Plattenkondensator – Lade- und Entladevorgang

Plattenkondensator – Lade- und Entladevorgang Übung

• Beschreibe Lade- und Entladevorgang beim Plattenkondensator qualitativ.

  Tipps

  Erinnere dich daran, was die freien Ladungsträger in einem Leiter sind.

  Ein Überschuss an Elektronen führt zu einer negativen Gesamtladung, ein Defizit an Elektronen zu einer positiven Gesamtladung.

  Ein Widerstand verringert den Stromfluss.

  Lösung

  Beim Laden und Entladen wird ein Widerstand mit dem Kondensator in Reihe geschaltet, um die Stromstärke zu begrenzen. Bei einer zu hohen Stromstärke könnten Stromquelle, Kondensator oder Leiter beschädigt werden.

  Zum Laden des Kondensators wird eine Spannung benötigt. Diese wird von einer Gleichstromquelle geliefert. Es gibt also einen Strom im Leiter: Die freien Ladungsträger, die Elektronen, fließen aus einer der Platten ab und in die andere Platte hinein. In einer Platte kommt es also zum Überschuss in der anderen Platte zum Defizit von Elektronen. Elektronen sind negativ geladen. Daher trägt die Platte mit dem Überschuss an Elektronen insgesamt eine negative Ladung und die Platte mit dem Defizit an Elektronen eine positive Ladung.

  Beim Entladen werden die beiden Platten einfach über den Widerstand verbunden, das heißt, sie werden kurzgeschlossen. Nun kommt es zu einem Strom von der negativ geladenen Platte zur positiv geladenen Platte.

• Beschreibe Lade- und Entladevorgang beim Plattenkondensator quantitativ.

  Tipps

  Erinnere dich daran, wie bei einem Plattenkondensator im geladenen und im ungeladenen Zustand die freien Ladungsträger, die Elektronen, verteilt sind.

  Was brauchst du, damit ein Strom fließen kann?

  $Q_{(t)}$ beschreibt die Ladung des Kondensators zum Zeitpunkt $t$. Setze für $t$ einmal $0$ und einmal eine sehr große Zahl ein.

  Lösung

  Ein Plattenkondensator besteht aus zwei parallelen Metallplatten. Im ungeladenen Zustand sind diese neutral. Im geladenen Zustand befinden sich auf einer der Platten mehr und auf der anderen weniger Elektronen als im neutralen Zustand. Um diesen Zustand zu erreichen, muss eine Spannungsquelle an den Plattenkondensator angeschlossen werden. Durch die Spannung bewegen sich die Elektronen aus der einen Platte zum Pluspol der Spannungsquelle und es bewegen sich Elektronen vom Minuspol der Spannungsquelle zur anderen Platte.

  Beim Entladen verbindet man einfach die beiden unterschiedlich geladenen Platten. Man schließt den Plattenkondensator kurz. Dann gleichen die Ladungen sich aus. Damit der Strom nicht zu groß wird und den Kondensator oder die Leitungen zerstört, schließt man noch einen Widerstand zum Plattenkondensator in Reihe.

  Beim Entladen wird die Ladung auf dem Plattenkondensator also kleiner und beim Laden wird sie größer. Genau so verhält sich also auch die Spannung zwischen den beiden Platten: Beim Entladen wird sie kleiner und beim Laden wird sie größer: Dadurch findest du heraus, welcher der Graphen für den Entladevorgang und welcher für den Ladevorgang steht.

  Setzen wir $t=0$ in die Formel $Q_{(t)}=Q_0\cdot e^{-\frac{t}{R\cdot C}}$ ein, sehen wir, dass $Q_{(0)}=Q_0$. Für ein sehr großes $t$ wird die e-Funktion sehr klein. Die Ladung wird also immer kleiner. Daraus folgt, dass diese Formel den Entladevorgang beschreibt. Entsprechend kannst du auch Werte für $t$ in die zweite Formel einsetzen und sie interpretieren.

• Interpretiere die Formeln für den Lade- und Entladevorgang eines Plattenkondensators.

  Tipps

  Der Widerstand wird in den Formeln mit $R$ und die Kapazität mit $C$ bezeichnet.

  Überlege dir genau, wie die e-Funktion sich verhält, wenn ihr Argument wächst oder fällt.

  Wie verhält sich das Argument $-\frac{t}{R\cdot C}$ für festes $t$ und festes $R$, wenn C wächst?

  Wie verhält sich das Argument $-\frac{t}{R\cdot C}$ für festes $t$ und festes $C$, wenn R wächst?

  Lösung

  Aus der Formel für den Ladevorgang sieht man, dass am Anfang des Ladevorgangs die Ladung $Q_{(t=0)}=0$ und am Ende $Q_{(t=\infty)}=Q_0$ beträgt.

  Aus der Formel für den Entladevorgang sieht man, dass am Anfang des Entladevorgangs die Ladung $Q_{(t=0)}=Q_0$ und am Ende $Q_{(t=\infty)}=0$ beträgt.

  Das Argument der e-Funktion in beiden Formeln ist $-\frac{t}{R\cdot C}$. Für konstante Zeit $t$ und konstanten Widerstand $R$ wird es größer, wenn die Kapazität $C$ wächst. Für konstante Zeit $t$ und konstante Kapazität $C$ wird es größer, wenn der Widerstand $R$ wächst.

  Der Funktionswert der e-Funktion ist umso größer, je größer ihr Argument ist. Dieses Verhalten nennt sich streng monoton wachsend.

  Wenn ich den Widerstand also vergrößere, wächst das Argument der e-Funktion und somit auch ihr Funktionswert. Aus der Formel für den Entladevorgang $Q_{(t)}=Q_0\cdot e^{-\frac{t}{R\cdot C}}$ sehen wir, dass $Q_{(t)}$ in diesem Fall größer wird. Es ist also im selben Zeitraum $t$ weniger Ladung aus dem Kondensator geflossen.

  Analog kannst du auch die weiteren drei Aufgaben lösen.

  Die Formeln sind beide unabhängig von der Spannung $U$. Daraus ergibt sich, dass die Geschwindigkeit von Lade- und Entladevorgang unabhängig von der Spannung ist.

• Wende die Formeln für den Entladevorgang und den Ladevorgang richtig an.

  Tipps

  Was ist das Produkt von Widerstand und Kapazität und wo kommt es in den Formeln vor?

  Die Eulersche Zahl $e$ ist rund 2,718.

  Lösung

  Die Formel für den Ladevorgang ist $Q_{(t)}=Q_0\cdot (1-e^{-\frac{t}{R\cdot C}})$ und die Formel für den Entladevorgang ist $Q_{(t)}=Q_0\cdot e^{-\frac{t}{R\cdot C}}$.

  Gegeben sind $Q_0=3\,C$, $R=5\,\frac{C}{V}$ und $R=0,2\,\Omega$. $\Omega$ ist gleich $\frac{V}{A}$. Und Ampere ist Coulomb pro Sekunde, also $\Omega=\frac{Vs}{C}$. Dann ist $C\cdot R=5\,\frac{C}{V}\cdot 0,2 \,\frac{Vs}{C}=1\,s$.

  Wir erhalten also für den Ladevorgang $Q_{(t)}=3\,C\cdot(1-e^{-\frac{t}{1\,s}})$ und für den Entladevorgang $Q_{(t)}=3\,C\cdot e^{-\frac{t}{1\,s}}$.

  Bei dieser Übung müssen diese Formeln richtig angewendet werden. Im Folgenden gehe ich die genannten Fälle durch und zeige dir, wie du zum Ergebnis kommst.

  Bei $t=0$ ist der Kondensator vollständig geladen. Der Entladevorgang läuft bis $t=5\,s$. Wir setzen also in die Formel für den Entladevorgang ein und erhalten:

  $Q_{(t)}=3\,C\cdot e^{-\frac{5\,s}{1\,s}}=3\,C\cdot e^{-5}=3\cdot e^{-5}\,C$.

  Bei $t=0$ ist der Kondensator ungeladen. Der Ladevorgang läuft bis $t=2\,s$. Wir setzen in die Formel für den Ladevorgang ein und erhalten:

  $Q_{(t)}=3\,C\cdot(1-e^{-\frac{2\,s}{1\,s}})=3\,C\cdot(1-\frac{1}{e^2})$.

  Bei $t=0$ ist der Kondensator vollständig geladen. Der Entladevorgang läuft bis $t=1\,s$. Wir setzen in die Formel für den Entladevorgang ein und erhalten:

  $Q_{(t)}=3\,C\cdot e^{-\frac{1\,s}{1\,s}}=\frac{3}{e}\,C\approx 1,1\,C$.

  Bei $t=0$ ist der Kondensator ungeladen. Der Ladevorgang läuft bis $t=1\,s$. Wir setzen in die Formel für den Ladevorgang ein und erhalten:

  $Q_{(t)}=3\,C\cdot(1-e^{-\frac{1\,s}{1\,s}})=3\,C(1-\frac{1}{e})\approx 1,9\,C$.

• Gib das Verhalten des Plattenkondensators an.

  Tipps

  Die Platten sind neutral, wenn sich weder ein Überschuss noch ein Defizit an Elektronen auf ihnen befindet.

  Was passiert, wenn du die beiden Pole einer Spannungsquelle über einen Leiter verbindest?

  Lösung

  Ein Plattenkondensator ist aus zwei parallelen Platten aufgebaut. Wenn man den Plattenkondensator nicht lädt, sind die Platten neutral. Schließt man eine Spannung an, ergibt sich ein Strom und Ladungsträger bewegen sich von der einen Platte weg und zur anderen Platte hin.

  Zwischen zwei unterschiedlich geladenen Objekten besteht eine Spannung. Verbindet man diese miteinander, ergibt sich ein Strom. Der Plattenkondensator wird beim Entladen also selber zur Spannungsquelle.

• Wende die Formel für den Ladevorgang an.

  Tipps

  Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die ln-Funktion. Das heißt $ln(e^{x})=x$ für alle Argumente $x$.

  Für die ln-Funktion gilt $ln(\frac{1}{2})=-ln(2)$.

  Lösung

  Gegeben sind $R=5\,\Omega$, $C=0,2\,F$ und $U=5\,V$.

  Gesucht ist $t$, so dass $Q_{(t)}=\frac{1}{2}Q_0$.

  Die Formel für den Ladevorgang lautet:

  $Q_{(t)}=Q_0\cdot (1-e^{-\frac{t}{R\cdot C}})$.

  Setzen wir ein erhalten wir:

  $\frac{1}{2}Q_0=Q_0\cdot (1-e^{-\frac{t}{R\cdot C}})$.

  Wir können also $Q_0$ kürzen und erhalten

  $\frac{1}{2}=1-e^{-\frac{t}{R\cdot C}}$.

  Jetzt können wir auf beiden Seiten $1$ subtrahieren und erhalten

  $-\frac{1}{2}=-e^{-\frac{t}{R\cdot C}}$.

  Nach der einer Multiplikation mit $-1$ auf beiden Seiten ergibt sich:

  $\frac{1}{2}=e^{-\frac{t}{R\cdot C}}$.

  Nun nehmen wir auf beiden Seiten die ln-Funktion. Die ln-Funktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Wir erhalten:

  $ln(\frac{1}{2})=-\frac{t}{R\cdot C}$.

  Verwenden wir die Eigenschaften der ln-Funktion, ergibt sich

  $-ln(2)=-\frac{t}{R\cdot C}$.

  Wir multiplizieren wieder mit $-1$ und erhalten

  $ln(2)=\frac{t}{R\cdot C}$.

  Nun können wir mit $R\cdot C$ multiplizieren:

  $t=R\cdot C \cdot ln(2)$.

  Die Zeit hängt also gar nicht von der Spannung ab.

  Schauen wir uns, bevor wir einsetzen, noch kurz die Einheiten an:

  $R=5\,\Omega=5\,\frac{V}{A}=5\,\frac{Vs}{C}$,

  $C=0,2\,F=0,2\,\frac{C}{V}$.

  $R\cdot C$ hat also die Einheit $s$. Es ist also eine Zeit. Das ist ein gutes Zeichen dafür, dass wir richtig gerechnet haben.

  Wir erhalten also nach dem Einsetzen:

  $t=ln(2)\,s=0,7\,s$.