Prozentpunkte

Prozentpunkte Übung

• Beschreibe die Unterschiede bei der Berechnung der Prozentpunkte und des Prozentsatzes.

  Tipps

  Ein Prozentsatz wie zum Beispiel $3\%$ besteht immer aus einer Prozentzahl (in diesem Fall $3$) und einem Prozentzeichen $\%$.

  Im Säulendiagramm werden auf der $y$-Achse die Prozentsätze angegeben. Kannst du Werte bei einem Säulendiagramm einmal nicht direkt ablesen, so zeichne dir von der oberen Kante der Säule eine Linie bis zur $y$-Achse, die parallel zur $x$-Achse verläuft .

  Lösung

  Anhand des Säulendiagramms können wir erkennen, dass $50\%$ aller gesammelten Pilze Schreierlinge (gelb) und $25\%$ der gesammelten Pilze Statisterlinge (violett) sind. Kannst du Werte bei einem Säulendiagramm einmal nicht direkt ablesen, so zeichne dir von der oberen Kante der Säule eine Linie bis zur $y$ -Achse, die parallel zur $x$ -Achse verläuft (wie die gestrichelte im Bild).

  Wir können diese beiden Pilzarten auf zwei Weisen vergleichen: Mithilfe der Prozentpunkte bestimmen wir den absoluten Unterschied und mithilfe des Prozentsatzes den relativen Unterschied.

  Bildet man die Differenz der Prozentzahlen, erhält man den Unterschied in Prozentpunkten. Prozentzahlen sind die Zahlen, die vor dem Prozentzeichen stehen. Deshalb verwenden wir nur die Zahlen für unsere Rechnung. Für den absoluten Unterschied zwischen Schreier- und Statisterlingen ziehen wir also die Prozentzahl der Statisterlinge ($25$) von der Prozentzahl der Schreierlinge ($50$) ab:

  • $50-25=25$

  Der absolute Unterschied beträgt also $25$ Prozentpunkte.

  Drückt man diese Differenz selbst nun als Prozentsatz aus, erhält man den Unterschied in Prozent. Dabei ist der Grundwert $G$ die Prozentzahl des Prozentsatzes, mit dem man einen anderen Prozentsatz vergleichen möchte. Der Prozentwert $W$ ist der absolute Unterschied. Wir teilen den Prozentwert durch den Grundwert, um den Prozentsatz zu bestimmen. Damit gilt:

  $\frac{W}{G}=25:50=0,5=50\%$

  Urunkula hat also $50\%$ weniger Statisterlinge als Schreierlinge.

  Wenn sie wissen will, wie viel Prozent Schreierlinge es in Bezug auf die Statisterlinge gibt, muss sie als Grundwert $G$ den Prozentwert der Statisterlinge nehmen. Das sind hier $25$. Dann wäre ihre Rechnung:

  $\frac{W}{G}=25:25=1=100\%$

  Es gibt also $100\%$ mehr Schreierlinge als Statisterlinge.

• Bestimme den absoluten und relativen Unterschied.

  Tipps

  Wir können zwei Pilzarten auf zwei Weisen vergleichen: Mithilfe der Prozentpunkte bestimmen wir den absoluten Unterschied und mithilfe des Prozentsatzes den relativen Unterschied.

  Bildet man die Differenz der Prozentzahlen, erhält man den Unterschied in Prozentpunkten.

  Für die Schreierlinge und Prozentione gilt:

  • Absoluter Unterschied (Prozentpunkte): $50-5=45$
  • Relativer Unterschied (Prozentsatz): $\frac{W}{G}=45:50=0,9=90\%$

  Lösung

  Zuerst notieren wir die Prozentzahlen für die unterschiedlichen Pilzarten. Prozentzahlen sind die Zahlen, die vor dem Prozentzeichen stehen. Deshalb verwenden wir keine Prozentzeichen in unserer Rechnung:

  • Schreierlinge: $50$
  • Statistiterlinge: $25$
  • Prozentione: $5$
  • Dialinge: $20$

  Wir können zwei Pilzarten auf zwei Weisen vergleichen: Mithilfe der Prozentpunkte bestimmen wir den absoluten Unterschied und mithilfe des Prozentsatzes den relativen Unterschied.

  Bildet man die Differenz der Prozentzahlen, erhält man den Unterschied in Prozentpunkten. Für den absoluten Unterschied zwischen Statisterlingen und Prozentionen ziehen wir also die Prozentzahl der Prozentione ($5$) von der Prozentzahl der Statisterlinge ($25$) ab:

  • $25-5=20$

  Der absolute Unterschied beträgt also $20$ Prozentpunkte.

  Drückt man diese Differenz selbst nun als Prozentsatz aus, erhält man den Unterschied in Prozent. Dabei ist der Grundwert $G$ in diesem Fall die Prozentzahl des größeren Prozentsatzes und der Prozentwert $W$ der absolute Unterschied. Wir teilen den Prozentwert durch den Grundwert, um den Prozentsatz zu bestimmen. Damit gilt:

  $\frac{W}{G}=20:25=0,8=80\%$

  Urunkula hat also $80\%$ weniger Prozentione als Statisterlinge.

  Ebenso gehen wir für die anderen vor und erhalten:

  Schreierlinge und Statisterlinge:

  • Absoluter Unterschied (Prozentpunkte): $50-25=25$
  • Relativer Unterschied (Prozentsatz): $\frac{W}{G}=25:50=0,5=50\%$

  Prozentione und Dialinge:

  • Absoluter Unterschied (Prozentpunkte): $20-5=15$
  • Relativer Unterschied (Prozentsatz): $\frac{W}{G}=15:20=0,75=75\%$

  Schreierlinge und Dialinge:

  • Absoluter Unterschied (Prozentpunkte): $50-20=30$
  • Relativer Unterschied (Prozentsatz): $\frac{W}{G}=30:50=0,6=60\%$

• Ermittle den Unterschied in Prozentpunkten und als Prozentsatz.

  Tipps

  Beim absoluten Unterschied kannst du den Prozentsatz auf unterschiedliche Weisen angeben. Ist der Prozentwert zum Beispiel $W=25$ und der Grundwert $G=75$, dann rechnest du:

  $\frac{W}{G}=\frac{25}{75}=\frac{1}{3}\approx 0,33 = 33\%$

  Hier ist es üblich, entweder die Prozentzahl als Dezimalbruch ($0,33$) anzugeben oder auch mit dem Prozentzeichen ($33\%$). Aber auch der gemeine Bruch ($\frac{1}{3}$) ist nicht falsch und in diesem Fall sogar genauer, da du nicht runden musst.

  Lösung

  Wir betrachten die Prozentzahlen, also nur die Zahlen vor dem Prozentzeichen:

  • grüne Bälle: $60$
  • rote Bälle: $30$
  • blaue Bälle: $10$

  Wir können zwei Ballfarben auf zwei Weisen vergleichen: Mithilfe der Prozentpunkte bestimmen wir den absoluten Unterschied und mithilfe des Prozentsatzes den relativen Unterschied.

  Bildet man die Differenz der Prozentzahlen, erhält man den Unterschied in Prozentpunkten. Für den absoluten Unterschied zwischen grünen und roten Bällen ziehen wir also die Prozentzahl der roten Bälle ($30$) von der Prozentzahl der grünen Bälle ($60$) ab:

  • $60-30=30$

  Der absolute Unterschied beträgt daher $30$ Prozentpunkte.

  Drückt man diese Differenz selbst nun als Prozentsatz aus, erhält man den Unterschied in Prozent. Dabei ist der Grundwert die Prozentzahl des ersten Prozentsatzes und der Prozentwert der absolute Unterschied. Wir teilen den Prozentwert durch den Grundwert, um den Prozentsatz zu bestimmen. Damit gilt:

  $\frac{W}{G}=30:60=0,5=50\%$

  Urunkula hat also $50\%$ weniger rote Bälle als grüne Bälle.

  Ebenso gehen wir für die anderen Fälle vor und erhalten:

  rote und blaue Bälle:

  • Absoluter Unterschied (Prozentpunkte): $30-10=20$
  • Relativer Unterschied (Prozentsatz): $\frac{W}{G}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}\approx 0,67=67\%$

  grüne und blaue Bälle:

  • Absoluter Unterschied (Prozentpunkte): $60-10=50$
  • Relativer Unterschied (Prozentsatz): $\frac{W}{G}=\frac{50}{60}=\frac{5}{6}\approx 0,83=83\%$

• Gib den relativen und absoluten Unterschied an.

  Tipps

  Betrachte die $16$ Gummibärchen. Davon sind $1$ gelb und $8$ grün. Wir erhalten die Prozentsätze:

  • $p_\text{gelb}% =\frac1{16}\approx 0,06=6\%$
  • $p_\text{grün}% =\frac8{16}= 0,5=50\%$

  Der absolute Unterschied beträgt ungefähr $44$ Prozentpunkte.

  Lösung

  $1.$ Betrachte die $12$ Gummibärchen. Davon sind $4$ gelb und $3$ grün. Wir erhalten die Prozentsätze:

  • $p_\text{gelb}% =\frac4{12}\approx 0,33=33\%$
  • $p_\text{grün}% =\frac3{12}= 0,25=25\%$

  Der absolute Unterschied beträgt ungefähr $33-25=8$ Prozentpunkte.

  Der relative Unterschied beträgt etwa $\frac{W}{G}=\frac8{33}\approx 0,24=24\%$.

  $2.$ Betrachte die $18$ Gummibärchen. Davon sind $9$ rosafarben und $4$ grün. Wir erhalten die Prozentsätze:

  • $p_\text{gelb}% =\frac9{18}= 0,5=50\%$
  • $p_\text{grün}% =\frac4{18}\approx 0,22=22\%$

  Der absolute Unterschied beträgt ungefähr $50-22=28$ Prozentpunkte.

  Der relative Unterschied beträgt ca. $\frac{W}{G}=\frac{28}{50}\approx 0,56=56\%$.

• Gib die Definition der Grundbegriffe wieder.

  Tipps

  Betrachtest du $10$ Äpfel, von denen $3$ grün sind und $7$ rot, und möchtest den Anteil an roten Äpfeln bestimmen, dann ist der Grundwert $G=10$.

  Betrachtest du $10$ Äpfel, von denen $3$ grün sind und $7$ rot, und möchtest den Anteil an roten Äpfeln bestimmen, dann ist der Prozentwert $W=7$.

  Betrachtest du $10$ Äpfel, von denen $3$ grün sind und $7$ rot, und möchtest den Anteil an roten Äpfeln bestimmen, dann ist der Prozentsatz $p\%=0,7=70%$.

  Lösung

  1. Der Grundwert ist die Gesamtzahl. Man kann auch sagen, er beschreibt das Ganze.
  2. Der Prozentwert $W$ ist ein bestimmter Anteil als Zahl angegeben.
  3. Der Prozentsatz $p\%$ ist der prozentuale Anteil des Grundwertes. Dieser wird normalerweise als Dezimalbruch angegeben.
  4. Das Säulendiagramm ist hilfreich bei der Darstellung und dem Vergleich der prozentualen Anteile.

  Wie du den Prozentsatz, den Prozentwert und den Grundwert anhand der anderen beiden gegebenen Größen berechnen kannst, erkennst du immer an dem Dreieck, das hier abgebildet ist. Es gilt daher:

  • $W=p\%\cdot G$
  • $p\%=\frac{W}{ G}$
  • $G=\frac{W}{ p\%}$

• Entscheide, welche Aussagen auf Prozentpunkte zutreffen.

  Tipps

  Für die Berechnung des Prozentsatzes gilt, wie du dir mit diesem Dreieck gut merken kannst:

  $p\%=\frac{W}{G}$

  Lösung

  Die folgenden Aussagen sind richtig:

  • Für den relativen Unterschied zweier prozentualer Anteile dividierst du die Prozentpunkte durch die Prozentzahl des größeren Prozentsatzes.

  • Der Prozentpunkt ist eine Bezeichnung des absoluten Unterschiedes zwischen zwei relativen Angaben.

  Die zwei relativen Angaben sind in unserem Fall meist prozentuale Angaben.

  Die folgenden Aussagen sind falsch:

  • Prozentpunkte werden im Gegensatz zu Prozentzahlen immer ohne Prozentzeichen angegeben.

  Um die Prozentpunkte zu berechnen, subtrahiert man zwei Prozentzahlen voneinander. Die Prozentzahl steht im Prozentsatz vor dem Prozentzeichen, die gesamte Rechnung wird also ohne Prozentzeichen durchgeführt.

  • Prozentpunkte sind immer natürliche Zahlen.

  Stelle dir vor, es sind die Prozentsätze $22,3\%$ und $12,9\%$ gegeben. Dann beträgt der absolute Unterschied $22,3-12,9=9,4$ Prozentpunkte. Prozentpunkte können also auch Dezimalzahlen oder Ähnliches sein.

  • Eine Partei hat bei der ersten Wahl $5\%$ der gesamten Wählerstimmen bekommen. $5$ Jahre später bei der nächsten Wahl erhält sie $11\%$ der Stimmen. Der Stimmenanteil der Partei verringerte sich also um $6$ Prozentpunkte.

  Wir subtrahieren die Prozentzahlen und erhalten $11-5=6$. Die Partei hat aber bei der zweiten Wahl einen größeren Stimmenanteil. Das heißt, sie konnte ihren Stimmenanteil um $6$ Prozentpunkte steigern.