Mit Flächeneinheiten rechnen

Mit Flächeneinheiten rechnen Übung

• Gib die Maßeinheiten an.

  Tipps

  Ein $\text{m}^2$ sind dasselbe wie $100~\text{dm}^2$.

  Teilst Du eine Fläche von $7~\text m^2$ in zwei gleich große Stücke, so hat jedes der Stücke eine Fläche von $3,5~\text m^2$.

  Du kannst Flächengrößen direkt addieren, wenn sie alle in derselben Maßeinheit angegeben sind.

  Lösung

  Die Fläche des geplanten Elefantengeheges beträgt $0,115~\text{km}^2$. Umgerechnet sind das $115000~\text{m}^2$. Das Affengehege soll $6252~\text{m}^2$ groß sein. Für die Papageien braucht Luisa $78650~\text{dm}^2$. Umgerechnet sind das $786,5~\text{m}^2$.

  Der Gesamtflächeninhalt der drei Gehege ist die Summe der einzelnen Flächeninhalte. Um die Summe zu bestimmen, kann Luisa die einzelnen Flächeninhalte in derselben Maßeinheit addieren. Luisa addiert also $115000~\text{m}^2$ und $6252~\text{m}^2$ und noch $786,5~\text{m}^2$. Das ergibt $0,1220~\text{km}^2$.

  Die Fläche von vier Delfinbecken beträgt $165600~\text{cm}^2$. Die Becken sind alle gleich groß, daher kann Luisa die Größe eines Beckens bestimmen, indem sie die Zahl der Flächengröße durch $4$ dividiert. Die Maßeinheit lässt sie unverändert. Luisa kommt so auf eine Größe von $41400$ $\text{cm}^2$ pro Becken. Das entspricht $414$ $\text {dm}^2$.

  Luisa addiert noch die Größe eines einzelnen Delfinbeckens zu der Gesamtfläche der drei anderen Gehege. Um die Zahl der Flächengrößen zu der bisherigen Flächengröße addieren zu können, muss sie die Größe des Delfinbeckens in die Maßeinheit $\text m^2$ umrechnen. Sie kommt dabei auf $4,14$ $\text m^2$.

  Die Summe der Flächengrößen beträgt schließlich $122042,64$ $\text m^2$.

• Gib die Umrechnung der Maßeinheiten an.

  Tipps

  Das Wort „Hektar“ ist eine Kurzform für „Hekto-Ar“.

  Ein $\text{km}$ sind tausend $\text m$, daher sind ein $\text{km}^2$ tausend mal tausend $\text m^2$.

  Das Fünffache von $7~\text{km}^2$ sind $35~\text{km}^2$.

  Lösung

  Richtig sind die folgenden Aussagen:

  • „$100~\text a$ entsprechen $1~\text{ha}$.“

  • Verdreifacht man einen Flächeninhalt, so bleibt die Maßeinheit dieselbe.“

  • „$78650~\text{dm}^2$ sind dasselbe wie $786,50~\text m^2$.“

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „$0,115~\text{km}^2$ entsprechen $115~\text{m}^2$.“ Ein $\text{km}$ entspricht $1000~\text m$, daher ist $1~\text{km}^2 = 1000 \cdot 1000~\text{m}^2$. Das bedeutet: $0,115~\text{km}^2 = 115\hspace{0.8pt}000~\text m^2$.

  • „Beim Eintragen der Maße in die Einheitentafel orientiert man sich an der größten Stelle.“ Tatsächlich orientert man sich an der Einer-Stelle und trägt diese in die Spalte der jeweiligen Maßeinheit ein.

  • „In der Einheitentabelle stehen die Einer aller Einheiten in derselben Spalte.“ Jede Maßeinheit bekommt eine eigene Spalte. Nur wenn zwei Maßeinheiten gleich groß sind, darfst Du sie in dieselbe Spalte der Einheitentafel eintragen.

  • „Flächeninhalte in verschiedenen Einheiten kannst Du direkt zusammenzählen, ohne die Einheiten zu beachten.“ Um Flächeninhalte verrechnen zu können, musst Du sie vorher in eine gemeinsame Einheit umrechnen.

• Erschließe die Maßeinheiten und Flächengrößen.

  Tipps

  Du kannst die Flächengrößen direkt addieren, wenn sie in derselben Maßeinheit angegeben sind.

  Um einen Flächeninhalt zu vervielfachen, genügt es, die Maßzahl zu vervielfachen; die Maßeinheit bleibt unverändert.

  $1~\text{ha}$ sind $100~\text a$ oder $10\hspace{2pt}000~\text{m}^2$.

  Lösung

  Für die Küchenkräuter sind $265~\text{dm}^2$ vorgesehen, das entspricht $2,65$ $\text{m}^2$. Die Möhren-, Kartoffel- und Kräuterbeete haben zusammen einen Flächeninhalt von:

  $3,7~\text m^2 + 2,65~\text m^2 + 7,8~\text m^2 = 14,15~\text m^2 = 1\hspace{2pt}415\text{dm}^2$

  Für die Tomaten brauchen die Schülerinnen und Schüler mindestens $17$ mal so viel Platz, wie jeder einzelne Blumentopf einnimmt. Das sind also:

  $17 \cdot 115~\text{cm}^2 = 1\hspace{2pt}955~\text{cm}^2$

  Umgerechnet sind das $0,1955~\text{m}^2$.

  Die Fläche der Biotope soll genauso groß werden wie die des Teiches, also $3,64~\text m^2$. Diesen Flächeninhalt teilen die Schülerinnen und Schüler in vier gleich große Stücke. Jedes hat dann den Flächeninhalt:

  $3,64~\text m^2:4 = 0,91~\text m^2 =91~\text{dm}^2$

  Die Fläche des Teiches und der vier umliegenden Biotope beträgt zusammen:

  $2 \cdot 3,64~\text m^2 = 7,28~\text m^2 = 72\hspace{2pt}800~\text{cm}^2$

  Der Flächenbedarf für alle Beete, den Teich und die Biotope zusammen beträgt nun bereits:

  $14,15~\text m^2 + 0,1955~\text{m}^2 + 7,28~\text m^2 = 21,6255~\text{m}^2$.

  Ein Drittel der bisherigen Fläche wird zusätzlich für Wege eingeplant. Das sind noch einmal

  $21,6255~\text{m}^2:3=7,2085~\text m^2$

  Alles in allem kommen die Schülerinnen und Schüler für ihren Schulgarten auf:

  $21,6255~\text{m}^2 + 7,2085~\text m^2 = 28,834~\text m^2= 0,28834~\text{a}$

  Jetzt aber ran an die Spaten!

• Vergleiche die Flächeninhalte.

  Tipps

  $1000~\text m^2$ sind dasselbe wie $10~\text a$.

  Ein quadratisches Flächenstück von $2~\text{dm} = 20~\text{cm}$ Kantenlänge hat einen Flächeninhalt von $2 \cdot 2~\text{dm}^2$.

  Ein quadratisches Flächenstück von $10~\text{m}$ Kantenlänge hat den Flächeninhalt $1~\text a$.

  Lösung

  Beim Umrechnen der Maßeinheiten musst Du die Stellenwerte berücksichtigen. In der durch $\text a$ und $\text{ha}$ erweiterten Einheitentafel haben je zwei benachbarte Einheiten denselben Abstand, d.h. die Hunderter jeder Einheit entsprechen den Einern der nächst größeren Einheit. Du erhältst damit folgende Zuordnung:

  • $122380~\text m^2 = 1223,8~\text a$

  • $12345~\text{ha} = 123,45~\text{km}^2$

  • $12345~\text{dm}^2 = 123,45~\text{m}^2$

  • $12238~\text{dm}^2 = 122,38~\text{m}^2$

  • $1234,5~\text a = 123450~\text{m}^2$

• Stelle die Flächeninhalte in der Einheitentafel dar.

  Tipps

  Orientiere dich zur Eintragung an den Einern der jeweiligen Maßeinheit.

  Den Einer einer Maßeinheit trägst du in die Spalte der jeweiligen Maßeinheit ein.

  Die Ziffern des Flächeninhaltes in $\text{km}^2$ stehen am weitesten links.

  Lösung

  Beim Eintragen des Flächeninhalts in die Einheitentabelle musst Du Dich immer an dem Einer der jeweiligen Einheit orientieren. Der Einer gehört in die Spalte, über der der Name der Einheit steht. Der Einer der $0,115~\text{km}^2$ ist die $0$, diesen trägs Du in die $\text{km}^2$-Spalte ein. Der Einer der $6252~\text{m}^2$ ist die rechte $2$, die trägst Du in die $\text m^2$-Spalte ein. Schließlich ist der Einer der $78650~\text{dm}^2$ die $0$, sie gehört in die $\text{dm}^2$-Spalte.

  Damit ergibt sich dieses Bild.

• Analysiere die Flächenberechnungen.

  Tipps

  Rechne die Flächeninhalte in eine gemeinsame Maßeinheit um und addiere dann die Zahlen.

  Lösung

  Folgende Berechnungen sind richtig:

  • Die benötigte Fläche beträgt $3~\text{ha}$ für Futterrüben, $0,025~\text{km}^2 = 2,5~\text{ha}$ Weideland und $713~\text a = 7,13~\text{ha}$ Bambus. Zusammen sind das $3~\text{ha} + 2,5~\text{ha} + 7,13~\text{ha} = 12,63~\text{ha} = 1\hspace{2pt}263~\text{a} = 126\hspace{2pt}300~\text{m}^2$, also mehr als $125\hspace{2pt}000~\text{m}^2$.

  • Die Fläche außerhalb der beiden Strafräume beträgt $7\hspace{2pt}140~\text{m}^2 - 2 \cdot 665,28~\text{m}^2 = 5\hspace{2pt}809,44~\text{m}^2 = 0,580944~\text{ha}$, das sind weniger als $0,6~\text{ha}$.

  Diese Berechnungen sind falsch:

  • Für die Zoo-Erweiterung benötigt Luisa $17~\text{ha} = 0,17~\text{km}^2$ für die Löwen, $1\hspace{2pt}380~\text{m}^2 = 0,138~\text{ha} =0,00138\text{km}^2$ für Schmetterlinge und $3~\text a = 0,0003~\text{km}^2$ für Spielplätze. Das macht zusammen $17,168~\text{ha} = 0,17168~\text{km}^2$. Das angebotene Grundstück ist mit $0,170338~\text{km}^2$ für die Zoo-Erweiterung zu klein.

  • Die Waldfläche von $106\hspace{2pt}170~\text{km}^2$ zusammen mit der Wasserfläche von $821\hspace{2pt}900~\text{ha} = 8\hspace{2pt}219~\text{km}^2$ beträgt etwa $114\hspace{2pt}389~\text{km}^2 \approx 114~$ Milliarden $\text{m}^2$.