Lorentztransformation – Verbindung von Zeit und Ort

Hallo und herzlich willkommen bei Physik mit Kalle. Heute wollen wir uns, wieder aus der speziellen Relativitätstheorie, die Lorentztransformation genauer ansehen. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über die Minkowski-Diagramme gesehen haben. Wir lernen heute, was die Lorentztransformation ist, wie man die Zeicheneinheit e' herleiten kann, das hatte ich euch im letzten Film versprochen und natürlich, wie ich die Gleichung für die Lorentztransformation herleiten kann. Dann wollen wir mal. Mithilfe der Lorentztransformation kann ich die Koordinaten x und t eines Ereignisses in die Koordinaten (x'|t') eines anderen Inertialsystems tranformieren. Die Lorentztransformation ist also die rechnerische Funktion der Minkowski-Diagramme. Und da wir die auch gleich für die Herleitung brauchen, wollen wir einmal kurz mit der Herleitung der Zeicheneinheit e' eines beschleunigten Systems anfangen. Wir zeichnen 2 Inertialsysteme in unser Minkowski-Diagramm. Das blaue für uns, den ruhenden Beobachter und das rote, für ein relativ zu uns bewegtes System. Es soll wieder die Geschwindigkeit v=0,5c haben. e ist die Zeicheneinheit unseres blauen Koordinatensystems, also den Abstand, den wir für eine Sekunde oder Lichtsekunde auf den Achsen wählen. Messen wir von einer Sekunde aus die Zeit, dann gehen wir parallel zur x-Achse nach drüben, bis wir die t'-Achse schneiden. Dieses Dreieck wollen wir nun genauer unter die Lupe nehmen. Der Abstand zwischen t und t' entsteht durch die Relativbewegung des Koordinatensystems. Er ist e×(v/c). Nun kann ich mithilfe des Satzes des Pythagoras die Hypotenuse, die ich mal X nenne, ausrechnen. X=\sqrt(e²+e²v²/c²). Vorsicht: X ist nun noch nicht e'. Ihr erinnert euch, vom blauen System aus misst man die Zeit im roten System verlangsamt, da es sich ja relativ dazu bewegt. X ist also kleiner als e', und zwar um genau so viel, wie in der Formel der Zeitdilatation angegeben ist. X ist also e'×\sqrt(1-(v²/c²)). Setze ich diese beiden Formeln nun zusammen, erhalte ich die Formel für e'. Und sie ist: e'=e×\sqrt(1+(v²/c²))/\sqrt(1-(v²/c²)). So, soweit so gut. Nachdem wir nun den Zusammenhang zwischen e' und e kennen, wollen wir nun versuchen, die gesamten Gleichungen der Lorentztransformation herzuleiten. Wir malen uns wieder die beiden Koordinatensysteme auf, die beiden Systeme sollten sich wieder mit einer Geschwindigkeit v=0,5c relativ zueinander bewegen, und schreiben uns die Gleichungen auf, die wir dazu kennen. Diese sind: Tangens α, der Winkel zwischen den Achsen, ist gleich v/c und die Zeicheneinheit e' ist gleich e×\sqrt(1+(v²/c²))/\sqrt(1-(v²/c²)). Einen kleinen Trick müssen wir nun noch anwenden. Wir haben, wie immer, eine x- und eine t-Achse. Allerdings nehmen wir diesmal als Einheit der t-Achse auch die Lichtsekunde, das heißt, eine Entfernung. Wir wollen nun wissen, wie wir die Koordinaten eines beliebigen Ereignisses A von einem in ein anderes System transferieren können. Wir drücken also die Zeit durch eine Entfernung aus. Dies hat rechnerisch den Vorteil, dass wir als Einheit auf beiden Achsen eine Lichtsekunde nehmen können. Wir müssen nur am Ende, wenn wir die Formel für ct berechnet haben, das Ganze wieder durch die Lichtgeschwindigkeit teilen. Zuerst zeichnen wir uns mal ein, wie man die Koordinaten des Punktes in den beiden Koordinatensystemen abliest. Im blauen System benutzt man dazu natürlich die blauen Achsen. Der Abstand in x-Richtung vom Ursprung ist x × die Zeicheneinheit e, der Abstand in die ct-Richtung e×c×t. Im roten System funktioniert das genauso. Der Abstand in x-Richtung vom Ursprung ist x'×e', der Abstand in ct'-Richtung ct'×e'.Wir zeichnen nun nur noch 2 Hilfslinien ein und markieren damit 2 Hilfsdreiecke, und mit diesen werden wir die Formeln für die Lorentztransformation herleiten. x×e ist die Summe aus der kleineren Kathete unseres kleinen Hilfsdreiecks und der größeren Kathete unseres  größeren Hilfsdreiecks. Ich habe alles was ich brauche, um diese beiden Katheten auszurechnen. Ich kann also schreiben:  x×e=c×t'×e'×sinus α+x'e'cosinus α. ct×e ist die Summe aus der größeren Kathete des kleineren Hilfsdreiecks und der kleineren Kathete des größeren Hilfsdreiecks. Ich kann also schreiben: ct×e=ct'e'cosinus α+x'e'sinus α. Jetzt teile ich in beiden Gleichungen durch e und klammere auf der rechten Seite sowohl den cosinus von α, als auch e' aus. Ich erhalte x=(e'/e)×cosinus α×(ct'tangens α -denn sinus α durch cosinus α ist tangens α- +x'). ct'=(e'/e)×cosinus α×(ct'+x'+tangens α). tangens α kenne ich aus der Formel, die den Winkel zwischen den Achsen festlegt. Dafür kann ich also einfach v/c einsetzen. Die Beziehung für e'/e erhalte ich, wenn ich in der Formel für meine Zeicheneinheit einfach durch e teile. Außerdem hatten wir im letzten Kapitel mit dem Satz des Pythagoras hergeleitet, dass die in der kleinen Skizze grün markierte Strecke X gleich e×\sqrt(1+(v²/c²)) ist. X ist aber auch die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, indem ich e, also die Ankathete, kenne. Wenn ich die beiden Formeln für X gleichsetze, das e herauskürze und nach cosinus α auflöse, erhalte ich: cosinus α=1/\sqrt(1+(v²/c²)). Die Koordinate X ist also, wenn ich alles einsetze, \sqrt(1+(v²/c²))/\sqrt(1-(v²/c²))×1/\sqrt(1+(v²/c²)) für den cosinus ×(ct'×(v/c)+x'). Für ct ergibt sich: =\sqrt(1+(v²/c²))/\sqrt(1-(v²/c²))×\sqrt(1+(v²/c²))×(ct'+x'×(v/c)). Damit haben wir eigentlich alles, was wir brauchen. Die Skizze kann jetzt weg, und da wir links eh ein wenig Platz brauchen, machen wir mal sauber. Da ich keine Lust mehr habe, immer 1/\sqrt(1-(v²/c²)) zu schreiben, nenne ich diesen Faktor einfach k, man nennt das auch den Lorentzfaktor und mit dieser Abkürzung ergibt sich x=k×(ct'(v/c)+x') und für die andere Formel teile ich durch c, damit ich die Zeit wieder alleine da stehen habe. Dann steht da t=k×(ct'+x'(v/c))/c. Ich kann noch ein wenig kürzen, dann stehen die fertigen Gleichungen der Lorentztransformation da. t=k×(t'+x'×(v/c²)). Und x=k×(vt'+x'). Da wir ja nur eine Bewegung in einer Dimension beobachten, ist y=y' und z=z'. Die Rücktransformation aus dem anderen System erhalten wir durch einen Wechsel der Vorzeichen. t'=k×(t-(v/c²x)). Und x'=k×(vt-x).y' ist wieder y, und z'ist z. So, geschafft. Das sind die Gleichungen der Lorentztransformation. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Mit den Gleichungen der Lorentztransformation kann ich die Koordinaten eines Ereignisses zwischen verschiedenen Inertialsystemen hin und hertransformieren. Die Formel für die Zeicheneinheit e' ist e'=e×\sqrt(1+(v²/c²))/\sqrt(1-(v²/c²)). Die Formeln der Lorentztransformation lauten: mit der Abkürzung k, dem sogenannten Lorentzfaktor 1/\sqrt(1-(v²/c²)), t=k×(t'+(v/c²)x') und x=k×(x'+v²t'), y=y' und z=z'. Die Formeln für die Rücktransformation lauten: t'=k×(t-(v/c²)x) und x'=k×x-vt. Auch hier ist y'=y und z'=z. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank für das Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle.