Prozentsätze über 100%

Prozentsätze über 100% Übung

• Bestimme den Grundwert.

  Tipps

  Der Prozentsatz ist das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert:

  $ p\% = \frac{W}{G} $

  $15\%$ mehr entsprechen dem Prozentsatz $115\%$.

  Der Prozentsatz $150\%$ entspricht dem Dezimalbruch $1,5$.

  Lösung

  Die Begriffe Grundwert $G$, Prozentwert $W$ und Prozentsatz $p\%$ kannst du in der Pyramide anordnen. Beachte dabei, dass der Protentsatz stets das Verhältnis aus Prozentwert und Grundwert ist:

  $ p \% = \frac{W}{G} $

  Mit dieser Formel kannst du nun den Grundwert bestimmen. Der Angabe $150\%$ mehr entspricht der Prozentsatz $100\%+150\%=250\%$. Damit findest du folgende Rechnung:

  $ G = \frac{W}{p\%} = \frac{80}{2,5} = 32 $

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Der Prozentwert ist das Produkt aus dem Grundwert und dem Prozentsatz.

  $10\%$ mehr als der Grundwert entsprechen dem Prozentsatz $110\%$.

  $120$ sind $140\%$ mehr als $50$, denn $\frac{120}{2,4} =50$.

  Lösung

  Bestimmst du von einem Grundwert ausgehend einen Prozentwert, der um einen prozentualen Anteil größer als der Grundwert ist, so kannst du zuerst den Prozentsatz bestimmen: Dem Grundwert entspricht der Prozentsatz $100\%$. Zu diesem kommt noch der Prozentsatz der Erhöhung hinzu. So entspricht einem Prozentwert, der um $50\%$ größer als der Grundwert ist, der Prozentsatz $100\%+50\%=150\%$. Den Prozentsatz kannst du ausrechnen, indem du den Prozentwert durch den Grundwert dividierst. Die Prozentzahl erhältst du, indem du diesen Quotienten mit $100$ multiplizierst. Den Grundwert findest du, indem du den Prozentwert durch den Prozentsatz (als Dezimalbruch dargestellt) dividierst.

  So findest du folgende richtige Sätze:

  • „$50\%$ mehr als $12$ sind... $18$.“ Denn $50\%$ mehr entspricht $150\%$. Den Prozentwert rechnest du durch Multiplikation mit $1,5$ aus: $12\cdot 1,5=18$.

  • „$80$ sind $150\%$ mehr als... $32$.“ Der Prozentsatz ist $100\% + 150\% = 250\%$. Den Grundwert erhältst du durch Division von $80$ durch $250\%$, also durch $2,5$: Dann ist $80:2,5=32$.

  • „$18$ sind $150\%$ von... $12$.“ Wieder berechnest du den Grundwert aus dem Prozentzsatz und dem Pozentwert: $18:1,5=12$.

  • „$250\%$ von $32$ sind... $80$.“ Hier ist der Prozentwert gesucht. Du erhältst ihn durch Multiplikation des Prozentsatzes $250\%$ mit dem Grundwert: $32 \cdot 2,5 = 80$.

• Erschließe die fehlenden Werte.

  Tipps

  Du kannst folgende Formel nach $G$ oder nach $W$ auflösen:

  $p\%= \frac{W}{G}$

  Bei jedem Prozentsatz über $100\%$ ist der Prozentwert größer als der Grundwert.

  Zu dem Prozentsatz $125\%$ passt das Wertepaar aus $G=64$ und $W= 80$, denn $\frac{80}{64} = 1,25$.

  Lösung

  Das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert ist der Prozentsatz:

  $p\% = \dfrac{W}{G}$

  Zu jedem Zentralelement fehlen zwei der drei Größen. Durch die Vorgabe nur einer Größe sind die beiden anderen zwar noch nicht eindeutig bestimmt, aber es gibt zu jedem Zentralwert jeweils nur ein passendes Wertepaar, das die obige Gleichung erfüllt. So passt z.B. zu dem Prozentwert $W=180$ der Prozentsatz $150\%$ nicht, denn der zugehörige Grundwert wäre dann $G=\frac{180}{1,5} = 120$, aber dieser Wert kommt nicht vor.

  Aus der Formel oben erhältst du folgende passende Zuordnungen:

  $G=90$:

  • $W=135$
  • $+50\%$
  • Hier ist der Prozentsatz $100\% + 50\% = 150\%$ und $\dfrac{W}{p\%} = \dfrac{135}{1,5} = 90$.

  $W=180$:

  • $G=150$
  • $+20\%$
  • Der Prozentsatz ist $100\% + 20\% = 120\%$ und der Prozentwert $W=G \cdot p\% = 150 \cdot 1,2 = 180$.

  $+10\%$:

  • $G=110$
  • $W=121$
  • Der Prozentsatz ist $\dfrac{W}{G} = \dfrac{121}{100} = 1,1 = 110\%$. Der Prozentwert ist also um $10\%$ größer als der Grundwert.

• Bestimme die Prozentwerte.

  Tipps

  Den Prozentwert bei einem Zuwachs um $p\%$ berechnest du mit dem Prozentsatz $100\% + p\%$.

  Der gleichbleibende Zuwachs erhöht den Wert jeweils um denselben Faktor.

  Lösung

  Der Zuwachs an Teilnehmern wird mit der Zuwachsrate $p\%$ angegeben. Der Grundwert für alle Sportkurse ist $G=100$. Den Prozentwert nach einem, nach zwei und nach drei Monaten kannst du am leichtesten berechnen, indem du zunächst den zugehörigen Prozentsatz bestimmst. Da der Zuwachs zu dem Grundwert hinzukommt, ist der Prozentsatz jeweils $100\% + p\%$. Der Prozentwert nach einem Monat entspricht also dem $1,1$-fachen des Grundwertes beim Steckenpferdreiten, dem $1,2$-fachen des Grundwertes beim Trockenpaddeln sowie dem $1,5$-fachen beim Sonnenbaden. Da sich die Teilnehmerzahlen in jedem Monat durchschnittlich um dieselbe Rate erhöhen, erhältst du die durchschnittlichen Teilnehmerzahlen der Folgemonate wieder durch Multiplikation mit diesen Faktoren.

  So findest du folgende durchschnittliche Teilnehmerzahlen:

  Nach einem Monat:

  • Steckenpferdreiten: $110$ Teilnehmer, denn $100 \cdot 1,1 = 110$.
  • Trockenpaddeln: $120$ Teilnehmer, denn der Zuwachs beträgt $20\%$, also $0,2 \cdot 100 = 20$. Insgesamt sind es also $100+20=120$ Teilnehmer.
  • Sonnenbaden: $150$ Teilnehmer, denn $150\%$ von $100$ ist $150$.

  Nach zwei Monaten:

  • Steckenpferdreiten: $121$ Teilnehmer, denn $110 \cdot 1,1 = 121$.
  • Trockenpaddeln: $144$ Teilnehmer, denn der Zuwachs beträgt $20\%$ der $120$ Teilnehmer des Vormonats, also $0,2 \cdot 120 = 24$ und $120+24=144$.
  • Sonnenbaden: $225$ Teilnehmer, denn $150\%$ von $150$ ist $225$.

• Definiere die Begriffe.

  Tipps

  Der Grundwert ist die Bezugsgröße, auf die sich die Prozentwerte beziehen.

  $90\%$ eines Ganzen sind weniger als das Ganze.

  $5$ von $10$ Birnen sind derselbe prozentuale Anteil wie $27$ von $54$ Äpfeln.

  Lösung

  In der Prozentrechnung unterscheidet man die Begriffe Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz und Prozentzahl. Der Grundwert entspricht einem Ganzen, auf das die anderen Werte bezogen werden. Der Prozentwert ist ein Anteil, bezogen auf das Ganze. Der Prozentsatz ist der prozentuale Anteil; das ist dasselbe wie das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert. Das Verhältnis kann als Dezimalbruch oder in der Form $p\%$ angegeben werden. Die Zahl $p$ ist das Hundertfache des Prozentsatzes und heißt Prozentzahl.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Der Grundwert entspricht dem Ganzen.“

  • „Bei einem Prozentsatz über $100\%$ ist der Prozentwert größer als der Grundwert.“

  • „Der Prozentsatz ist das Verhältnis zwischen dem Prozentwert und dem Grundwert.“

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Die Prozentzahl ist der prozentuale Anteil des Prozentwertes.“ Der Prozentsatz ist der prozentuale Anteil des Prozentwertes am Ganzen. Mit der kannst du diesen Prozentsatz ausdrücken, sie ist aber nicht dasselbe wie der Prozentsatz. Die Prozentzahl ist um den Faktor $100$ größer als der Prozentsatz.

  • „Der Prozentsatz ist immer kleiner als $100\%$, denn der Anteil ist kleiner als das Ganze.“ Prozentsätze größer als $100\%$ kommen immer dann vor, wenn du einen Anteil beschreibst, der größer ist als das Ganze. Der Anteil ist nicht zwingend eine Teilmenge des Ganzen. Mit dem Ausdruck „Ganzes“ oder „Grundwert“ ist vielmehr die Bezugsgröße gemeint, auf die sich der Anteil bezieht. Ein Prozentsatz über $100\%$ entsteht z. B. bei einem Zuwachs bezogen auf das Ganze. Ein Zuwachs um $15\%$ entspricht dann dem Prozentsatz $100\% +15\%=115\%$.

  • „Der Prozentwert beschreibt den prozentualen Anteil am Ganzen.“ Der Prozentwert $W$ ist ein Anteil bezogen auf das Ganze und wird als Zahl notiert. Der Prozentsatz $p\%$ ist dagegen das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert und beschreibt den prozentualen Anteil.

  • „Der Prozentwert wird in der Form $p\%$ angegeben.“ Der Prozentwert ist ein Anteil und wird als Zahl angegeben. Er wird mit $W$ bezeichnet. Dagegen ist $p\%$ der Prozentsatz. Um diesen anzugeben, muss zuerst der Grundwert als Bezugsgröße festgelegt werden. Das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert ist der Prozentsatz. Du kannst den Quotienten als Dezimalbruch angeben. Für die Darstellung in der Form $p\%$ multiplizierst du den Quotienten mit $100$ und erhältst so die Prozentzahl $p$.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  $10\%$ von $\frac{50}{100}$ sind $0,1 \cdot \frac{50}{100} = \frac{5}{100}$.

  Verringerst du einen Grundwert um $p\%$, so berechnest du den Prozentwert zu dem Prozentsatz $100\% - p\%$.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „$200%$ mehr als der Grundwert sind das Dreifache des Grundwertes.“ Eine Zunahme um $200\%$ führt zu dem Prozentsatz $100\% + 200\% = 300\%$.

  • „$50\%$ mehr als der Grundwert sind die Hälfte des Dreifachen des Grundwertes.“ Eine Zunahme um $50\%$ führt zu dem Prozentsatz $100\% + 50\% = 150\%$. Das ist die Hälfte des Dreifachen des Grundwertes. Denn das Dreifache entspricht dem Prozentsatz $300\%$.

  • „Verdoppelt man einen Anteil, so verdoppelt sich auch der Prozentsatz, der zu diesem Anteil gehört.“ Der Prozentsatz ist das Verhältnis des Prozentwertes zum Grundwert. Verdoppelst du den Prozentwert, also den Zähler des Bruches, so verdoppelt sich auch der Wert des Bruches, also der Prozentsatz.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Erhöht man einen Grundwert zuerst um einen Prozentsatz und verringert das Ergebnis dann um denselben Prozentsatz, so erhält man wieder den Grundwert.“ Erhöhst du z.B. um $10\%$, so erhältst du $110\%$ des Ganzen. Verringerst du nun diesen Wert um $10\%$, so bezieht sich die Reduktion nicht auf das ursprüngliche Ganze, sondern auf diesen Zwischenwert. $10\%$ von $110$ sind $11$, daher erhältst du $110\%-11\% = 99\%$ des ursprünglichen Ganzen. Hier ist noch ein Beispiel mit Zahlen: $10\%$ mehr als $500$ sind $550$ und $10\%$ weniger als $550$ sind $90\%$ von $550$, also $550 \cdot 0,9= 495$. Das ist dasselbe wie $99\%$ von $500$.

  • „$10\%$ mehr als die Hälfte sind $60\%$ des Ganzen.“ Die Hälfte eines Ganzen sind $50\%$ des Ganzen. $10\%$ mehr von etwas sind das $1,1$-fache. Daher sind $10\%$ mehr als die Hälfte genau $1,1 \cdot 50\% = 55\%$ des Ganzen.

  • „Vergrößert sich ein Prozentwert um $10\%$, so nimmt die Prozentzahl um $10$ zu.“ Bei der Angabe einer Vergrößerung um $10\%$ bezieht sich die Prozentzahl immer auf die angegebene Größe. Diese Größe ist der Grundwert der Prozentangabe, selbst wenn sie der Anteil eines anderen Ganzen ist. $10\%$ eines Anteils können mehr oder weniger als $10\%$ des Ganzen sein. Die Änderung der Prozentzahl des Anteils kann man nur ausrechnen, wenn man diese Prozentzahl kennt. Hier ist ein Beispiel mit Zahlen: $75\%$ von $160$ sind $120$. Erhöhst du diesen Anteil um $10\%$, so erhältst du $120 \cdot 1,1 = 132$. Diesem Wert, aufgefasst als Anteil des Ganzen $160$, entspricht der Prozentsatz $\frac{132}{180} = 0,825 = 82,5\%$. Die Prozentzahl hat sich also von $75$ auf $82,5$ um weniger als $10$ erhöht. Die Änderung der Prozentzahl entspricht genau $10\%$ der Prozentzahl $75$.