Mit Volumeneinheiten rechnen

Mit Volumeneinheiten rechnen Übung

• Berechne das Volumen.

  Tipps

  Trage die Ziffern in die Stellenwerttafel ein und ergänze ggf. Nullen.

  Orientiere dich beim Eintragen jeweils an der Einerstelle.

  $4~000~\text{mm}^3 + 54,927~\text{cm}^3 = 58~927~\text{mm}^3 = 58~\text{cm}^3 \ 927~\text{mm}^3$ Beachte hierbei die Einheiten.

  Lösung

  Um zwei Volumina zu addieren, musst du sie zuerst in eine gemeinsame Einheit umrechnen. Dann kannst du die Maßzahlen addieren und die Einheit übernehmen.

  Hier sind $96\,354~\text{cm}^3$ und $1\,927~\text{mm}^3$ zu addieren. Als gemeinsame Einheit bietet sich $\text{mm}^3$ an. Beim Eintragen in die Stellenwerttafel orientierst du dich für jede Einheit jeweils an der Einerstelle. Die Einerstelle der Einheit $\text{mm}^3$ steht in der Einheitentabelle drei Stellen weiter rechts als die Einerstelle der nächstgrößeren Einheit $\text{cm}^3$.

  Um die Rechnung in der Einheit $\text{mm}^3$ durchführen zu können, musst du bei dem Volumen $96\,354~\text{cm}^3$ rechts drei Nullen ergänzen, denn $96\,354~\text{cm}^3 = 96\,354\,000~\text{mm}^3$. Wenn du die Rechnung nun schriftlich durchführst, erhältst du:

  $\begin{array}{ll} 96\,354~\text{cm}^3 + 1\,927~\text{mm}^3 &= 96\,354\,000~\text{mm}^3 + 1\,927~\text{mm}^3 \\ &= 96\,355\,927~\text{mm}^3 \\ &= 96~\text{dm}^3~ 355~\text{cm}^3~ 927~\text{mm}^3 \end{array}$

• Beschreibe das Rechnen mit Volumeneinheiten.

  Tipps

  Beim Umrechnen von einer Volumeneinheit in die nächstkleinere musst du mit $1\,000$ multiplizieren.

  Zwei Volumina kannst du addieren, indem du sie auf eine gemeinsame Einheit umrechnest und dann die Zahlen addierst.

  Ein Liter ist das Volumen eines Würfels der Kantenlänge $10~\text{cm}$.

  Lösung

  Kubikmeter ist die größte Einheit, mit der wir uns beschäftigen wollen. $1~\text m^3$ ist dasselbe wie $1\,000$ $\text{dm}^3$. Die nächstkleinere Einheit ist $1~\text{dm}^3$. Das entspricht $1\,000$ $\text{cm}^3$ oder $1~\text{l}$. Die kleinste gebräuchliche Volumeneinheit ist Kubikmillimeter. Hier entsprechen $1\,000~\text{mm}^3$ genau $1~\text{cm}^3$.

  Cabelo will das Haarvolumen seiner vierbeinigen Kunden vergrößern bzw. verkleinern. Um zu einem gegebenen Volumen ein weiteres zu addieren, muss er zuerst die beiden Volumina auf dieselbe Einheit bringen. Beim Umrechnen in die nächstkleinere Einheit muss Cabelo mit $1\,000$ multiplizieren. Beim Umrechnen in die nächstgrößere durch $1\,000$ dividieren.

  Um das Haarvolumen mit einem Faktor zu multiplizieren, muss Cabelo zuerst die Rechnung durchführen und dann die Einheit übernehmen. Bei der Division von Volumeneinheiten geht es genauso.

• Vergleiche die Volumina.

  Tipps

  Rechne die gemischten Einheiten in eine einheitliche Einheit um.

  Bei einem Volumen in gemischten Einheiten musst du beim Umrechnen Nullen voranstellen, wenn die Maßzahl eine Einheit weniger als drei Ziffern hat und du in eine größere Einheit umrechnest.

  $87~\text{dm}^3$ entsprechen $87\,000~\text{cm}^3$ oder $0,\!087~\text{m}^3$.

  Lösung

  Um die Paare zu finden, kannst du zuerst die Volumina in gemischten Einheiten auf eine einheitliche Einheit bringen. Wenn du dann noch in kleinere oder größere Einheiten umrechnest, findest du den passenden Partner.

  Hier ergeben sich folgende Gleichungen:

  • $87~\text{m}^3~654~\text{dm}^3~32~\text{cm}^3 = 87,\!654032~\text{m}^3 = 87\,654,\!032~\text{dm}^3$

  • $8~\text{m}^3~765~\text{dm}^3~432~\text{cm}^3 = 8,\!765432~\text{m}^3 = 8\,765,\!432~\ell$

  • $87~\text{dm}^3~65~\text{cm}^3~432~\text{mm}^3 = 87,\!065432~\text{dm}^3 = 87\,065,\!432~\text{cm}^3$

  • $876~\text{dm}^3~54~\text{cm}^3~32~\text{mm}^3 = 876,\!054032~\text{dm}^3 = 876\,054,\!032~\text{cm}^3 = 876\,054\,032~\text{mm}^3$

• Ordne die Volumenangaben zu.

  Tipps

  Orientiere dich beim Umrechnen in gemischte Einheiten an der Einerstelle: Die Einer-, Zehner- und Hunderterstelle eines Volumens gehören zu dem Anteil in derselben Einheit.

  Rechnest Du $87\,654,\!032~\text{cm}^3$ in gemischte Einheiten um, so erhältst du $654~\text{cm}^3$ aus der Einer-, Zehner- und Hunderterstelle. Die Zehntel-, Hundertstel und Tausendstelstelle gehören zu der nächstkleineren Einheit, das sind hier $32~\text{mm}^3$.

  Beachte, dass $1~\ell = 1\,000~\text{cm}^3$ ist.

  Lösung

  Du kannst die Volumina in gemischten Einheiten angeben und findest so die zugehörigen Teilvolumina:

  • $12\,034,\!567~\text{dm}^3 = 12~\text{m}^3~34~\text{dm}^3~567~\text{cm}^3 = 12~\text{m}^3~34~\ell~567~\text{cm}^3$

  • $123\,045,\!067~\ell = 123~\text{m}^3~45~\text{dm}^3~67\text{cm}^3 = 123~\text{m}^3~45~\text{dm}^3~67\text{m}\ell$

  • $1,\!234567~\text{dm}^3 = 1~\text{dm}^3~234~\text{cm}^3~567~\text{mm}^3= 1~\ell~234~\text{cm}^3~567~\text{mm}^3$

  • $1,\!23405607~\text{m}^3 = 1~\text{m}^3~234~\text{dm}^3~56~\text{cm}^3~70~\text{mm}^3$

• Gib die Umrechnung der Volumeneinheiten an.

  Tipps

  Beim Umrechnen eines Volumens in eine kleinere Einheit wird die Maßzahl größer.

  Beim Umrechnen von $\ell$ in $\text{cm}^3$ multiplizierst du die Anzahl $\ell$ mit $1\,000$.

  Rechnest du $1\,000~\text{mm}^3$ in $\text{cm}^3$ um, so erhältst du $1~\text{cm}^3$, d. h. die Maßzahl $1\,000$ wird bei der Umrechnung durch $1\,000$ dividiert. Dasselbe gilt für jede Umrechnung eines Volumens in die nächstgrößere Einheit.

  Lösung

  Bei der Umrechnung eines Volumens in eine größere Einheit wird die Maßzahl kleiner, bei der Umrechnung in eine kleinere Einheit wird sie größer. Der Umrechnungsfaktor benachbarter Volumeneinheiten ist immer $1\,000$. Bei der Umrechnung eines Volumens in die nächstgrößere Einheit musst du daher seine Maßzahl durch $1\,000$ dividieren, bei der Umrechnung in die nächstkleinere Einheit mit $1\,000$ multiplizieren.

  Die größte hier verwendete Volumeneinheit ist $1~\text{m}^3$, die nächstkleineren sind $1~\text{dm}^3 = 1~\text l$, dann $1~\text{cm}^3$ und schließlich $1~\text{mm}^3$. Sie unterscheiden sich jeweils um den Faktor $1\,000$, d. h.:

  $\begin{array}{lll} 1~\text{m}^3 &= 1\,000~\text{dm}^3 \\ 1~\text{dm}^3 &= 1~\ell &= 1\,000~\text{cm}^3 \\ 1~\text{cm}^3 &= 1~\text{m}\ell &= 1\,000~\text{mm}^3 \end{array} $

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Erschließe aus den Beschreibungen die Umrechnung der Volumina und überprüfe diese.

  Zur Erinnerung:

  $1~\text{dm}^3=1~\ell$

  Lösung

  Folgende Beschreibungen sind richtig:

  • Königspudel: Cabelo hat das Volumen verdoppelt. Der Zuwachs beträgt also die Hälfte des Endvolumens, d. h. $98\,765~\text{cm}^3 : 2 = 49\,382,\!5~\text{cm}^3 = 49,\!3825~\ell$. Abgerundet sind das $49~\ell$ Zuwachs. Bei sieben Tuben Hundeshampoo ergibt sich also tatsächlich ein Zuwachs von $49~\ell:7 = 7~\ell$ pro Tube.

  • Wolfsspitz: Cabelo befreit den Wolfsspitz von etwas mehr als der Hälfte seines Haarvolumens. Die geschorene Wolle hat daher ein etwas größeres Volumen als der Hund selbst nach der Schur. Da sein Frauchen nicht mehr als $1~\ell$ Wolle pro $\ell$ Hund für den Pulli braucht, kann der Wofsspitz auch kühleren Sommertagen gelassen entgegen hecheln.

  Folgende Beschreibungen sind falsch:

  • Zwergpinscher: Vor dem Besuch bei Cabelo betrug das Volumen des Zwergpinschers mehr als $9~\text{dm}^3$. Seine neue Föhnfrisur trägt weitere $3~\text{dm}^3$ bei. Sein Körpervolumen beträgt jetzt also etwas mehr als $9~\text{dm}^3 + 3~\text{dm}^3 = 12~\text{dm}^3$. Ein Drittel davon sind etwas mehr als $12~\text{dm}^3 : 3 = 4~\text{dm}^3$. So viel Föhnfrisur schafft selbst Cabelo nicht. Zumindest nicht bei diesem Zwergpinscher.

  • Cockerspaniel: Der Lockenzuwachs des Cockerspaniels ist doppelt so groß wie der seines Frauchens, denn $567,\!8~\text{cm}^3 = 2 \cdot 283,\!9~\text{cm}^3$. Ob aber auch das Gesamtvolumen der Hundelocken doppelt so groß ist wie das seines Frauchens, hängt davon ab, um welchen Faktor sich die Volumina durch die Dauerwelle verändern. Betragen z. B. beide Frisuren vor dem Salonbesuch jeweils $1\,000~\text{cm}^3$, so hat der Cockerspaniel anschließend eine Lockenpracht von $1\,567,\!8~\text{cm}^3$. Das ist nicht das Doppelte der Lockenpracht seines Frauchens, denn diese beträgt $1\,283,\!9~\text{cm}^3$.