Addition von Geschwindigkeiten in der speziellen Relativitätstheorie

Addition von Geschwindigkeiten in der speziellen Relativitätstheorie Übung

• Fasse dein Wissen über die Addition von Geschwindigkeiten zusammen.

  Tipps

  Für welche Geschwindigkeiten gilt die klassische Physik und für welche nicht mehr?

  Klassisch ergibt zum Beispiel $\omega´=v=0,6~c$ für $\omega=1,2~c$!!!

  Lösung

  Die Addition von Geschwindigkeiten nach den Gesetzmäßigkeiten der Klassischen Physik gilt nur für kleine Geschwindigkeiten. Radelt Einstein auf seinem Fahrrad durch die Gegend, so kann er die Überlagerung seiner Bewegung mit anderen Bewegungen im Alltag ohne Probleme durch klassische Addition bestimmen.

  Liegen die Geschwindigkeiten mit ihrer Größenordnung jedoch im Bereich der Lichtgeschwindigkeit, also bei $0,1~c$, $0,2~c$ und darüber hinaus, kann die klassische Addition zu Geschwindigkeiten größer als die Lichtgeschwindigkeit führen und das ist ein Widerspruch zu den Grundprinzipien der Relativitätstheorie (siehe auch das Beispiel: $\omega´=v=0,6~c$ mit $\omega=1,2~c$!!!).

  In solchen Fällen gilt das Geschwindigkeitsadditionstheorem der Speziellen Relativitätstheorie, das aus den Formeln der Lorentztransformation hergeleitet werden kann:

  $\omega=\frac {\omega´+v} {1+\frac {v~\omega´} {c^2}}$.

  Wendet man dieses an, so erhält man für das gezeigte Beispiel $\omega´=v=0,6~c$ einen Wert von $\omega=0,88~c$ und bleibt damit wie erforderlich bei Geschwindigkeiten unterhalb der Lichtgeschwindigkeit.

• Leite das Geschwindigkeitsadditionstheorem aus den Formeln für die Lorentztransformation her.

  Tipps

  Als erstes musst du die Formeln für die Lorentztransformation in die Gleichung mit der gesuchten Größe $\omega$ einsetzen.

  Dann kannst du den Lorentzfaktor kürzen und die Terme neu sortieren und zusammenfassen.

  Im nächsten Schritt teilst du in Zähler und Nenner durch den Term $t_2'-t_1'$.

  Nun kannst du die Terme vereinfachen. Manche Terme werden Eins, andere kannst du vereinfacht schreiben, indem du sie mit $\omega'$ ersetzt.

  Lösung

  Als erstes musst du die Formeln für die Lorentztransformation in die Gleichung mit der gesuchten Größe $\omega$ einsetzen:

  (1) $\omega=\frac {k(x_2'+vt_2')-k(x_1'+vt_1')} {k(t_2'+x_2'\frac {v} {c^2})-k(t_1'+x_1'\frac {v} {c^2})}$

  Dann kannst du den Lorentzfaktor kürzen und die Terme neu sortieren und zusammenfassen:

  (2) $\omega=\frac {x_2'-x_1'+v(t_2'-t_1')} {t_2'-t_1'+{v} {c^2}(x_2'-x_1')}$

  Im nächsten Schritt teilst du in Zähler und Nenner durch den Term $t_2'-t_1'$:

  (3) $\omega=\frac {\frac {x_2'-x_1'} {t_2'-t_1'}+v\frac {t_2'-t_1'} {t_2'-t_1'}} {\frac {t_2'-t_1'} {t_2'-t_1'}+\frac {v} {c^2} \frac {x_2'-x_1'} {t_2'-t_1'}}$

  Nun kannst du die Terme vereinfachen. Manche Terme werden Eins, andere kannst du vereinfacht schreiben, indem du sie mit $\omega'$ ersetzt:

  (4) $\omega=\frac {\omega'+v} {1+\frac {v\cdot \omega'} {c^2}}$

  Und da ist es: das Geschwindigkeitsadditionstheorem! Super gemacht!

• Gib an, wie die Geschwindigkeit für die verschiedenen Zahlenbeispiele bestimmt werden kann.

  Tipps

  Das Geschwindigkeitsadditionstheorem lautet $\omega=\frac {\omega'+v} {1+\frac {v\cdot \omega'} {c^2}}$.

  Lösung

  Für die Berechnung der einzelnen Beispiele werden die gegebenen Geschwindigkeiten in das Geschwindigkeitsadditionstheorem $\omega=\frac {\omega'+v} {1+\frac {v\cdot \omega'} {c^2}}$ eingesetzt.

  Dann gilt beispielsweise für $v=0,9~c$ und $\omega'=0,8~c$:

  $\omega=\frac {0,8~c+0,9~c} {1+\frac {0,9~c\cdot 0,8~c} {c^2}}=\frac {1,7~c} {1+\frac {0,72~c^2} {c^2}}=\frac {1,7~c} {1+0,72}=\frac {1,7~c} {1,72}=0,99~c$.

  Die Rakete bewegt sich aus der Beobachterperspektive fast mit Lichtgeschwindigkeit, weil die beiden gegebenen Geschwindigkeiten bereits sehr hoch sind.

  Vergleichbares gilt auch für die anderen Zahlenbeispiele. Es ist praktisch, beim Geschwindigkeitsadditionstheorem die Geschwindigkeiten in Anteilen der Lichtgeschwindigkeit $c$ anzugeben, weil so die Zahlenwerte gut überschaubar sind.

• Berechne die Geschwindigkeit der Raumsonden aus Sicht der außerirdischen Beobachter.

  Tipps

  Notiere die gegebenen und die gesuchte Größe.

  Was musst du bei der Addition der Geschwindigkeiten aufgrund der Größenordnung der Geschwindigkeiten beachten?

  Das Geschwindigkeitsadditionstheorem lautet: $\omega=\frac {\omega'+v} {1+\frac {v\cdot \omega'} {c^2}}$.

  Die Geschwindigkeiten kannst du wie gegeben einsetzen oder in Bruchteile der Lichtgeschwindigkeit umrechnen.

  Lösung

  Bei den gegebenen Geschwindigkeiten müssen auf jeden Fall relativistische Effekte berücksichtigt werden.

  Gegeben:

  $v=80~000\frac {km} {s}$

  $\omega'=130~000\frac {km} {s}$

  $c=300~000\frac {km} {s}$

  Gesucht: $\omega$

  Das Geschwindigkeitsadditionstheorem lautet: $\omega=\frac {\omega'+v} {1+\frac {v\cdot \omega'} {c^2}}$.

  Somit ergibt sich durch Einsetzen:

  $\omega=\frac {130~000\frac {km} {s}+80~000\frac {km} {s}} {1+\frac {80~000\frac {km} {s} \cdot 130~000\frac {km} {s}} {(300~000\frac {km} {s})^2}}=\frac {210~000\frac {km} {s}} {1+0,116}=188~000\frac {km} {s}$.

  Die Sonden fliegen von den außerirdischen Beobachtern aus gesehen mit einer Geschwindigkeit von rund $190~000\frac {km} {s}$. Das sind etwa $63$ Prozent der Lichtgeschwindigkeit.

• Gib das Geschwindigkeitsadditionstheorem an.

  Tipps

  Welche Geschwindigkeiten werden im Zähler addiert?

  Wie sieht der Geschwindigkeitsbruch im Nenner aus und welche Geschwindigkeit erhält dort als einzige überhaupt in der Gesamtformel einen Exponenten?

  Lösung

  Das Geschwindigkeitsadditionstheorem ist vom Aufbau her ein Doppelbruch und daher etwas kompliziert zu merken.

  Im Zähler des Hauptbruchs werden die Geschwindigkeiten $\omega'$ und $v$ schlicht addiert, die im Normalfall in den Aufgaben zum Theorem gegeben sein sollten.

  Im Nenner des Hauptbruchs sieht es etwas komplizierter aus. Er erinnert aber in der Form noch deutlich an die Zeitkoordinatenumrechnung in der Lorentztransformation, aus welcher er sich ableitet. Zu einer Eins wird dort der Bruch aus dem Produkt der Geschwindigkeiten $\omega'$ und $v$ und der Lichtgeschwindigkeit $c$ zum Quadrat addiert. Nur die Lichtgeschwindigkeit besitzt in dieser Formel einen Exponenten.

• Leite dir ab, wie groß die Abweichung zwischen klassischer und relativistischer Geschwindigkeitsaddition ist.

  Tipps

  Addiere die Geschwindigkeiten sowohl klassisch als auch relativistisch und bestimme die prozentuale Abweichung der beiden Ergebnisse.

  Lösung

  Für $v=0,100~c$ und $\omega'=0,100~c$ gilt:

  Klassisch: $\omega_K=v+\omega'=0,100~c+0,100~c=0,200~c$

  Relativistisch: $\omega_R=\frac {\omega'+v} {1+\frac {v\cdot \omega'} {c^2}}=\frac {0,100~c+0,100~c} {1+\frac {0,100~c\cdot 0,100~c} {c^2}}=\frac {0,200~c} {1+\frac {0,01~c^2} {c^2}}=\frac {0,200~c} {1,01}=0,198~c$.

  Die Abweichung beträgt somit etwa ein Prozent.

  Musst du jetzt in diesem Fall eigentlich schon relativistisch rechnen oder darfst du noch klassisch rechnen?

  Das kommt darauf an, wie genau dein Ergebnis sein soll. Rundest du das relativistische Ergebnis stärker, stimmen die beiden Berechnungen noch überein. Häufig wird aber genau an dieser Stelle, wenn ein Zehntel der Lichtgeschwindigkeit erreicht ist, die Grenze für klassisches Rechnen gesetzt. Mit Geschwindigkeiten, die noch näher an der Lichtgeschwindigkeit liegen, werden die Abweichungen immer größer. Dann ist klassisches Rechnen zu fehlerbehaftet. Generell gilt aber: Relativistisch rechnen ist immer richtig, es ist aber aufwendiger.