36~cm\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} M_{p2} & = 36~cm \cdot 30~cm\\ & = 1080~cm^2\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} O_{p2} & = 2 \cdot 81~cm^2 + 1080~cm^2\\ & = 1242~cm^2\\ \end{aligned}$

  Da der orangefarbene Quader genauso groß ist wie der gelbe, gilt für diesen ebenfalls $O_{P_3} = 1242~cm^2$

  (P4) Die Grundfläche vom Prisma $P_4$ ist auch ein Rechteck.

  $\begin{aligned} A_{Gp4} & = 5~cm \cdot 27~cm\\ & = 135~cm^2\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} u_{p4} & = 27~cm + 5~cm + 27~cm + 5~cm\\ & = 64~cm\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} M_{p4} & = 64~cm \cdot 30~cm\\ & = 1920~cm^2\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} O_{p4} & = 2 \cdot 135~cm^2 + 1920~cm^2\\ & = 2190~cm^2\\ \end{aligned}$

  (P5) Die Grundfläche vom Prisma $P_5$ ist ein Trapez. Seinen Flächeninhalt berechnet man mit der Formel $A_G = \frac{a + c}{2} \cdot h $, wobei $a$ die untere Kantenlänge, $c$ die obere Kantenlänge und $h$ die Höhe des Trapezes angibt.

  $\begin{aligned} A_{Gp5} & = \frac{27~cm + 9~cm}{2} \cdot 10~cm\\ & = 180~cm^2\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} u_{p5} & = 9~cm + 13,5~cm + 27~cm + 13,5~cm\\ & = 63~cm\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} M_{p5} & = 63~cm \cdot 30~cm\\ & = 1890~cm^2\\ \end{aligned}$

  $\begin{aligned} O_{p5} & = 2 \cdot 180~cm^2 + 1890~cm^2\\ & = 2250~cm^2\\ \end{aligned}$

  Da wir nun von allen Prismen den Oberflächeninhalt bestimmt haben, müssen wir die einzelnen Oberflächeninhalte addieren. Allerdings müssen wir Flächen, die wir zwar mit berechnet haben, aber an unserem Körper nicht sichtbar sind, subtrahieren. Davon gibt es an unserem Körper fünf Flächen. Wir rechnen

  $\begin{aligned} F & = (27~cm \cdot 30~cm) + 4 \cdot (9~cm \cdot 30~cm)\\ & = 810~cm + 4 \cdot 270~cm\\ & = 810~cm + 1080~cm\\ & = 1890~cm\\ \end{aligned}$

  Nun können wir den Oberflächeninhalt des Körpers berechnen. Wir erhalten

  $\begin{aligned} O & = O_{p1} + O_{p2} + O_{p3} + O_{p4} + O_{p5} - 2 \cdot F\\ & = 2418~cm^2 + 1242~cm^2 + 1242~cm^2 + 2190cm^2 + 2250~cm^2 - 2 \cdot 1890~cm^2\\ & = 5562~cm^2\\ \end{aligned}$

  Der Oberflächeninhalt des Werkstücks beträgt $5562~cm^2$.

• Gib an, in welche Teile die Prismen zerlegt werden können.

  Tipps

  Körper können aus unterschiedlichen Prismen zusammengesetzt werden. Schaue dir die Körper genau an. Welche Prismen kannst du in ihnen erkennen?

  An diesem Querschnitt eines Schwimmbeckens kannst du erkennen, dass es aus zwei Quadern und einem dreiecksförmigen Prisma zusammengesetzt ist.

  Lösung

  Hier siehst du noch einmal die Körper mit ihren zerlegten Prismen. Dies sind freilich nicht die einzigen Lösungen. Jeden Quader könnte man ein weiteres Mal in zwei Quader bzw. zwei dreiecksförmige Prismen zerlegen, und jedes dreiecksförmige Prisma kann man wieder in zwei dreiecksförmige Prismen zerlegen.

  Es gibt also auch noch andere Möglichkeiten, wie man die oben abgebildeten Körper in Prismen zerlegen kann. Überlege dir also zunächst gut, wie du vorgehen möchtest. Auf diese Weise kannst du dir viel Zeit und Mühe ersparen.

• Prüfe, ob Michaels Lehrerin recht hat.

  Tipps

  Den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnet man mit der Formel $O = 2 \cdot A_G + M$

  Mit der Formel $A_G = \frac{a \cdot h_a}{2}$ berechnet man den Flächeninhalt von einem Dreieck, wobei $a$ die Kantenlänge und $h_a$ die Höhe, senkrecht auf der Seite $a$, angibt.

  Nach dem Satz des Pythagoras gilt in einem rechtwinkligen Dreieck: Die Summe der quadrierten Katheten ergibt die quadrierte Hypotenuse. In einer Formel ausgedrückt heißt dies: $c^2 = a^2 + b^2$.

  Lösung

  Um den Oberflächeninhalt des Körpers zu berechnen, kann man ihn in drei Prismen zerlegen. Hier sind die Grundflächen der einzelnen Prismen in einem Querschnitt des Körpers dargestellt. Nachfolgend wollen wir sie mit $P_1$,$P_2$ und $P_3$ bezeichnen. Wir berechnen zunächst den Oberflächeninhalt von jedem Prisma einzeln und anschließend addieren wir sie. Den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnet man mit der Formel $O = 2 \cdot A_G + M$.

  P$_1$ : Die Grundfläche des großen Prismas ist ein Dreieck. Seinen Flächeninhalt berechnet man mit der Formel $A_G = \frac{a \cdot h_a}{2}$

  $\begin{aligned} A_{Gp1} & = \frac{1,5~m \cdot 1~m}{2}\\ & = 0,75~m^2\\ \end{aligned}$

  Um den Umfang des Dreiecks zu berechnen, müssen wir die dritte Seite des Dreiecks $c$ berechnen. Das können wir mit dem Satz des Pythagoras tun. Nach dem Satz des Pythagoras gilt $c^2 = (1~m)^2 + (1,5~m)^2$. Formen wir diese Gleichung nach $c$ um, erhalten wir: $c = \sqrt{(1~m)^2 + (1,5~m)^2} \approx 1,8~m$. Für den Umfang folgt daraus:

  $\begin{aligned} u_{P_1} & = 1~m + 1,5~m + 1,8~m\\ & = 4,3~m\\ \end{aligned}$

  Die Mantelfläche lässt sich berechnen durch $M=u \cdot h$.

  $\begin{aligned} M_{P_1} & = 4,3~m \cdot 0,5~m\\ & = 2,15~m^2\\ \end{aligned}$

  Die Oberfläche beträgt also:

  $\begin{aligned} O_{P_1} & = 2 \cdot 0,75~m^2 + 2,15~m^2\\ & = 3,65~m^2\\ \end{aligned}$

  P$_2$ : Die Grundfläche des kleineren Prismas ist auch ein Dreieck. Für seinen Oberflächeninhalt folgt:

  $\begin{aligned} A_{G_{P_2}} & = \frac{0,7~m \cdot 0,5~m}{2}\\ & = 0,175~m^2\\ \end{aligned}$

  Um den Umfang des Dreiecks zu berechnen, müssen wir wiederum die dritte Seite des Dreiecks $c$ berechnen. Das können wir mit dem Satz des Pythagoras tun. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: $c^2 = (0,7~m)^2 + (0,5~m)^2$. Formen wir diese Gleichung nach $c$ um, erhalten wir: $c = \sqrt{(0,7~m)^2 + (0,5~m)^2} \approx 0,86~m$. Für den Umfang folgt daraus:

  $\begin{aligned} u_{P_2} & = 0,7~m + 0,5~m + 0,86~m\\ & = 2,06~m\\ \end{aligned}$

  Daraus folgt die Fläche des Mantels:

  $\begin{aligned} M_{P_2} & = 2,06~m \cdot 0,5~m\\ & = 1,03~m^2\\ \end{aligned}$

  Es folgt die Oberfläche:

  $\begin{aligned} O_{P_2} & = 2 \cdot 0,175~m^2 + 1,03~m^2\\ & = 1,205~m^2\\ \end{aligned}$

  P$_3$ : Die Grundfläche des dritten Prismas ist ein quadratisches Rechteck. Den Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmt man, indem man seine Länge mit der Breite multipliziert.

  $\begin{aligned} A_{G_{P_3}} & = 0,5~m \cdot 0,5~m\\ & = 0,25~m^2\\ \end{aligned}$

  Der Umfang lässt sich berechnen durch:

  $\begin{aligned} u_{P_3} & = 4 \cdot 0,5~m\\ & = 2~m\\ \end{aligned}$

  Dadurch lässt sich die Mantelfläche bestimmen.

  $\begin{aligned} M_{P_3} & = 2~m \cdot 0,5~m\\ & = 1~m^2\\ \end{aligned}$

  Die Oberfläche ist:

  $\begin{aligned} O_{P_3} & = 2 \cdot 0,25~m^2 + 1~m^2\\ & = 1,5~m^2\\ \end{aligned}$

  Da wir nun von allen Prismen den Oberflächeninhalt bestimmt haben, müssen wir die einzelnen Oberflächeninhalte addieren. Allerdings müssen wir Flächen, die wir zwar mit berechnet haben, aber an unserem Körper nicht sichtbar sind, subtrahieren. Davon gibt es an unserem Körper zwei Flächen. Wir rechnen

  $\begin{aligned} F & = (0,86~m \cdot 0,5~m) + (0,5~m \cdot 0,5~m)\\ & = 0,43~m^2 + 0,25~m^2\\ & = 0,68~m^2\\ \end{aligned}$

  Nun können wir den Oberflächeninhalt des Körpers berechnen. Wir erhalten:

  $\begin{aligned} O & = O_{p1} + O_{p2} + O_{p3} - 2 \cdot F\\ & = 3,65~m^2 + 1,205~m^2 + 1,5~cm^2 - 2 \cdot 0,68~cm^2\\ & = 4,995~m^2\\ \end{aligned}$

  Der Oberflächeninhalt ist etwas kleiner als $5~m^2$. Michael hatte also recht. Seine Lehrerin hatte sich verrechnet.