Prozentrechnung: Grundwert

Prozentrechnung: Grundwert Übung

• Beschreibe, wie man den Grundwert bestimmt.

  Tipps

  Die Formel für den Grundwert $G$ kannst du aus dem Dreieck ablesen.

  Den Prozentsatz kannst du als Dezimalzahl schreiben.

  Beispiel:
  $42\% = 0{,}42$

  Lösung

  Wilbur berechnet die Gesamtmenge seiner Erdnussernte im Vorjahr. Dies ist der Grundwert. Der Prozentwert $W$ ist ein Anteil des Grundwertes $G$, der als Zahl angegeben wird. Der Prozentsatz $p\%$ ist der zugehörige prozentuale Anteil. Er wird meistens als Dezimalbruch angegeben. Manchmal wird er aber auch als Prozentzahl mit darauffolgenden Prozentzeichen angegeben.

  Wilbur hat in diesem Jahr $17\%$ weniger geerntet als im Vorjahr. Die Vorjahresernte ist der Grundwert $G$, also $100\%$ und die aktuelle Ernte der Prozentwert $W$. Um nun den prozentualen Anteil der diesjährigen Ernte zu erhalten, müssen wir die $17\%$ subtrahieren:

  $100\% - 17\% = 83\%$

  Den Prozentsatz $p\%$ schreiben wir üblicherweise als Dezimalbruch:

  $83\%=0,83$

  In diesem Jahr hat Wilbur $520~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet. Dies ist der Prozentwert. Den Grundwert $G$ berechnet er, indem er den Prozentwert durch den Prozentsatz dividiert. Um dir diese Formel zu merken, kann dir das Dreieck oben helfen.

  $G = \frac{W}{p\%} = \frac{520}{0,83} \approx 626,5$

  Er hat im Vorjahr also $626,5~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet.

  Zwei Jahre später hat Wilbur $1 315~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet. Das sind diesmal $30\%$ mehr als im Vorjahr. Bezogen auf die Vorjahresernte ist der aktuelle Ertrag der Prozentwert. Wie zuvor berechnet Wilbur die Vorjahresernte, d. h. den Grundwert:

  $G = \frac{W}{p\%}= \frac{1315~\text{kg}}{1,3} = 1 011,5~\text{kg}$

  Er hat im Jahr davor also $1 011,5~\text{kg}$ Erdnüsse geerntet.

• Bestimme den Grundwert.

  Tipps

  Den Prozentsatz setzt du in der Rechnung am besten als Dezimalbruch ein, d. h. $57~\% = \frac{57}{100} = 0,57$.

  Bei einem Prozentwert $W = 118$ und einem Prozentsatz $p\% = 71~\%$ beträgt der Grundwert:

  $ G = \frac{W}{p\%} = \frac{118}{0,71} \approx 166,2$

  Lösung

  Zur Berechnung des Grundwertes $ G$ aus dem Prozentwert $W$ und dem Prozentsatz $p\%$ verwendest du die Formel:

  $G = \frac{ W}{p\%}$

  Hier sind die Rechnungen:

  • Für $W = 520$ und $p\% = 83\%$ erhältst du: $G = \frac{520}{0,83} = 626,5$.

  • Bei $W = 1315$ und $p\% = 130\%$ ist $G = \frac{1315}{1,3} = 1011,5$.

  • Ist $W = 1214$ und $p\% = 120\%$, so erhältst du den Grundwert $ G = \frac{1214}{1,2} = 1011,\overline{6}$.

  • Für $W = 1214$ und $p\% = 100\%$ kommst du auf $ G = \frac{1214}{1,0} = 1214$.

• Ordne dem Prozentwert und Prozentsatz den Grundwert zu.

  Tipps

  Berechne den Grundwert, indem du den Prozentwert durch den Prozentsatz dividierst.

  Bei einem Prozentwert $W = 957$ und einem Prozentsatz $p\% =87\%$ beträgt der Grundwert:

  $G = \frac{957}{0,87} = 1100$

  Ist der Prozentsatz größer als $100\%$, so ist der Grundwert kleiner als der Prozentwert.

  Lösung

  Zur Berechnung des Grundwertes $G$ aus dem Prozentwert $W$ und dem Prozentsatz $p \%$ verwendest du die Formel:

  $G = \frac{W}{p \%}$

  Damit erhältst du folgende Rechnungen:

  • Der Ertrag an Spinat ist um $20\%$ auf $W = 150$ gestiegen. Damit ist $p \% = 100\% + 20\% = 120\%$. Die Vorjahresernte ist der Grundwert $G = \frac{150}{1,2} = 125$.

  • Der Blaubeerertrag ist um $20\%$ zurückgegangen, daher ist $p\% = 80\%$. Mit dem Prozentwert $W = 120$ kommst du auf den Grundwert $G = \frac{120}{0,8} = 150$.

  • Der Ertrag an Auberginen liegt bei $W = 1100$, dies entspricht dem Prozentwert $W = 97\%$. Der zugehörige Grundwert ist $G = \frac{1100}{0,97} \approx 1134$.

  • Die Mirabellenernte ist um $3\%$ gegenüber dem Vorjahr gestiegen, d. h. der Prozentsatz beträgt $103\%$. Der Prozentwert ist $ W = 1133$ und der zugehörige Grundwert ist $G = 1100$.

• Erschließe den Grundwert.

  Tipps

  Berechne den Grundwert z. B. mit dem Dreisatz: Den Grundwert zu $ W = 81$ und $ p\% = 90$ findest du, indem du zuerst die $81$ durch $90$ dividierst: $1\%$ entsprechen nämlich $81:90 = 0,9$. Diesen Zwischenwert multiplizierst du mit $100$ und erhältst den Grundwert: $G = 0,9 \cdot 100 = 90$.

  Ist der Prozentsatz größer als $100\%$, so ist der Grundwert kleiner als der Prozentwert.

  Lösung

  Den Grundwert zu einem Prozentwert $\text W$ und Prozentsatz $\text p \%$ berechnest du jeweils mit der Formel:

  $G = \frac{W}{p\%} = \frac{ W}{p \%}$

  Oder mit dem Dreisatz:

  $G = \frac{W}{p} \cdot 100$

  Wir rechnen exemplarisch zu jedem Grundwert ein Beispiel.

  Zu dem Grundwert $ G = 125$ gehören folgende Paare:

  • ${W} = 25$ und $p\% = 20\%$, denn $ W : 20 = 1,25$ und $ G = 1,25 \cdot 100 = 125$ oder $G=\frac{25}{0,2}=125$.
  • ${W} = 50$ und $p\%= 40\%$
  • ${W} = 60$ und $p\% = 48\%$

  Zu dem Grundwert $ G = 64$ gehören dann die folgenden Paare:

  • ${W} = 80$ und $p\%= 125\%$, denn $ W : 125 = 0,64$ und $G = 0,64 \cdot 100 = 64$ oder $G=\frac{80}{1,25}=64$.
  • ${ W} = 48$ und $p\% = 75\%$
  • ${ W} = 56$ und $p\% = 87,5\%$
  • ${W} = 128$ und $p\% = 200\%$

  Die Paare zu dem Grundwert $G = 128$ sind:

  • ${W} = 64$ und $p\% = 50\%$, denn $ G = \frac{64}{50\%} = \frac{64}{0,5} = 128$.
  • ${W} = 96$ und $p\% = 75\%$
  • ${W} = 112$ und $p\%= 87,5\%$
  • ${ W} = 144$ und $p\% = 112,5\%$

  Schließlich gehören zu dem Grundwert $G = 512$ die folgenden Paare:

  • ${W} = 288$ und $p\% = 56,25\%$, denn $ G = \frac{288}{56,25} \cdot 100 = 512$.
  • ${W} = 192$ und $p\% = 37,5\%$
  • ${W} = 32$ und $p\% = 6,25\%$

• Berechne den Grundwert mit dem Dreisatz.

  Tipps

  Der Prozentwert ist immer ein Anteil des Grundwertes.

  Ist der Prozentsatz größer als $100\%$, so ist der Prozentwert größer als der Grundwert.

  Hier ist ein Beispiel für den Dreisatz:

  $\begin{array}{rcl} 520 &\widehat{=}& 83\% \\ 520 : 83 = 6,265 &\widehat{=}& 1\% \\ 100 \cdot 6,265 = 626,5 &\widehat{=}& 100\% \end{array}$

  Lösung

  Der Prozentwert ist ein Anteil der Erdnussernte bezogen auf einen Grundwert. Der Prozentsatz gibt denselben Anteil an, bezogen auf den Grundwert $100$. Aus dem Prozentsatz und dem Prozentwert kannst du den Grundwert mithilfe des Dreisatzes ausrechnen.

  Dazu dividierst du den angegebenen Prozentwert durch die zugehörige Prozentzahl. Das Ergebnis ist der Prozentwert für $1\%$. Du multiplizierst diesen mit $100$ und erhältst so den Grundwert.

  Wilburs Ernte in $\text{kg}$ beträgt $W=1214$. Dies sind $20\%$ mehr als die Vorjahresernte, also $120\%$ des Grundwertes.

  Der Prozentwert in $\text{kg}$ zu dem Prozentsatz $1\%$ beträgt dann:

  $1214 : 120 = 10,12$

  Wilbur rechnet daraus den Grundwert in $\text{kg}$ aus:

  $G= 10,12 \cdot 100= 1012$

  Du kannst den Dreisatz auch so aufschreiben:

  $\begin{array}{rcl} 1214 & \widehat{=} & 120\% \\ 101,2 & \widehat{=} & 1\% \\ 1012 & \widehat{=} & 100\% \end{array}$

• Analysiere die Beschreibungen.

  Tipps

  Bei einem Zuwachs um $5\%$ ist der Prozentwert das $1,05$-fache des Grundwertes. Überlege, wie sich der Wert verändert, wenn du den Prozentwert als neuen Grundwert nimmst und der Zuwachs wieder $5\%$ beträgt.

  Wir rechnen mit einem Grundwert von $G_1=100$. Bei einem Zuwachs von $5\%$, also einem Prozentsatz von $p\%=105\%=1,05$ beträgt der Prozentwert $W_1=105$.

  Betrachten wir nun das folgende Jahr, ist der Prozentwert $W_1$ unser neuer Grundwert $W_1=G_2=105$ und wir erhalten $W_2=110,25$.

  Das entspricht einem Zuwachs von $10,25\%$.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Wenn die Ernte in diesem Jahr um $25\%$ größer ausfällt als im Vorjahr, so macht der diesjährige Ertrag $\frac{5}{4}$ des Vorjahresertrags aus.“ Der Prozentsatz beträgt $125\%$, das sind $\frac{125}{100} = \frac{5}{4}$. Daher macht der diesjährige Ertrag $\frac{5}{4}$ des Vorjahresertrags aus.

  • „Ist der Ertrag im zweiten Jahr um $25\%$ größer als im ersten Jahr und im dritten Jahr um $20\%$ kleiner als im zweiten Jahr, so sind die Erträge des ersten und dritten Jahres gleich.“ Der Prozentsatz des Ertrags des zweiten Jahres gegenüber dem ersten Jahr beträgt $125\% = 1,25 = \frac{5}{4}$. Der Prozentsatz des dritten Jahres gegenüber dem zweiten beträgt $80\% = 0,8 = \frac{4}{5}$. Daher beträgt der Prozentsatz des dritten Jahres gegenüber dem ersten $\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = 1 = 100\%$. Wichtig ist hierbei, dass der Ernteertrag des zweiten Jahres sowohl der Prozentwert der ersten Berechnung, als auch der Grundwert der zweiten Berechnung ist.

  • „Wachsen der Prozentsatz und der Prozentwert um denselben Faktor, so bleibt der Grundwert gleich.“ Für den Grundwert gilt die Formel $G = \frac{W}{p \%}$. Die Multiplikation von Zähler und Nenner mit demselben Faktor ändert den Grundwert nicht.

  • „Ist der Prozentsatz kleiner als $1$, so ist der Grundwert größer als der Prozentwert.“ Der Prozentwert ist das Produkt aus Prozentsatz und Grundwert. Ist der Prozentsatz kleiner als $1 = 100\%$, so ist der Prozentwert kleiner als der Grundwert.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Wächst die Ernte in zwei aufeinander folgenden Jahren jeweils um $10\%$, so ist die Ernte im dritten Jahr genau um $20\%$ gegenüber dem ersten Jahr angewachsen.“ Ein Zuwachs um $10\%$ entspricht der Multiplikation mit dem Faktor $1,1$. Ein weiterer Zuwachs um $10\%$ entspricht wieder der Multiplikation mit $1,1$. Damit entspricht der Ertrag des dritten Jahres im Vergleich zum ersten der Multiplikation mit $1,1 \cdot 1,1 = 1,21$. Dies ist ein Zuwachs von $21\%$ statt nur $20\%$, wie behauptet. Eine andere Erklärung ist, dass im ersten Jahr der Ertrag bei $100\%$ liegt. Im zweiten Jahr kommen $10\%$ hinzu, weshalb der Ertrag bei $110\%$ liegt. Im dritten Jahr gibt es wieder eine Steigerung um $10\%$, wobei diese sich nun auf den Grundwert vom zweiten Jahr beziehen. $10\%$ von $110\%$ sind $11\%$. Diese sind den zu den $110\%$ aus dem zweiten Jahr hinzuzurechnen. Somit ergibt sich für das dritte Jahr: $100 \% + 10\% + 11\% = 121\%$.

  • „Ist die Prozentzahl größer als $1$, so ist der Prozentwert größer als der Grundwert.“ Die Prozentzahl ist die Zahl vor dem Prozentzeichen. Der Prozentsatz ist ein Dezimalbruch: Der Zähler ist die Prozentzahl, der Nenner ist $100$. Der Prozentwert ergibt sich aus der Multiplikation des Grundwertes mit dem Prozentsatz, nicht mit der Prozentzahl. Ist z. B. der Prozentsatz $p\% = 5\%$, so ist die Prozentzahl größer als $1$ (nämlich $5$). Der Prozentwert ist aber kleiner als der Grundwert, da der Prozentwert nur $5\%$ des Grundwertes ausmacht. Nur wenn die Prozentzahl größer als $100$ ist, dann ist der Prozentwert größer als der Grundwert.