Auftrieb in Gasen

Auftrieb in Gasen Übung

• Nenne das Archimedische Gesetz für Gase in Wort- und Formelschreibweise.

  Tipps

  Auftrieb erfährt ein Körper in einem Medium, weil er dieses Medium mit seinem Volumen verdrängt.

  Eine Gewichtskraft besitzt ein Stoff wegen der Erdanziehung, die auf ihn aufgrund seiner Masse wirkt.

  In welche Richtung wirken diese beiden Kräfte und was gilt nach Archimedes für ihre Beträge?

  Lösung

  In Worten zusammengefasst gilt nach Archimedes für die Auftriebskraft eines Körpers in einem Gas:

  Der Betrag der Auftriebskraft ${F_A}$, die auf einen Körper wirkt, ist so groß wie der Betrag der Gewichtskraft ${F_G}$, die auf die verdrängte Gasmenge wirkt.

  Dies lässt sich auch als Formel zusammenfassen: $\left| F_A \right|=\left| F_G \right|$.

  Die Auftriebskraft eines Körpers in einem Gas ist also umso höher, je mehr Gasvolumen er verdrängt und je dichter das Gas ist, das er verdrängt.

  Bei so einer beeindruckenden Erkenntnis kann man schon mal sehr euphorisch werden. Vielleicht springst du aber besser nicht nackt auf die Straße, wenn du das nächste Mal einen guten Einfall in der Badewanne hast. Ob Archimedes damals festgenommen wurde oder nicht, ist in der Legende nicht überliefert.

• Fasse zusammen, unter welchen Bedingungen Körper in Gasen steigen, schweben oder sinken.

  Tipps

  Ergänze zunächst die drei Spalten im Tabellenkopf mit den jeweils passenden Begriffen Schweben, Sinken und Steigen.

  In die rechte Spalte kommt die Bewegungsart des Körpers, bei der die Gewichtskraft des Körpers kleiner ist als die Auftriebskraft, die auf den Körper wirkt.

  In die mittlere Spalte kommt die Bewegungsart des Körpers, bei der die Gewichtskraft des Körpers gleich groß ist wie die Auftriebskraft, die auf den Körper wirkt.

  Ergänze dann die Tabellenlücken mit den passenden Aussagen zu den Kräften und Dichten für jede der drei Bewegungsarten.

  Lösung

  Über die Kräfte lässt sich das Steigen, Schweben und Sinken wie folgt erklären:

  Ist die nach oben gerichtete Auftriebskraft kleiner als die nach unten gerichtete Gewichtskraft $\left| F_G \right|~>~\left| F_A \right|$, so sinkt der Körper. Sind beide Kräfte gleich groß $\left| F_G \right|~=~\left| F_A \right|$, so schwebt der Körper. Und ist aber die Auftriebskraft größer als die Gewichtskraft des Körpers $\left| F_G \right|~<~\left| F_A \right|$, so wird der Körper steigen. Letzteres ist bei den roten Nachrichtenluftballons der Fall: Sie steigen, weil ihre Auftriebskraft größer ist als die Gewichtskraft, die auf sie wirkt.

  Genauso gut kannst du das Steigen, Schweben und Sinken auch über die (mittleren) Dichten des Körpers und der Umgebung erklären:

  Ist die Dichte des Körpers größer als die Dichte des umgebenden Gases $\rho_K~>~\rho_G$, sinkt der Körper. Sind die Dichten hingegen gleich $\rho_K~=~\rho_G$, schwebt der Körper. Und ist die Dichte des Körpers kleiner als die Dichte des Gases $\rho_K~<~\rho_G$, so steigt der Körper ebenfalls. Letzteres ist bei den roten Nachrichtenluftballons der Fall - sie sind mit dem Gas Helium gefüllt, das weniger dicht ist als die Umgebungsluft.

• Erschließe dir das Auftriebsverhalten eines Luftballons für verschiedene Gase.

  Tipps

  Sortiere dir die Gase der Dichte nach (zum Beispiel von Stickstoff bis Xenon).

  Ein Ballon, der mit einem Gas gefüllt ist, das weiter vorne in der dieser Auflistung auftaucht als das Umgebungsgas, steigt. Umgekehrt sinkt er hingegen.

  Auf welchen zwei Wegen können schwebende Ballons erzeugt werden?

  Lösung

  Die gegebenen Gase können zur besseren Übersichtlichkeit ihrer Dichte nach sortiert werden. Ich beginne hier mit dem Gas der geringsten Dichte:

  Stickstoff ($N_2$) $\to$ Sauerstoff ($O_2$) $\to$ Kohlenstoffdioxid ($CO_2$) oder Lachgas ($NO_2$)

  $\to$ Propan ($C_3H_8$) $\to$ Xenon ($Xe$).

  Füllt man den Ballon mit einem Gas niedrigerer Dichte als die Umgebung, so steigt der Ballon, weil $\rho_{Gas, innen}~<~\rho_{Gas, außen}$. Das Füllungsgas befindet sich dabei weiter vorn in der gezeigten Auflistung. Dies trifft zum Beispiel auf einen Stickstoffballon in Sauerstoffumgebung zu:

  $\rho_{N_2}=\rho_{Gas, innen}=1,25\frac {kg} {m^3}~<~\rho_{O_2}=\rho_{Gas, außen}=1,43\frac {kg} {m^3}$.

  Umgekehrt sinkt der Ballon, wenn er mit einem Gas höherer Dichte gefüllt ist als die Dichte seiner Umgebung. Es gilt $\rho_{Gas, innen}~>~\rho_{Gas, außen}$, das Füllgas steht also weiter rechts in der Auflistung als das Umgebungsgas. Dies trifft unter anderem auf das Beispiel Propanballon in Stickstoff zu:

  $\rho_{C_3H_8}=\rho_{innen}=2,02\frac {kg} {m^3}~>~\rho_{N_2}=\rho_{außen}=1,25\frac {kg} {m^3}$.

  Um den Ballon zum Schweben zu bringen, gibt es hier zwei Möglichkeiten: Entweder du füllst einen Ballon mit dem selben Gas, das sich in seiner Umgebung befindet wie hier im Beispiel Lachgas. Oder du verwendest zwei Gase mit sehr ähnlichen Dichten wie Kohlenstoffdioxid und Lachgas. Dann sind die Dichten (näherungsweise) identisch $\rho_{Gas, innen}~=~\rho_{Gas, außen}$.

• Sage die zu erwartenden Versuchsergebnisse voraus.

  Tipps

  Beachte die unterschiedliche Gasfüllung der sonst identischen Kugeln.

  Durch das Evakuieren wirkt eine Kraft nicht mehr auf die beiden Kugeln. Wie groß war sie jedoch vor dem Evakuieren?

  Lösung

  Die Balkenwaage neigt sich sowohl vor dem Evakuieren als auch im luftleeren Raum stets zur Seite mit der blauen Kugel. Sie verändert ihre Position während der gesamten Versuchsdurchführung nicht.

  Bevor die Umgebungsluft um den Versuchsaufbau abgepumpt wird, stellt sich die Situation so dar: An der Balkenwaage hängen in gleichen Abständen zwei Kugeln. Die Kugeln sind baugleich, haben also das gleiche Volumen und dieselbe Glasummantelung. Nur in der Füllung unterscheiden sie sich: Die Füllung mit der weniger dichten Gasmenge ist leichter als die Füllung mit der dichteren Gasmenge. Die blaue Kugel besitzt daher eine größere Masse und neigt die Balkenwaage in ihre Richtung.

  Nach dem Abpumpen der Luft hat sich an der Ausrichtung der Balkenwaage nichts geändert. Die Auftriebskraft, die vorher auf beide Glaskugeln durch die Umgebungsluft gewirkt hat, existiert im Vakuum nicht mehr. Sie war jedoch bei beiden Kugeln identisch, da diese das gleiche Volumen besitzen und somit auch die gleiche Luftmenge verdrängen können. Auf beiden Seiten der Balkenwaage reduzieren sich somit die wirkenden Kräfte durch das Evakuieren um den gleichen Betrag. Daher ändert sich die Ausrichtung der Waage nicht.

  Zum Nachweis der Auftriebskraft in Gasen ist dieser Versuchsaufbau also nicht geeignet. Dafür müssen sich die Auftriebskräfte der beiden verwendeten Gewichte unterscheiden. Sie dürfen nicht das gleiche Volumen besitzen.

• Gib an, warum ein heliumgefüllter Luftballon in den Himmel aufsteigt.

  Tipps

  Unter welcher allgemeinen Bedingung steigt ein Körper in einem Gas auf?

  Wie sieht diese Bedingung in Bezug auf das genannte Beispiel aus?

  Lösung

  Ein Luftballon steigt in Luft nach oben, wenn seine Dichte im Innern geringer ist als die Dichte der (äußeren) Umgebung: $\rho_{Gas, außen}>\rho_{Gas, außen}$ oder $\rho_{Gas, innen}<\rho_{Gas, außen}$. Dies ist der Fall bei einem heliumgefüllten Ballon, für den gilt: $\rho_{Helium}<\rho_{Luft}$.

  Die Dichte von Helium liegt mit rund $0,18\frac {kg} {m^3}$ sogar deutlich unter der Dichte von Luft von rund $1,30\frac {kg} {m^3}$ . Daher ist es möglich, einen Heliumballon mit einem (kleinen) zusätzlichen Gewicht wie einer Postkarte zu beschweren, ohne seine Flugfähigkeit zu stark zu mindern.

  Leider hat selten jemand so eine Heliumgasflasche bei sich zu Hause rumstehen. Und bis zum nächsten Fest, bei dem mal wieder heliumgefüllte Ballons an kleine und große Kinder verteilt werden, dauert es wohl noch ein bisschen. Bis dahin könnte ich ja mal probieren, einen luftgefüllten Ballon zum Steigen zu bringen, das geht doch bestimmt auch irgendwie: Wärmere Luft hat eine geringere Dichte als kühle Luft, auch wenn der Ballon damit vielleicht keine Postkarte davontragen kann. Oder begebe ich mich lieber gleich selbst auf die Reise: Dafür nehme ich wohl dann doch lieber einen Ballon eine Nummer größer: den Heißluftballon. Hier steige ich, weil die heiße Luft im Ballon eine geringere Dichte hat als die kühlere Luft in seiner Umgebung.

• Ermittle die Auftriebskraft eines Heißluftballons.

  Tipps

  Achtung! Mit welcher der beiden gegebenen Dichten musst du hier rechnen, um die Auftriebskraft, die betragsmäßig der Gewichtskraft der verdrängten Luft entspricht, zu bestimmen?

  Lösung

  Um die Auftriebskraft des Ballons zu berechnen, muss die Gewichtskraft der verdrängten Luft, also der kalten Umgebungsluft, bestimmt werden. In die Formel muss also die Dichte der kalten Luft eingesetzt werden. Dann erhält man:

  Gegeben:

  $V=2~500~m^3$

  $\rho=1,29\frac {kg} {m^3}$

  $g=9,81\frac {m} {s^2}$

  Gesucht:

  $F_A$

  Lösung:

  $F_A=V\cdot \rho\cdot g=2~500~m^3\cdot 1,29\frac {kg} {m^3}\cdot 9,81\frac {m} {s^2}=31~600~N=31,6~kN$

  Die Auftriebskraft des Heißluftballons beträgt rund $32~kN$. Um zu steigen, muss diese Auftriebskraft zum einen die Gewichtskraft der weniger dichten eingeschlossenen Luft kompensieren, das Gewicht von Ballonhaut, Korb und Ausrüstung sowie der Passagiere. Aber für einen Ballonfahrer sollte dieser Heißluftballon ohne Probleme ausreichend sein.