Proportionale Zuordnungen erkennen

Proportionale Zuordnungen erkennen Übung

• Ergänze die Übersicht zu Eigenschaften einer proportionalen Zuordnung.

  Tipps

  Wie lautet das Ergebnis einer Division?

  Zu einer proportionalen Zuordnung gehört die Funktion

  $y = k \cdot x$.

  Welche Form hat deren Graph?

  Einem bestimmten Vielfachen der Größe $x$ wird das gleiche Vielfache der Größe $y$ zugeordnet.

  Lösung

  Betrachte folgendes Beispiel: Im Eisladen kostet eine Kugel Eis $1,5~€$. Zwei Kugeln kosten $3~€$.

  Es handelt sich um eine Zuordnung Anzahl Eiskugeln $\rightarrow$ Preis. Die zugehörigen Wertepaare sind $(1~|~1,5)$ und $(2~|~3)$.

  „Die Wertepaare einer proportionalen Zuordnung sind quotientengleich.“ Die Wertepaare einer Zuordnung $x \rightarrow y$ haben die Form $(x~|~y)$. Sie sind dann quotientengleich, wenn der Quotient $\frac{y}{x}$ für je zwei Wertepaare übereinstimmt. Dieser Quotient heißt Proportionalitätsfaktor $k$. Man kann nachrechnen, dass die Wertepaare des Beispiels quotientengleich sind: $\frac{1,5}{1} = 1,5 = \frac{3}{2}$.

  „Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung.“ Aus der Quotientengleichheit $\frac{y}{x} = k$ für alle Wertepaare erhält man durch Umstellen nach $y$: $y = k \cdot x$. Dies ist eine lineare Funktion, ihr Graph ist also eine Gerade, auf der alle Wertepaare liegen. Der Koordinatenursprung ist der Punkt $(x = 0~|~y = 0)$. Setzt man $x = 0$ in die Funktion ein, ergibt sich: $y = k \cdot x = k \cdot 0 = 0$. Somit liegt $(0~|~0)$ auf der Geraden. Daraus folgt, dass die Gerade durch den Koordinatenursprung verläuft.

  „Dem $k$-fachen Wert der Größe $x$ ist der $k$-fache Wert der Größe $y$ zugeordnet.“ So wird zum Beispiel der doppelten Anzahl Eiskugeln der doppelte Preis zugeordnet: Zwei Kugeln kosten $3~€$, also doppelt so viel wie eine Kugel.

  „Der Quotient $\frac{y}{x}$ ist für alle Wertepaare $(x~|~y)$ gleich und heißt Proportionalitätsfaktor.“ Ihm wird der Buchstabe k zugeordnet. Er gibt an, welches Vielfache der Größe $y$ der Größe $x$ zugeordnet wird. In dem Beispiel gilt $k = 1,5$. Einer bestimmten Anzahl Eiskugeln wird also der $1,5$-fache Preis zugeordnet. $1$ Kugel Eis kostet also $1,5 \cdot 1$ Euro und $2$ Kugeln kosten $1,5 \cdot 2$ Euro, also $3~€$.

• Berechne, für welche Fläche $8~kg$ Samen reichen.

  Tipps

  Um herauszufinden, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, musst du die Wertepaare auf Quotientengleichheit testen:

  Für jedes Wertepaar $(x~|~y)$ muss der Quotient $y : x$ das gleiche Ergebnis haben.

  Das Wertepaar hat die Form (Gewicht | Fläche). Setze die gegebenen Werte ein.

  Den Proportionalitätsfaktor $k$ berechnest du so:

  $k =$ Fläche : Gewicht.

  Die allgemeine Form für die Geradengleichung lautet:

  $y = k \cdot x$.

  Hast du den Proportionalitätsfaktor k berechnet, kannst du den Wert einsetzen.

  Lösung

  Die Vorgehensweise für Sachaufgaben zum Thema proportionale Zuordnung ist oft die folgende:

  1. Zuordnung und Wertepaare finden: Zunächst musst du feststellen, was wird was zugeordnet und welche Wertepaare sind gegeben.
  2. Proportionale Zuordnung erkennen: Hast du die Wertepaare $(x~|~y)$ gefunden, bildest du jeweils die Quotienten. Sind die Quotienten alle gleich, dann liegt eine proportionale Zuordnung vor. Den Proportionalitätsfaktor kannst du mit der Formel $k = \frac{y}{x}$ bestimmen.
  3. Geradengleichung aufstellen: Den errechneten Wert für k setzt man in die allgemeine Geradengleichung $y = k \cdot x$ ein.
  4. Geradengleichung nutzen, um gesuchten Wert zu berechnen. Dabei ist darauf zu achten, welche Größe gesucht ist. In dieser Aufgabe war ein Gewicht gegeben und eine Fläche gesucht. Es sollte also ein Wert für $y$ berechnet werden. Allgemein ist $y$ die Größe auf der rechten Seite der Zuordnung. Wäre eine Fläche gegeben und gefragt, wie viel $kg$ Samen dafür benötigt werden, hätte die Gleichung erst nach $x$ umgestellt werden müssen.

  In unserem Beispiel sieht das folgendermaßen aus:

  1. Es handelt sich hier um eine Zuordnung Gewicht $\rightarrow$ Fläche. Aus den Angaben auf der Samenpackung, dass $4~kg$ Samen für $200~m^2$ Fläche und $6~kg$ Samen für $300~m^2$ Fläche reichen, ergeben sich die beiden Wertepaare: $(\boldsymbol{4}~|~200)$ und $(6~|~\boldsymbol{300})$.
  2. Um herauszufinden, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, werden die beiden Wertepaare auf Quotientengleichheit getestet: $\boldsymbol{200} : 4 = \boldsymbol{50}$ und $300 : \boldsymbol{6} = \boldsymbol{50}$. Die beiden Wertepaare sind also quotientengleich und es handelt sich somit um eine proportionale Zuordnung. Der Quotient ist der Proportionalitätsfaktor der Zuordnung: $k = \boldsymbol{50}$.
  3. Die Geradengleichung lautet also: $y = \boldsymbol{50} \cdot x$.
  4. Um zu berechnen, für wie viel Fläche $8 kg$ Samen reichen, muss in diese Gleichung für x der Wert 8 eingesetzt werden: $y = 50 \cdot x = 50 \cdot \boldsymbol{8} = \boldsymbol{400}$. Antwort: $8~kg$ Samen reichen also für eine Fläche von $\boldsymbol{400}~m^2$.

• Ordne die Wertetabellen den richtigen Proportionalitätsfaktoren zu.

  Tipps

  Eine Zuordnung ist genau dann proportional, wenn die Wertepaare quotientengleich sind.

  Jede Spalte der Tabelle bildet ein Wertepaar.

  Der Proportionalitätsfaktor k einer proportionalen Zuordnung ist der Quotient aus den Werten von einem der Wertepaare.

  Falls die Quotienten nicht gleich sind, dann gibt es keinen Proportionalitätsfaktor und es liegt auch keine proportionale Zuordnung vor.

  Lösung

  Erweitert man jede Tabellen um eine Zeile, in der jeweils der Quotient $\frac{y}{x}$ steht, kann man leicht sehen, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt. Ist der Quotient für alle Spalten gleich, sind die jeweiligen Wertepaare quotientengleich. Dann liegt eine proportionale Zuordnung vor und der konstante Quotient ist der Proportionalitätsfaktor k.

  $\begin{array}{l|c|c} x: Zeit~in~s & 5 & 12 \\ \hline y: Weg~in~m & 25 & 60 \\ \hline Quotient \frac{y}{x} & 5 & 5 \\ \end{array}$

  Es handelt sich also um eine proportionale Zuordnung mit $k = 5$.

  $\begin{array}{l|c|c} x: Menge~in~kg & 0,5 & 1 \\ \hline y: Preis~in~€ & 4 & 8 \\ \hline Quotient \frac{y}{x} & 8 & 8 \\ \end{array}$

  Es handelt sich also um eine proportionale Zuordnung mit $k = 8$.

  $\begin{array}{l|c|c} x: Arbeitszeit~in~h & 4 & 6 \\ \hline y: Lohn~in~€ & 50 & 75 \\ \hline Quotient \frac{y}{x} & 12,5 & 12,5 \\ \end{array}$

  Es handelt sich also um eine proportionale Zuordnung mit $k = 12,5$.

  $\begin{array}{l|c|c} x: Geschwindigkeit~in~km/h & 50 & 80 \\ \hline y: Fahrtzeit~in~h & 4 & 2,5 \\ \hline Quotient \frac{y}{x} & 0,08 & 0,03125 \\ \end{array}$

  Die beiden Quotienten stimmen nicht überein. Die Wertepaare sind also nicht quotientengleich. Damit ist das keine proportionale Zuordnung.

• Entscheide, ob die gegebenen Zuordnungen proportional sind.

  Tipps

  Angenommen du hast ein Rezept für ein Brot. Du willst, dass dein Brot am Ende doppelt so schwer wie im Rezept angegeben ist. Welche Menge Mehl verwendest du?

  Ist a die Seitenlänge des Quadrates, so berechnet sich die Fläche zu $A = a^2$.

  Ist a die Seitenlänge des Quadrates, so berechnet sich der Umfang zu $U = 4 \cdot a$.

  Entscheide, ob die Zielgröße sich um das $k$-fache vergrößerst, wenn du die Ausgangsgröße um das $k$-fache vergrößerst.

  Wird die Fläche um den Faktor $k$ größer, wenn du die Seiten um den Faktor $k$ größer machst?

  Lösung

  • Menge Mehl $\rightarrow$ Gewicht des Brotes: Diese Zuordnung ist proportional: Soll das Gewicht des Brotes verdoppelt werden, muss die Menge aller Zutaten, also auch die des Mehls, verdoppelt werden.

  • Anzahl Schüler einer Klasse $\rightarrow$ Länge des Unterrichtsstunde: Diese Zuordnung ist nicht proportional: Die Länge der Unterrichtsstunde ist unabhängig von der Anzahl der Schüler. Egal wieviele Schüler in der Klasse sind, jede Unterrichtsstunde dauert 45 Minuten.

  • Seitenlänge $\rightarrow$ Fläche bei einem Quadrat: Diese Zuordnung ist nicht proportional: Ist a die Seitenlänge des Quadrates, so berechnet sich die Fläche zu $A = a^2$. Die folgende Tabelle mit verschiedenen Seitenlängen, der zugehörigen Fläche und dem Quotienten aus beiden Größen zeigt, dass die Wertepaare dieser Zuordnung nicht quotientengleich sind:

  $\begin{array}{l|c|c|c} Seitenlänge~a~in~cm & 1 & 2 & 3\\ \hline Fläche~A~in~cm^2 & 1 & 4 & 9\\ \hline Quotient \frac{A}{a} & 1 & 2 & 3\\ \end{array}$

  • Seitenlänge $\rightarrow$ Umfang bei einem Quadrat: Diese Zuordnung ist proportional. Ist a die Seitenlänge des Quadrates, so berechnet sich der Umfang zu $U = 4 \cdot a$. An der Formel kann man erkennen, dass diese Zuordnung proportional ist. Trägt man in einem Koordinatensystem den Umfang U über der Seitenlänge a ab, so entsteht eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft. Das ist ein hinreichendes Kriterium für eine proportionale Zuordnung.

• Gib Möglichkeiten an, wie du prüfst, ob eine Zuordnung proportional ist.

  Tipps

  Die Wertepaare $(x~|~y)$ einer proportionalen Zuordnung genügen der Geradengleichung $y = k \cdot x$.

  $y = 2 \cdot x + 1$ ist auch eine Gerade, jedoch nicht der Form $y = k \cdot x$.

  Lösung

  Es gibt zwei Möglichkeiten zu prüfen, ob eine Zuordnung proportional ist:

  • Prüfung auf Quotientengleichheit der Zahlenpaare $(x~|~y)$ mit der Gleichung $y : x = k$
  • Eintragen der Wertepaare in ein Koordinatensystem: Liegen die Wertepaare auf einer Geraden durch den Koordinatenursprung, handelt es sich um eine proportionale Zuordnung.

  Es reicht nicht, wenn die Wertepaare auf einer Geraden liegen. Die Gerade muss zusätzlich durch den Koordinatenursprung verlaufen. Zum Beispiel liegen die beiden Wertepaare $(1~|~3)$ und $(2~|~4)$ auf der Geraden $y = x + 2$. Diese verläuft nicht durch den Koordinatenursprung. Die beiden Wertepaare sind auch nicht quotientengleich, denn:

  $\frac{3}{1} = 3 \neq 2 = \frac{4}{2}$.

  Somit gehören die beiden Wertepaare nicht zu einer proportionalen Zuordnung.

• Ermittle, für welchen Warenwert der Obsthändler Obst aussortiert und für welchen Kilopreis er das Obst weiterverkauft.

  Tipps

  Einem gewissen Gewicht an Äpfeln in Kilogramm kannst du proportional einen Warenwert zuordnen, denn $k$-mal so viele Äpfel kannst du für den $k$-fachen Preis verkaufen.

  In der ersten Aufgabe sind $285,75~€$ der Warenwert für ein Gewicht von $635~kg$ Äpfeln. Was ist dann der Proportionalitätsfaktor?

  Ermittle aus diesen Werten eine Geradengleichung, in die du dann die $60~kg$ einsetzen kannst.

  Wie viele kg Äpfel stehen dem Obsthändler noch zum Verkauf zur Verfügung, nachdem er die $60~kg$ aussortiert hat, die verfault waren?

  Bestimme auch für die zweite Aufgabe den Proportionalitätsfaktor.

  Lösung

  Bei beiden Teilaufgaben handelt es sich um eine proportionale Zuordnung Gewicht $\rightarrow$ Warenwert, denn $k$-mal so viele Äpfel kannst du für den $k$-fachen Preis verkaufen.

  1. Gegeben: $635~kg$ Äpfel $\rightarrow$ $285,75~€$, also das Wertepaar $(635~|~285,75)$

  Gesucht: Warenwert von $60~kg$ Äpfeln

  Lösung:

  Mit Hilfe des Wertepaares $(635~|~285,75)$ kann der Proportionalitätsfaktor k bestimmt werden:

  $k = \frac{285,75}{635} = 0,45$. Daraus resultiert die Geradengleichung für die Zuordnung:

  $y = 0,45 \cdot x$. Um den Warenwert der $60~kg$ Äpfel, die verfault waren, herauszufinden, wird $x = 60$ in die Gleichung eingesetzt:

  $y = 0,45 \cdot x = 0,45 \cdot 60 = 27$.

  Antwortsatz: Der Obsthändler sortiert verfaulte Äpfel im Wert von $27~€$ aus.

  2. Zunächst sind ein paar Vorbetrachtungen anzustellen:

  Von den $635~kg$ Äpfeln hat der Obsthändler $60~kg$ aussortiert. Er hat also lediglich $635 - 60 = 575~kg$ Äpfel verkauft, für die er $431,25~€$ einnimmt. Somit ist das Wertepaar $(575~|~431,25)$ für die Aufgabe relevant.

  Außerdem gilt: Der erzielte Kilopreis ist der Proportionalitätsfaktor k, denn es gilt: $\text{Warenwert = Kilopreis }\cdot\text{ Gewicht}$. Der Kilopreis ordnet einem gewissen Gewicht an Äpfeln proportional einen bestimmten Warenwert zu. Gesucht ist in dieser Aufgabe also der Proportionalitätsfaktor k.

  Gegeben: $575~kg$ Äpfel $\rightarrow$ $431,25~€$, also das Wertepaar $(575~|~431,25)$

  Gesucht: Proportionalitätsfaktor $k$

  Lösung:

  Es gilt :

  $k = \frac{y}{x} = \frac{\text{Warenwert}}{\text{Gewicht}} = \frac{431,25}{575} = 0,75$

  Antwortsatz: Er erzielt einen Kilopreis von $0,75~€$.