Mittelpunkt einer Strecke berechnen

Mittelpunkt einer Strecke berechnen Übung

• Bestimme die Formel zur Berechnung des Mittelpunktes zwischen zwei Punkten.

  Tipps

  Der Mittelpunkt halbiert die Strecke durch die beiden Punkte. Er befindet sich genau in der Mitte zwischen den Punkten.

  Beispiel:

  $P_1(2\vert 4)$; $P_2(4\vert 8)$; $M(3\vert 6)$

  Mithilfe der Formel wird nicht der Abstand der Punkte vom Mittelpunkt berechnet.

  Lösung

  Der Mittelpunkt zwischen $2$ Punkten halbiert die Strecke. Um den Mittelpunkt bestimmen zu können, benötigt man die Mittelpunkte der $x$-Koordinaten und $y$-Koordinaten.

  Für den Mittelpunkt der $x$-Koordinaten addiert man die $x$-Koordinaten der beiden Punkte miteinander (dabei musst du immer auf die Vorzeichen achten) und halbiert diese anschließend.

  Für den $x$-Wert ergibt sich demnach folgende Formel:

  $x=\dfrac{x_1+x_2}2$

  Für den $y$-Wert ergibt sich die Formel:

  $y=\dfrac{y_1+y_2}2$

  Es folgt eine Beispielrechnung für $P_1(1\vert 2)$ und $P_2(11\vert 8)$, wobei gilt:

  $P_1(x_1\vert y_1)=P_1(1\vert 2)$

  $P_2(x_2\vert y_2)=P_2(11\vert 8)$

  Wir setzen diese in die Formel ein:

  $x=\dfrac{x_1+x_2}2=\dfrac{1+11}2=\dfrac{12}2=6$

  $y=\dfrac{y_1+y_2}2=\dfrac{2+8}2=\dfrac{10}2=5$

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(x\vert y)=(6\vert 5)$ der Strecke $\overline{P_1P_2}$.

  Der Mittelpunkt liegt bei den Mittelwerten der $x$- und der $y$-Koordinaten der einzelnen Punkte.
  Aus diesem Grund addiert man zuerst die jeweiligen $x$- bzw. $y$-Koordinaten der Punkte miteinander, bevor man durch $2$ dividiert.
  Subtrahiert man die Werte voneinander, so bekommt man die Länge des Abstandes der jeweiligen Werte vom Mittelpunkt.

  Richtig sind diese beiden Formeln, wie bereits erklärt:

  $x=\dfrac{x_1+x_2}2$

  $y=\dfrac{y_1+y_2}2$

  Falsch sind diese beiden Formeln,denn die einzelnen Koordinaten müssen addiert und nicht multipliziert werden:

  $x=\dfrac{x_1\cdot x_2}2$

  $y=\dfrac{y_1\cdot y_2}2$

  Falsch sind diese beiden Formeln, da sie Zähler und Nenner des korrekten Bruchs vertauschen:

  $y=\dfrac{2}{y_1+y_2}$

  $x=\dfrac{2}{x_1+x_2}$

• Berechne die gesuchten Mittelpunkte.

  Tipps

  Der Mittelpunkt einer Strecke zwischen $2$ Punkten befindet sich genau in der Mitte zwischen beiden Punkten. Um diesen zu erhalten, addiert man die beiden $x$- bzw. $y$-Koordinaten und halbiert das Ergebnis.

  Das ist die Formel für die Berechnung der $x$-Koordinate:

  $x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$

  Beispiel:

  $P_1(x_1\vert y_1)=(2\vert 3)$

  $P_2(x_2\vert y_2)=(5\vert 6)$

  $x=\dfrac{2+5}{2}=\dfrac{7}{2}=3,\!5$

  Die $x$-Koordinate des Mittelpunktes lautet $x=3,\!5$.

  $P_1(x_1\vert y_1)=(2\vert 6)$

  $P_2(x_2\vert y_1)=(2\vert 1)$

  Die $x$-Koordinate des Mittelpunktes lautet $x=2$.

  Lösung

  Der Mittelpunkt einer Strecke zwischen $2$ Punkten halbiert die Strecke genau in der Mitte. Die Punkte $P_1$ und $P_2$ haben vom Mittelpunkt denselben Abstand.

  Für die Berechnung des Mittelpunktes $M_1$ der sich zwischen $P_1$ und $P_2$ befindet, benötigen wir unsere Formeln zur Berechnung der Mittelpunkte der $x$- und $y$-Koordinaten:

  $x=\dfrac{x_1+x_2}2$ und $y=\dfrac{y_1+y_2}2$

  Wir nehmen die $x$-Koordinate von:

  $P_1$ mit $P_1(x_1\vert y_1)=(1\vert 2)$ und

  $P_2$ mit $P_2(x_2\vert y_2)=(11\vert 8)$

  Wir setzen sie in unsere Formel ein:

  $x=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{1+11}2=\dfrac{12}{2}=6$

  Wir erhalten die $x$-Koordinate $x=6$ von unserem Mittelpunkt $M_1$.

  Das Gleiche machen wir mit unseren $y$-Koordinaten:

  $y=\dfrac{y_1+y_2}{2}=\dfrac{2+8}{2}=\dfrac{10}{2}=5$

  Somit bekommen wir unseren Mittelpunkt $M_1(6\vert 5)$.

  Für $M_2$ wählen wir $P_2$ und $P_3$ aus mit:

  $P_2(x_1\vert y_1)=(11\vert 8)$ und

  $P_3(x_2\vert y_2)=(-3\vert 12)$

  Beim Einsetzen der $x$-Koordinaten $x_1=11$ und $x_2=-3$ müssen wir das Vorzeichen beachten:

  $x=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{11+ (-3)}2=\dfrac{8}{2}=4$

  Wir erhalten als Lösung den $x$-Wert:

  $x=4$

  Nun berechnet man die $y$-Koordinate mit:

  $y_1=8$ und

  $y_2=12$

  Wir setzen in die Formel ein:

  $y=\dfrac{y_1+y_2}{2}=\dfrac{8+12}{2}=\dfrac{20}{2}=10$

  Die entsprechenden Koordinaten des Mittelpunktes $M_2$ lauten $M_2(4\vert 10)$.

  $P_3$ und $P_4$ haben dieselbe $x$-Koordinate, sodass wir diese einfach übernehmen können:

  $P_3(x_1\vert y_1)=(-3\vert 12)$

  $P_4(x_2\vert y_2)=(-3\vert 17)$

  Die $x$-Koordinate des Mittelpunktes lautet $x=-3$.

  Wir setzen in die Formel zur Berechnung der $y$-Koordinate ein:

  $y=\dfrac{y_1+y_2}{2}=\dfrac{12+17}{2}=\dfrac{29}{2}=14,\!5$

  Wir erhalten:

  $y=14,\!5$

  Die Koordinaten für den Mittelpunkt $M_3$ lauten $M_3(-3\vert 14,\!5)$.

• Ermittle die Mittelpunkte $M$ der Strecken $\overline{AB}$.

  Tipps

  Achte beim Einsetzen der Koordinaten auf die Vorzeichen!

  Das ist die Formel für die Berechnung der $x$-Koordinate:

  $x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$

  Die Formel für die $y$-Koordinate kann analog aufgestellt werden.

  Beispiel:

  $P_1(x_1\vert y_2)=(2\vert 4)$

  $P_2(x_2\vert y_2)=(-6\vert {-}8)$

  $x=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{2+(-6)}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$

  Die $x$-Koordinate des Mittelpunktes lautet $-2$.

  Die $y$-Koordinate kann analog berechnet werden.

  Lösung

  Um den Mittelpunkt zwischen $2$ Punkten zu ermitteln, benötigen wir die beiden Formeln zur Bestimmung der Mittelpunkte der $x$- und $y$-Koordinaten:

  $x=\dfrac{x_1+x_2}2$ und

  $y=\dfrac{y_1+y_2}2$

  Unsere ersten beiden Punkte lauten $A_1(x_1\vert y_2)=(1\vert 2)$ und $B_1(x_2\vert y_2)=(4\vert 10)$.

  Wir setzen $A_1$ mit $x_1=1$ und $B_1$ mit $x_2=4$ in die Formel ein:

  $x=\dfrac{1+4}2=\dfrac{5}{2}=2,\!5$

  Für unseren $x$-Wert erhalten wir also $x=2,\!5$.

  Wir verfahren für den $y$-Wert genauso:

  $y_1=2$

  $y_2=10$

  Wir setzen beide Werte ein:

  $y=\dfrac{2+10}2=\dfrac{12}{2}=6$

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(2,\!5\vert 6)$.

  Wichtig ist dabei, dass man die Koordinaten desselben Punktes als $x_1$ und $y_1$ wählt.

  Die anderen Mittelpunkte werden analog bestimmt.

  Wir setzen $A_2(x_1\vert y_1)=(-2\vert 4)$ und $B_2(x_2\vert y_2)=(6\vert 8)$ in die Formel ein:

  Einsetzen der $x$-Koordinaten:

  $x=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{-2+6}2=\dfrac{4}2=2$

  Einsetzen der $y$-Koordinaten:

  $y=\dfrac{y_1+y_2}{2}=\dfrac{4+8}2=\dfrac{12}2=6$

  Der Mittelpunkt lautet $M(2\vert 6)$.

  Wir setzen $A_3(x_1\vert y_1)=(-4\vert {-}3)$ und $B_3(x_2\vert y_2)=(-6\vert 5)$ in die Formel ein:

  Einsetzen der $x$-Koordinaten:

  $x=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{(-4)+(-6)}2 =\dfrac{(-10)}2 =-5$

  Einsetzen der $y$-Koordinaten:

  $y=\dfrac{y_1+y_2}{2}=\dfrac{(-3)+5}2 =\dfrac{2}2 =1$

  Der Mittelpunkt lautet $M(-5\vert 1)$.

  Wir setzen $A_4(x_1\vert y_1)=(11\vert 2)$ und $B_4(x_2\vert y_2)=(5\vert {-}2)$ in die Formel ein:

  Einsetzen der $x$-Koordinaten:

  $x=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{11+5}2 =\dfrac{16}2 =8$

  Einsetzen der $y$-Koordinaten:

  $y=\dfrac{y_1+y_2}{2}=\dfrac{2+(-2)}2 =\dfrac{0}2 =0$

  Der Mittelpunkt lautet $M(8\vert 0)$.

• Bestimme den Mittelpunkt der abgebildeten Punkte.

  Tipps

  Bei Punkt $P_1$ ist der $x$-Wert $2$ und der $y$-Wert $4$.

  Denke daran, dass der $x$-Wert auf der waagerechten Achse der vordere Eintrag beim Punkt $P$ ist.

  Lösung

  Abbildung 1

  Am Koordinatensystem liest man die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ ab mit:

  $P_1(x_1\vert y_1) = P_1(-1\vert 1)$ und

  $P_2(x_2\vert y_2) = P_2(1\vert 3)$

  Wir setzen in die Formel ein:

  $x=\dfrac{(-1)+1}2=\dfrac{0}2=0$

  $y=\dfrac{1+3}2=\dfrac{4}2=2$

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(0\vert 2)$.

  Abbildung 2

  Am Koordinatensystem liest man die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ ab mit:

  $P_1(x_1\vert y_1) = P_1(-1\vert {-}2)$ und

  $P_2(x_2\vert y_2) = P_2(3\vert 1)$

  Wir setzen in die Formel ein:

  $x=\dfrac{(-1)+3}2=\dfrac{2}2=1$

  $y=\dfrac{(-2)+1}2=\dfrac{-1}2=-0,\!5$

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(1\vert {-}0,\!5)$.

  Abbildung 3

  Am Koordinatensystem liest man die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ ab mit:

  $P_1(x_1\vert y_1) = P_1(4\vert 3)$ und

  $P_2(x_2\vert y_2) = P_2(-4\vert 0)$

  Wir setzen in die Formel ein:

  $x=\dfrac{4+(-4)}2=\dfrac{0}2=0$

  $y=\dfrac{3+0}2=\dfrac{3}2=-1,\!5$

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(0\vert {-}1,\!5)$.

  Abbildung 4

  Am Koordinatensystem liest man die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ ab mit:

  $P_1(x_1\vert y_1) = P_1(3\vert {-}3)$ und

  $P_2(x_2\vert y_2) = P_2(-3\vert 2)$

  Wir setzen in die Formel ein:

  $x=\dfrac{3+(-3)}2=\dfrac{0}2=0$

  $y=\dfrac{(-3)+2}2=\dfrac{-1}2=-0,\!5$

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(0\vert {-}0,\!5)$.

• Beschreibe die Eigenschaften des Mittelpunktes einer Strecke.

  Tipps

  $M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2} \Big\vert \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$

  Lösung

  Der Mittelpunkt $M$ einer Strecke $\overline{AB}$ halbiert diese, da sich der Mittelpunkt genau in der Mitte zwischen den zwei Punkten $A$ und $B$ befindet. Deshalb sind die Strecken $\overline{AM}$ und $\overline{MB}$ gleich lang.

  Diese Aussagen sind richtig:

  • Der Mittelpunkt einer Strecke halbiert die Strecke.
  • Ist $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$, so sind die Strecken $\overline{AM}$ und $\overline{BM}$ gleich lang.

  Um die Koordinaten für den Mittelpunkt bestimmen zu können, muss man die entsprechenden Koordinaten ($x$-Koordinaten bzw. $y$-Koordinaten) miteinander addieren und anschließend davon die Hälfte nehmen.
  Die Berechnung für den Mittelpunkt lautet:

  $M\left(\dfrac{x_1+x_2}2\Big\vert\dfrac{y_1+y_2}2\right)$

  Diese Aussagen sind falsch:

  • Die Formel zur Bestimmung des Mittelpunktes lautet $M\left(\frac{x_1~+~x_2}4\Big\vert\frac{y_1~+~y_2}4\right)$.
  • Der Mittelpunkt einer Strecke viertelt die Strecke.

• Leite den Mittelpunkt der gegebenen Punkte her.

  Tipps

  Der Abstand von den beiden Punkten $P_5$ und $P_6$ zum Mittelpunkt $M$ ist gleich lang.

  Lösung

  1. Lückentext

  Der Lückentext liefert uns die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ mit:

  $P_1(x_1\vert y_1) = P_1(1\vert 1)$ und

  $P_2(x_2\vert y_2) = P_2(5\vert 3)$

  Wir setzen diese in die Formel ein:

  $x=\dfrac{1+5}2=\dfrac{6}2=3$

  $y=\dfrac{1+3}2=\dfrac{4}2=2$

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(3\vert 2)$ der Strecke $\overline{P_1P_2}$.

  2. Lückentext

  Der Lückentext liefert uns die beiden Punkte $P_3$ und $P_4$ mit:

  $P_3(x_1\vert y_1) = P_3(2\vert {-}2)$ und

  $P_4(x_2\vert y_2) = P_4(-3\vert 3)$

  Wir setzen in die Formel ein:

  $x=\dfrac{2+(-3)}2=\dfrac{-1}2=-0,\!5$

  $y=\dfrac{(-2)+3}2=\dfrac{1}2=0,\!5$

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(-0,\!5\vert 0,\!5)$.

  3. Lückentext

  $P_4$ ist unser Startpunkt und $P_5$ unser Zielpunkt:

  $P_4(x_1\vert y_1) = P_4(-3\vert 3)$ und

  $P_5(x_2\vert y_2) = P_5(-1\vert 4)$

  Wir setzen in die Formel ein:

  $x=\dfrac{(-3)+(-1)}2=\dfrac{-4}2=-2$

  $y=\dfrac{3+4}2=\dfrac{7}2=3,\!5$

  Wir erhalten den Mittelpunkt $M(-2\vert 3,\!5)$.

  4. Lückentext

  Der Startpunkt liegt bei $P_5(-1\vert 4)$ und der Mittelpunkt bei $M(-0,\!5\vert 2)$.

  Da $P_5$ und $P_6$ denselben Abstand vom Mittelpunkt $M$ haben müssen (Eigenschaften des Mittelpunktes), ist M der Mittelpunkt der Strecke $\overline{P_5P_6}$ und die Strecken $\overline{P_5M}$ und $\overline{P_6M}$ sind gleich lang.

  Der Abstand ($m_1$) bzw. die Differenz der $x$-Koordinaten von $P_5$ mit $x=-1$ und $M$ mit $x=-0,\!5$ beträgt $-0,\!5$:

  $m_1=-1-(-0,\!5)=-0,\!5$

  Wir wissen nun, dass $x_6$ vom Punkt $P_6(x_6\vert y_6)$ bei $x = 0$ liegen muss:

  $x=0,\!5-0,\!5=0$

  Wir ziehen von unserer $x$-Koordinate des Mittelpunktes ($x=0,\!5$) den vorher berechneten Betrag ($-0,\!5$) ab.

  Jetzt fehlt noch die $y$-Koordinate. Auch hier schauen wir uns den Abstand ($m_2$) von $P_5$ zum Mittelpunkt $M(-0,\!5\vert 2)$ an:

  $m_2=4-2=2$

  Der Abstand beträgt $2$. Man subtrahiert den Abstand von $2$ von der $y$-Koordinate des Mittelpunktes und erhält den fehlenden $y$-Wert von $P_6$:

  $y=2-2=0$

  Punkt $P_6$ hat die Koordinaten $P_6(0\vert 0)$.