Prozentrechnungen veranschaulichen

Prozentrechnungen veranschaulichen Übung

• Nenne die richtigen Aussagen zur Prozentzahl.

  Tipps

  $70\%$ von $60$ sind $\frac{70}{100} \cdot 60 = 42$.

  $65$ von $130$ sind $50\%$, aber $\frac{65}{130} \neq 50$.

  Um die Prozentzahl auszurechnen, musst du das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert auf den Grundwert $100$ beziehen.

  Lösung

  Die Prozentzahl ist dasselbe wie der Prozentwert zum Grundwert mal $100$. Um die Prozentzahl auszurechnen, kannst du das Verhältnis von Prozentwert und Grundwert bestimmen. Dieses Verhältnis ist dasselbe wie das Verhältnis der Prozentzahl zu $100$. Die Prozentzahl bekommst du also heraus, indem du das Verhältnis mit $100$ multiplizierst.

  Es gilt also:

  $\dfrac{\text{Prozentzahl}}{100} = \dfrac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Es gilt: $\dfrac{\text{Prozentzahl}}{100} = \dfrac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$

  • $GW=40$, $PZ=30$

  $\Rightarrow PW=12$

  • $PZ=70$, $PW= 14$ $\Rightarrow GW=20$

  • Sind Prozentwert und Prozentzahl gegeben, so kann ein Streifendiagramm helfen, um den Grundwert zu ermitteln.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • $GW = 60$, $PW =18$ $\Rightarrow PZ = 20$

  Korrekt wäre hier:

  $PZ = 6$, da $PZ= \dfrac{PW}{GW} \cdot 100 = \dfrac{18}{60} \cdot 100 = 30$

  Somit sind $18$ von $60$ gleich $30\%$.

  • Kennst du nur eine Größe, so kannst du beide anderen Größen berechnen.

  Mit zwei bekannten Größen kannst du die dritte Größe berechnen. Eine bekannte Größe reicht nicht aus.

• Bestimme die Prozentzahl.

  Tipps

  Der Grundwert ist die Anzahl der Artikel, von denen Bruno den Anteil der süßen Artikel ausrechnen will.

  Auf der Doppelleiste werden die zueinander gehörigen Grund- und Prozentwerte übereinander eingetragen.

  Zu dem Grundwert $60$ gehört der Prozentwert $18$. Der Prozentwert zu dem Grundwert $100$ ist die Prozentzahl.

  Lösung

  Bruno hat $60$ Artikel gesammelt, $18$ davon sind nach seinem Geschmack. Hier ist $60$ der Grundwert und $18$ der Prozentwert. Bruno rechnet die Prozentzahl aus, indem er das Verhältnis von Prozentwert und Grundwert auf den Grundwert $100$ bezieht. Bruno veranschaulicht sich die Rechnung mit einer Doppelleiste. Die obere Leiste steht für den Prozentwert, die untere für den Grundwert.

  Bruno unterteilt die untere Leiste in Abschnitte, die sowohl $60$ als auch $100$ als Vielfache haben, z. B. in Abschnitte von $10$ oder $20$. Er weiß, dass der Grundwert von $60$ auf der unteren Leiste dem Prozentwert von $18$ auf der oberen Leiste entspricht. Die obere Leiste muss Bruno in gleich große Abschnitte aufteilen. Bis zur $18$ sind es drei Abschnitte, daher hat jeder Abschnitt den Wert $6$. Die gesuchte Prozentzahl kann Bruno nun auf der oberen Leiste an der Stelle ablesen, an der auf der unteren Leiste der Grundwert $100$ steht: Sie beträgt $30$.

• Ordne die zueinander passenden Werte zu.

  Tipps

  Verwende z. B. ein $10\times 10$-Gitter, um zu gegebenem Grundwert und Prozentzahl den Prozentwert auszurechnen.

  Zu dem Grundwert $120$ und dem Prozentwert $90$ bestimmst du die Prozentzahl mit einer Doppelleiste: Du teilst die untere Leiste in $6$ Abschnitte von $20$, da sowohl $100$ als auch $120$ ein Vielfaches von $20$ ist. An der Stelle des Grundwertes $120$ unten steht oben der Prozentwert $90$. Dem Grundwert $100$ entspricht dann $\frac{5}{6}$ von $90$, also $75$.

  Wenn die Prozentzahl kleiner ist als $100$, dann ist der Prozenzwert kleiner als der Grundwert.

  Lösung

  Für die drei Größen Grundwert, Prozentwert und Prozentzahl gilt immer die Gleichung:

  $\frac{\text{Prozentzahl}}{100} = \frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$

  Du kannst die Gleichung nach jeder der drei Größen auflösen. Dann erhältst du eine Formel, mit der du die dritte Größe aus den beiden anderen ausrechnen kannst.

  Veranschaulichen kannst du die Rechnung auch mittels einer Doppelleiste wie in dem 2. Tipp bzw. mit einem $10\times 10$-Gitter wie hier.

  Zu dem Grundwert $150$ und der Prozentzahl $60$ ist der Prozentwert gesucht. Du bestimmst in dem $10\times 10$-Gitter den Wert eines Kästchens: $150 : 100 = 1,5$. Nun bestimmst du den Wert von $60$ Kästchen: $60 \cdot 1,5 = 90$. Der gesuchte Prozentwert ist also $90$.

  Wenn du alle Veranschaulichungen und Rechnungen richtig durchführst, kommst du auf folgende Zuordnung:

  • Zu dem Grundwert $150$ und der Prozentzahl $60$ gehört der Prozentwert $90$, denn $150 \cdot \frac{60}{90} = 90$.

  • Für den Prozentwert $56$ und den Grundwert $200$ finden wir die Prozentzahl $28$, denn $\frac{56}{200} = \frac{28}{100}$.

  • Die Prozentzahl $56$ liefert bei dem Grundwert $200$ den Prozentwert $112$, denn $\frac{56}{100} \cdot 200 =112$.

  • Bei einem Prozentwert von $90$ und dem Grundwert $200$ kommen wir auf die Prozentzahl $45$, denn $\frac{90}{200} \cdot 100 = 45$.

• Erschließe zu jedem Grundwert die passenden Prozentwerte und Prozentzahlen.

  Tipps

  Den Grundwert kannst Du ausrechnen, indem Du das Verhältnis aus Prozentwert und Prozentzahl mit $100$ multiplizierst.

  Zu dem Prozentwert $52,5$ und der Prozentzahl $75$ gehört der Grundwert $\frac{52,5}{75} \cdot 100 = 70$.

  Lösung

  Du kannst die Aufgabe auf verschiedene Weisen lösen. Am einfachsten ist es, zu den gegebenen Paaren von Prozentwert und Prozentzahl jeweils den Grundwert auszurechnen. Die Rechnung kannst du mithilfe eines Streifendiagramms veranschaulichen.

  Das hier abgebildete Streifendiagramm passt zu dem Paar:

  $~\text{PZ} = 12~\\~\text{PW} = 18~$

  Der größte gemeinsame Teiler der Prozentzahl $12$ mit $100$ ist $4$, daher haben wir ein Streifendiagramm mit $25$ Streifen gewählt, die jeweils $100\% : 25 = 4\%$ entsprechen.

  Die Prozentzahl $12$ entspricht dann drei Streifen, denn $12\% = 3 \cdot 4\%$. Der Prozentwert zu der Prozentzahl $12$ ist $18$. Jedem einzelnen Streifen entspricht also der Wert $18:3 = 6$. Den Grundwert erhältst du, indem du den Wert eines Streifens mit der Anzahl der Streifen multiplizierst:

  $\text{GW} = 25 \cdot 6 = 150$.

  Wenn du auf diese Weise die Grundwerte bestimmst, findest du folgende Zuordnung:

  Grundwert 120:

  • $\text{PZ} = 12$, $\text{PW} = 14,4$

  • $\text{PZ} = 15$, $\text{PW} = 18$

  • $\text{PW} = 114$, $\text{PZ} = 95$

  Grundwert 150:

  • $\text{PW} = 8,4$, $\text{PZ} = 5,6$

  • $\text{PZ} = 12$, $\text{PW} = 18$

  • $\text{PZ} = 75$, $\text{PW} =112,5$

  Grundwert 24:

  • $\text{PW} =12$, $\text{PZ} = 50$

  • $\text{PZ} = 75$, $\text{PW} = 18$

  • $\text{PZ} = 20$, $\text{PW} = 4,8$

  Grundwert 560:

  • $\text{PW} = 8,4$, $\text{PZ} = 1,5$

  • $\text{PW} = 28$, $\text{PZ} = 5$

  • $\text{PW} = 112$, $\text{PZ} = 20$

• Gib an, wie man den Prozentwert bestimmt.

  Tipps

  Jedes Kästchen im Gitter steht für einen eigenen Prozentpunkt.

  Die Prozentzahl ist ein Maß für den Anteil. Sie bezieht sich immer auf den Grundwert $100$.

  $40\%$ von $700$ Kirschen:

  $\text{Prozentzahl} = 40$

  $\text{Grundwert} = 700$

  $\dfrac{700 ~\text{Kirschen}}{100~\text{Felder}} = 7~\text{Kirschen pro Feld}$

  $40$ Felder werden ausgefüllt: $40 ~ \text{Felder} \cdot 7~\text{Kirschen pro Feld} = 280 ~\text{Kirschen}$

  $40\%$ von $700$ Kirschen sind somit $280$ Kirschen.

  Lösung

  Der wählerische Benni frisst nur Rotes. Insgesamt $40$ Artikel hat er erbeutet, d. h. der Grundwert seiner Ausbeute ist $40$. Den Anteil der roten Artikel kann Benni durch die Prozentzahl oder den Prozentwert ausdrücken. Benni weiß, dass die roten Artikel $30\%$ seiner Ausbeute ausmachen, d. h. die Prozentzahl ist hier $30$ (und nicht etwa $30\%$). Um dazu den Prozentwert auszurechnen, muss Benni die Zahl finden, die zu $40$ im selben Verhältnis steht wie $30$ zu $100$.

  Benni veranschaulicht sich die Aufgabe mit einem Gitter aus $10 \times 10$ Kästchen. Der Wert jedes Kästchens ist $\frac{1}{100}$ des Grundwertes also $40:100 = 0,4$. Den Prozentwert bestimmt Benni nun, indem er die Prozentzahl $30$ mit dem Wert eines Kästchens multipliziert:

  $0,4 \cdot 30 = 12$

  Die $30\%$ rote Artikel von Bennis $40$ Beutestücken sind also $12$ Artikel.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Die Hälfte von der Hälfte ist viel weniger als die Hälfte vom Ganzen.

  Lösung

  Der Schlüssel zur Lösung der Aufgabe ist die Berechnung der jeweils fehlenden Größe. Du kannst dazu z. B. die Gleichung:

  $\frac{\text{Prozentzahl}}{100} = \frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$

  verwenden oder die Prozentrechnung mittels einer Doppelleiste, eines $10 \times 10$-Gitters oder eines Streifendiagramms veranschaulichen. Damit kommst du auf Folgendes:

  Falsch sind diese Beschreibungen:

  • „Benno hat in $75\%$ der Klausuren dieses Halbjahrs mehr als die Hälfte der möglichen Punkte bekommen. Das sind in der Summe mehr als die Hälfte aller möglichen Punkte dieses Halbjahres.“ Ob Benno wirklich die Hälfte aller möglichen Punkte erlangt hat, hängt u.a. davon ab, wieviel mehr als die Hälfte der Punkte er in den einzelnen Klausuren bekommen hat. Sicher wissen wir nur, dass er $75\%$ von (mindestens) der Hälfte der möglichen Punkte hat. Das ist aber nicht notwendig mehr als die Hälfte aller möglichen Punkte. Ein Beispiel: Benno hat in $3$ von $4$ Klausuren jeweils $6$ von $10$ Punkten bekommen. Das sind mindestens $3 \cdot 6 = 18$ Punkte, also weniger als die Hälfte von $4 \cdot 10 = 40$ insgesamt möglichen Punkten.

  • „Die siebte Klasse sät Blumen im Schulgarten. Aus $55\%$ der Samen wachsen Frühblüher, aus weiteren $30\%$ winterfeste Blumen. Wenn alle Samen aufgehen, wachsen daraus $750$ Blumen. Davon sind mehr als $120$ weder Frühblüher noch winterfest.“ Der Anteil der Blumen, die weder Frühblüher noch winterfest sind, beträgt $100\% - 55\% - 30\% = 15\%$. Aber $15\%$ von $750$ sind $750 \cdot 0,15 = 112,5$. Der Anteil liegt also bei weniger als $113$ Pflanzen.

  Richtig sind folgende Beschreibungen:

  • „Maria und Gustav sammeln mit ihren Großeltern zusammen Ostereier; Greta sammelt allein. $70\%$ der $128$ gemeinsam gesammelten Ostereier stehen Maria und Gustav zu. Das sind mehr als die $84$ Eier, die Greta allein gefunden hat.“ Der Anteil von Maria und Gustav beträgt $70\%$ von $128$ Ostereiern, das sind $128 \cdot 0,7 = 89,6$. Auch wenn die Nachkommastelle bei der Ostereier-Aufteilung Schwierigkeiten bereitet, bekommen Maria und Gustav mehr als die $84$ Eier, die Greta gefunden hat.

  • „Simon will die Anzahl der Tauben in einem Taubenschlag bestimmen. Er weiß nur: Sieben Tauben sind mehr als die Hälfte und $90\%$ der Gesamtzahl sind nicht weniger als elf Tauben. Nach kurzer Überlegung kommt Simon darauf: Es müssen $13$ Tauben sein.“ Simon hat folgendes überlegt: Damit sieben Tauben mehr als die Hälfte sind, können höchstens $13$ Tauben in dem Taubenschlag sein. Denn bei $14$ Tauben wären sieben Tauben genau die Hälfte und bei mehr als $14$ Tauben wären sieben Tauben weniger als die Hälfte. Außerdem sollen $90\%$ nicht weniger als $11$ Tauben sein. Prüfen wir also die Taubenzahlen von $13$ abwärts: $90\%$ von $13$ sind $11,7$. Da wir nur in ganzen Tauben rechnen, sind das mehr als $11$. Rechnen wir $90\%$ von $12$ aus, so kommen wir auf $12 \cdot 0,9 = 11,8$, also weniger als $11$. Mit anderen Worten: Um die $90\%$-Bedingung zu erfüllen, müssen mindestens $13$ Tauben in dem Taubenschlag sein. Höchstens $13$ und mindestens $13$ Tauben führt auf genau $13$.