Arten von Wärmekraftmaschinen

Arten von Wärmekraftmaschinen Übung

• Beschreibe den Carnot'schen Kreisprozess.

  Tipps

  Eine isotherme Zustandsänderung findet bei konstanter Temperatur statt. Die Anfangstemperatur ist also die gleiche wie die Endtemperatur.

  Bei der Expansion eines Gases wird das Volumen größer. Wie kannst du das im p-V-Diagramm ablesen?

  Bei der Kompression eines Gases wird das Volumen kleiner. Bei welchen Zustandsänderungen kannst du das im p-V-Diagramm erkennen?

  Lösung

  Ob es sich um eine Expansion oder eine Kompression des Gases handelt kann am Diagramm abgelesen werden.
  Dazu muss die Achse betrachtet werden, die das Volumen anzeigt.
  Es werden Punkte auf dem Graphen betrachtet. Je weiter weg sie vom Nullpunkt des Koordinatensystems in Richtung $V$ sind, desto größer ist das Volumen zu diesem Zeitpunkt.

  Der Prozess ist rechtslaufend, dies zeigt die Zeitkomponente an. Betrachtet man also die isotherme Expansion, dann ist das Volumen am Anfang kleiner und wird im Prozess größer.

  Die isothermen Zustandsänderungen sind zusätzlich dadurch charakterisiert, dass die Temperatur während der Zustandsänderung gleich bleibt.

• Nenne die Formel zur Berechnung des thermischen Wirkungsgrades im Carnot'schen Kreisprozess.

  Tipps

  Der Wirkungsgrad wird immer mit $\eta$ bezeichnet.

  Es gilt immer $T_1 > T_2$. Wie groß kann der Wirkungsgrad dann maximal werden?

  Wie groß kann das Ergebnis maximal werden, wenn $b \neq 0$ gilt? Es gilt dabei $a>b$.

  Um den thermischen Wirkungsgrad zu berechnen, wird die kleinere Temperatur von der Größeren abgezogen. Anschließend wird das Ergebnis durch die größere Temperatur geteilt.

  Lösung

  Der Wirkungsgrad wird immer mit $\eta$ bezeichnet. Dies gilt sowohl für den thermischen als auch für den technischen Wirkungsgrad.

  Um den thermischen Wirkungsgrad zu berechnen wird die Differenz aus der größeren und der kleineren Temperatur gebildet. Diese wird durch die größere Temperatur geteilt.
  Im Carnot'schen Kreisprozess gilt immer $T_1>T2$.
  Somit folgt für den thermischen Wirkungsgrad:
  $\eta = \dfrac{T_1-T_2}{T_1}$.

  Dies kann man etwas umformen:
  $\eta = \dfrac{T_1}{T_1}-\dfrac{T_2}{T_1}=1-\dfrac{T_2}{T_1}$.

  Da $T_1 > T_2$ gilt ist der zweite Summand in jedem Fall kleiner als Eins. Da $T_2 \neq 0$ wird er nicht null.
  $\eta$ ist somit immer kleiner als eins.

• Erkläre den Unterschied zwischen thermischen und technischen Wirkungsgraden.

  Tipps

  Der thermische Wirkungsgrad wird mithilfe der höchsten und der niedrigsten, im Prozess vorkommenden Temperatur berechnet.

  Der technische Wirkungsgrad berechnet sich aus dem Quotienten von geleisteter und reingesteckter Arbeit. Er bezieht sich also auf das, was in der Realität geleistet wird.

  Mit dem Index können Größen unterschieden werden, die dieselbe Basisgröße haben.

  In der Realität läuft ein Prozess nie ohne Energieverluste ab. Dazu gehört zum Beispiel die Reibung.

  Lösung

  Der thermische Wirkungsgrad wird mithilfe der höchsten ($T_1$) und der niedrigsten, im Prozess vorkommenden Temperatur ($T_2$) berechnet.
  Er wird manchmal auch Carnot-Wirkungsgrad genannt, denn er bezieht sich auf den Carnot'schen Kreisprozess.
  Dieser gibt eine ideale Wärmekraftmaschine ohne Energieverluste wieder.

  Der thermische Wirkungsgrad ist also der höchstmögliche Wirkungsgrad. Er wird in der Realität nicht erreicht, denn es werden keine Reibungskräfte einbezogen. Diese kommen in der Realität aber immer vor. Auch andere Energieverluste kommen noch hinzu.

  All dies findet Beachtung im technischen Wirkungsgrad. Dieser gibt also einen tatsächlichen, real erreichbaren Wirkungsgrad an. Er berechnet sich aus dem Quotienten von geleisteter und zugeführter Arbeit.

  Da hier die Energieverluste mit bewertet werden, ist der technische immer kleiner als der thermische Wirkungsgrad.
  Beide Wirkungsgrade sind kleiner als eins.

• Erkläre, warum ein Wirkungsgrad immer kleiner als eins ist.

  Tipps

  Es gilt immer $\eta_c > \eta_{tech}$. Was folgt dann direkt, wenn gezeigt wird, dass $\eta_c<1$ gilt?

  Forme den thermischen Wirkungsgrad in eine Form um, in der leichter zu erkennen ist, wie groß das Ergebnis ist.

  Brüche können auseinander gezogen werden. Was ergibt eine Zahl geteilt durch sich selbst immer?

  Lösung

  Es gilt immer $\eta_c > \eta_{tech}$.
  Somit muss nur gezeigt werden, dass der thermische Wirkungsgrad kleiner als eins ist. Daraus folgt automatisch, dass beide Wirkungsgrade kleiner als eins sind.

  Zuerst wird dazu der Bruch in der Formel des thermischen Wirkungsgrades in zwei Brüche geteilt. Da eine Zahl geteilt durch sich selbst immer eins ergibt, kann dies ersetzt werden.
  Weiter gilt als Voraussetzung $T_2<T_1$ und $T_2\neq 0$.

  Damit folgt:
  $0<\frac{T_2}{T_1}<1$, denn der Bruch könnte nur für $T_2=0$ auch null werden. Wenn der Nenner größer ist als der Zähler, ist das Ergebnis immer kleiner als eins.

  Somit folgt insgesamt
  $0<1-\frac{T_2}{T_1}<1$, denn der Term würde null werden für $\frac{T_2}{T_1}=1$ und eins für $\frac{T_2}{T_1}=0$, was beides nicht möglich ist.

• Nenne die technischen Wirkungsgrade verschiedener Wärmekraftmaschinen.

  Tipps

  Dampfmaschinen haben einen eher geringen technischen Wirkungsgrad. Die Dampfpumpe, die Kolbendampfmaschine und auch die Dampflokomotive sind Dampfmaschinen. Dabei haben die zuerst entwickelten Dampfmaschinen in der Regel einen geringeren Wirkungsgrad.

  Der Heißluftmotor könnte in der Zukunft wieder interessant werden. Warum und welchen Wirkungsgrad könnte er dann haben?

  Die technischen Wirkungsgrade von Otto- und Dieselmotor sind aus der Automobilbranche gut bekannt. Hierbei hat der Dieselmotor einen höheren technischen Wirkungsgrad. Sind die Wirkungsgrade vermutlich eher hoch oder eher gering?

  Lösung

  Dampfmaschinen haben den geringsten technischen Wirkungsgrad.
  Die Dampfpumpe, die Kolbendampfmaschine und auch die Dampflokomotive sind Dampfmaschinen.
  Dabei haben die zuerst entwickelten Dampfmaschinen in der Regel einen geringeren Wirkungsgrad.
  Währen sich die Dampfpumpe noch im Promille-Bereich bewegt, konnte Watt mit seiner Kolbendampfmaschine schon technische Wirkungsgrade von ungefähr $3~ \%$ erreichen.
  Gute Dampflokomotiven, auch Dampfmaschinen, kommen schon deutlich darüber hinaus.

  Dennoch ist der Wirkungsgrad zu gering, um in unserer jetzigen Zeit noch sinnvoll genutzt zu werden.

  Der Heißluftmotor hat dagegen schon einen deutlich höheren Wirkungsgrad. Diese Anwendung könnte deswegen in naher Gegenwart wieder interessant werden.

  Die technischen Wirkungsgrade von Verbrennungskraftmaschinen sind wegen ihrer häufigen Anwendung in unser aktuellen Zeit recht genau bekannt.
  Dabei kommt der Dieselmotor am besten weg. Er hat von den genannten Wärmekraftmaschinen den höchsten Wirkungsgrad.

• Erkläre den Carnot'schen Kreisprozess.

  Tipps

  Das ideale Gasgesetz stellt einen Zusammenhang zwischen Druck, Volumen, Teilchenzahl und Temperatur her. Wird das Volumen größer, dann würden Druck und Temperatur fallen. Wie kann die Temperatur konstant gehalten werden?

  Wie verhält sich das Volumen, wenn der Kolben nach oben oder unten bewegt wird?

  Wärme wird immer vom wärmeren zum kälteren Medium übertragen. Welche Rolle spielen das warme und das kalte Reservoir?

  Lösung

  Den Carnot-Prozess kann man sich so vorstellen, dass ein Gas wechselseitig mit einem Wärmereservoir mit konstant warmer und einem Kältereservoir mit konstant kalter Temperatur in Kontakt stehen.
  Zur restlichen Zeit ist alles thermisch isoliert, dann kann also keine Wärme entweichen oder hinzukommen.

  Die Wechselwirkung zwischen Temperatur, Druck und Volumen eines Gases ergibt sich aus dem idealen Gasgesetz:
  $p \cdot V= N \cdot k_B \cdot T$.
  Wenn das Volumen sich ändert, ändern sich auch Druck und Volumen.

  Bei der isothermen Expansion wird der Kolben nach unten bewegt. Das Volumen wird somit größer. Das Gas ist dem Wärmereservoir ausgesetzt, es wird dem Gas dadurch Wärme zugeführt. Da das Volumen steigt und der Druck sinkt, bleibt die Temperatur jedoch konstant. Es wird hier Arbeit verrichtet.

  Bei der adiabaten Expansion ist die Umgebung isoliert. Das Volumen wird auch hier weiter vergrößert. Somit fallen Druck und Temperatur. Die Temperatur verändert sich von $T_1$ zu $T_2$ mit $T_1>T_2$.

  Bei der isothermen Kompression verhält es sich andersherum. Hier muss Arbeit investiert werden.
  Das Volumen wird verkleinert, deswegen müssten Druck und Temperatur steigen. Mit dem Kältereservoir wird das Gas aus einer konstanten Temperatur gehalten. Das Kältereservoir entzieht dem Gas hierbei die überschüssige Wärme.

  Bei der adiabaten Kompression wird das Volumen weiter verkleinert. Druck und Temperatur steigen dabei. Die Temperatur ändert sich von $T_2$ zu $T_1$ und es wurde wieder der Anfangspunkt des Kreisprozesses erreicht.