Mechanische Wellen (Übungsvideo)

Mechanische Wellen (Übungsvideo) Übung

• Gib die Kenngrößen der Wellen an.

  Tipps

  Eine der Größen ist meist dem Tafelwerk zu entnehmen.

  Eine Welle transportiert Energie.

  Lösung

  Um eine mechanische Welle komplett zu beschreiben, sind mehrere Eigenschaften relevant:

  Amplitude $y_{max}$ Die Amplitude beschreibt die maximale Auslenkung einer Schwingung aus der Ruhelage. Je größer die Amplitude ist, desto mehr wird ein Schwinger in Bezug auf seine Ruhelage ausgelenkt.

  Periodendauer $T$ Die Periodendauer gibt an, wie viel Zeit vergeht, ehe ein Schwinger eine komplette Schwingung durchlaufen hat. Eine Welle mit großer Wellenlänge und langsamer Ausbreitungsgeschwindigkeit nimmt dabei sehr viel größere Werte für $T$ an, als eine Welle mit einer geringen Wellenlänge und einer hohen Geschwindigkeit.

  Frequenz $f$ Die Frequenz ist als der Kehrwert der Periodendauer definiert. Diese wird in $Hz$ angegeben, wobei $ 1 Hz = \frac{1 \text{Vorgang}}{s} $ ist.

  Wellenlänge $\lambda$ Die Wellenlänge gibt die Strecke an, die eine Welle innerhalb einer kompletten Schwingung zurücklegt. Es gilt der Zusammenhang $ \lambda = T \cdot v$.

  Ausbreitungsgeschwindigkeit $v$ Die Ausbreitungsgeschwindigkeit beschreit, wie schnell sich eine Welle durch den Raum bewegt. Diese ist in der Regel aus einem Tafelwerk zu entnehmen, da unterschiedliche Wellen sich in unterschiedlichen Medien unterschiedlich schnell ausbreiten. Eine Lichtwelle etwa breitet sich im Vakuum mit $ v = 3 \cdot 10^8 \frac{m}{s}$ sehr viel schneller aus als eine Schallwelle in der Luft mit $ v = 340 \frac{m}{s}$.

• Berechne die Frequenz.

  Tipps

  $ v = \lambda \cdot f $

  $\frac{v}{\lambda}= f$

  Lösung

  Um die Frequenz einer Welle aus bekannter Wellenlänge $\lambda$ und ebenfalls bekannter Ausbreitungsgeschwindigkeit $v$ zu berechnen, benutzen wir die Formel $ v = \lambda \cdot f $.

  Da wir jedoch nicht die Geschwindigkeit $v$, sondern die Frequenz $f$ suchen, müssen wir die Formel zunächst einmal umstellen.

  Wir dividieren durch $\lambda$ und erhalten $\frac{v}{\lambda}= f$.

  Nun können wir die gegebenen Werte einsetzen :

  $ f = \frac{1480 \frac{m}{s}}{2,96 m} =500 \frac{1}{s} = 500 Hz$.

  Die Frequenz der Welle beträgt $500 Hz$.

• Zeige die Kenngrößen der Welle.

  Tipps

  Die Wellenlänge ist eine Funktion des Ortes.

  Die Amplitude bezeichnet die maximale Auslenkung einer Schwingung.

  Die Ruhelage wird immer wieder passiert.

  Lösung

  Das Diagramm einer Schallwelle verrät vieles über die Eigenschaften einer Welle.

  In unserem Beispiel soll der Schalldruck $p$ als eine Funktion der Zeit $t$ angegeben werden, wir betrachten also ein $p(t)$-Diagramm.

  Wir können etwa die Amplitude $y_{max}$ leicht ablesen. Diese kennzeichnet die größte Auslenkung der Welle aus ihrer Ruhelage und ist damit stets der Hoch - oder Tiefpunkt der Schwingung.

  Auch die Periodendauer $T$ können wir leicht ablesen. Diese ist die Stecke, die auf der $t-Achse$ innerhalb einer Schwingung überschritten wird.

  Die Wellenlänge $\lambda$ hingegen ist nicht direkt aus einem $p(t)$-Diagramm ablesbar. Diese ist nämlich eine Funktion des Ortes $x$. Um $\lambda$ abzulesen, ist also eine Funktion $p(x)$ notwendig.

• Berechne die fehlenden Größen.

  Tipps

  $ f = \frac{1}{f} $

  $ v = \lambda \cdot f$

  Einsetzen liefert : $ v = \lambda \cdot \frac {1}{T}$

  Lösung

  Um die Zusammenhänge zwischen den Welleneigenschaften zu berechnen, benutzen wir zwei unterschiedliche Formeln.

  Die Frequenz $ f$ ist als der Kehrwert der Periodendauer $T$ definiert, sodass $ f = \frac{1}{f} $ gilt.

  Die Ausbreitungsgeschwindigkeit $v$ einer Welle ist über das Produkt aus Wellenlänge $\lambda$ und Frequenz $ f$ berechenbar. Es gilt $ v = \lambda \cdot f$.

  Durch Umstellen lassen sich die verschiedenen Größen nun einzeln berechnen. Da wir $ f = \frac{1}{T} $ in $ v = \lambda \cdot f $ einsetzen können, besteht zudem die Möglichkeit, die Wellenlänge und die Ausbreitungsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Periodendauer $T$ zu berechnen.

  Betrachten wir ein Beispiel. Die Periodendauer einer Welle betrage $ T = 0,01 s$. Ebenfalls gegeben ist die Wellenlänge $ \lambda = 3,4 m $.

  Zunächst wollen wir die Frequenz errechnen. Mit $ f = \frac{1}{T}$ und $t = 0,01s$ ergibt sich $ f = \frac{1}{0,01 s} = 100 Hz$.

  Nun wollen wir die Ausbreitungsgeschwindigkeit berechnen. Setzen wir also $ f = 100 Hz$ und $\lambda = 3,4 m$ in $v = \lambda \cdot f$ ein, so erhalten wir $ v = 3,4 m \cdot 100 Hz = 340 \frac{m}{s}$.

  Die Welle mit $T = 0,01s $ und $\lambda = 3,4 m$ breitet sich also mit $v = 340 \frac{m}{s}$ bei einer Frequenz $ f = 100 Hz$ aus.

  Wir vergleichen mit den Werten, die im Tafelwerk gegeben sind, und können vermuten : Es handelt sich wohl um eine Schallwelle in der Luft.

• Gib die Periodendauer an.

  Tipps

  Die Periodendauer $T$ ist der Kehrwert der Frequenz $f$.

  $ 1 kHz = 1.000 Hz$

  Lösung

  Der Zusammenhang zwischen Periodendauer und Frequenz ist leicht zu beschreiben.

  Die Periodendauer $T$ ist der Kehrwert der Frequenz $f$.

  Das kannst du auch schon an den Einheiten sehen. Die Periodendauer wird in $s$ angegeben und die Frequenz in $ Hz$, wobei $ 1Hz = \frac{1}{1s} $.

  Wenn etwas einmal pro Sekunde* passiert, so hat es die Frequenz $ 1Hz$.

  Wirfst du eine Münze einmal alle zwei Sekunden hoch, ehe du sie fängst und wieder hochwirfst, so können wir die Periodendauer und Frequenz dieses Vorgang bestimmen.

  Da alle zwei Sekunden ein Vorgang stattfindet, ist $ T = 2 s $. Daraus lässt sich ableiten: $ f = \frac{1}{T} = 0,5 Hz$.

  Bei einer Welle betrachtet man als Periodendauer die Zeit, in der ein Schwinger/Vorgang eine komplette Schwingung/Durchgang vollführt.

  Hier sind die Frequenzen oft sehr viel höher als $0,5 Hz$. Die Berechnung erfolgt jedoch nach dem selben Muster.

  Haben wir etwa $ 1 kHz = 1.000 Hz$ gegeben, so setzen wir ein und erhalten $T = \frac{1}{1.000 \frac{1}{s}} = 1 \cdot 1^{-3} s$.

  Die Periodendauer einer Welle, deren Frequenz $1kHz$ beträgt, ist also $ T = 1 ms$.

• Analysiere die Beziehung der Wellenkenngrößen untereinander.

  Tipps

  $ v = \lambda \cdot f $

  $ f = \frac{1}{T}

  Lösung

  Um die Zusammenhänge zwischen den Kenngrößen der mechanischen Welle qualitativ zu bewerten, ist es hilfreich, die Formeln genauer zu betrachten.

  Aus $ f = \frac{1}{T} $ ist direkt ersichtlich, dass die Periodendauer der Kehrwert der Frequenz ist. Damit muss bei einer geringen Frequenz eine große Periodendauer und bei großer Frequenz eine geringe Periodendauer vorliegen. Dieser Zusammenhang gilt auch umgekehrt.

  Der Zusammenhang zwischen Ausbreitungsgeschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz ist definiert als $ v = \lambda \cdot f $. Damit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit also umso größer, je größer die Wellenlänge ist.

  Setzen wir nun $ f = \frac{1}{T} $ ein, so erhalten wir $ v = \lambda \cdot \frac{1}{T} = \frac{\lambda}{T} $. Wie du siehst, wird die Ausbreitungsgeschwindigkeit dann große Werte annehmen, wenn die Periodendauer $T$ gering ist.

  Stellen wir die Formel nach $\lambda$ um, ergibt sich $ \lambda = v \cdot T $. Wir können ablesen, dass die Wellenlänge groß sein muss, wenn sowohl die Umlaufdauer als auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit groß sind.

  Wie groß die maximale Auslenkung, also die Amplitude der Welle ist, spielt dabei für die Periodendauer, Frequenz, Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit nicht direkt eine Rolle. Beziehen wir die Amplitude jedoch mit in unsere Betrachtung ein, können wir auch eine Aussage über die Energie der Welle machen.