Radialbeschleunigung und Zentripetalkraft bei der Kreisbewegung

Radialbeschleunigung und Zentripetalkraft bei der Kreisbewegung Übung

• Nenne das Trägheitsprinzip.

  Tipps

  Das berühmte Gedankenexperiment von Galilei: Eine Kugel läuft von einer schiefen Ebene ab und eine andere schiefe hinauf.

  Wenn die zweite (Aufwärts-)Ebene nur leicht geneigt ist, läuft die Kugel sehr weit.

  Wie weit läuft die Kugel, wenn die zweite Ebene gar nicht geneigt ist?

  Lösung

  Galilei entwickelte das Trägheitsprinzip aus folgender Überlegung: Eine Kugel, die eine schiefe Ebene hinabrollt und dann eine zweite, entgegengesetzt geneigte Ebene hinauf muss bei Vernachlässigung der Reibung gerade die Höhe erreichen, aus der sie gestartet wurde. Legt man nun aber die zweite Ebene flach, würde die Kugel nach dieser Regel unendlich weit rollen, um die Ausgangshöhe wieder zu erreichen. Also wird die Kugel unbehindert von Einwirkungen immer weiter mit gleichbleibender Geschwindigkeit geradeaus laufen. Er folgerte, dass sich alle Körper gleichförmig bewegen, wenn sie nicht (von Kräften) beeinflusst werden.

• Gib an, was man zur Kreisbewegung aus dem Trägheitsprinzip ableiten kann.

  Tipps

  Wann verändert ein Körper die Bewegungsrichtung oder seine Geschwindigkeit?

  Der Vektor der Bahngeschwindigkeit bei Kreisbewegungen hat in jedem Punkt der Bahn gerade die Richtung der Tangente an dem Kreis in diesem Punkt.

  Lösung

  Nach dem Trägheitsprinzip bewegt sich jeder physikalische, d. h. massebehaftete Körper, der nicht dem Einfluss von Kräften unterliegt, gleichförmig, d. h. ohne Veränderung von Größe und Richtung seiner Geschwindigkeit. Da die Bewegung auf einer Kreisbahn eine nicht-gleichförmige Bewegung ist, muss die Wirkung einer Kraft vorliegen. Diese Kraft wird „Zentripetalkraft" genannt. Sie zwingt den trägen Körper auf eine kreisförmige Bahn und kann ebenso gut durch Zug aus dem Kreismittelpunkt wie durch Druck, z. B. durch Zwangsführung in einer Bahnschiene, vermittelt werden. (Übrigens kann die gleichförmige Bewegung natürlich auch eine ungestörte Rotation sein. Die Bewegung muss nicht „geradlinig" sein. Der Geschwindigkeitsvektor muss nur unverändert bleiben.)

• Finde einen Weg zur Berechnung der Zentripetalkraft.

  Tipps

  Für die Winkelgeschwindigkeit gilt $\omega=\frac{d\varphi}{dt}$ ($\varphi$ der Rotationswinkel).

  Für die Bahngeschwindigkeit gilt $v_B=\frac{ds_B}{dt}$ ($s_B$ die Länge des Weges auf der Kreisbahn).

  Es gibt eine Beziehung zwischen der Bahnlänge $s_B$ und dem Rotationswinkel $\varphi$.

  Lösung

  Die Zentripetalkraft wird nach dem zweiten Newtonschen Axiom berechnet: $F=m\cdot a$. Die Beschleunigung, die von der Zentripetalkraft bestimmt wird, ist die Radialbeschleunigung, die zum Mittelpunkt der Kreisbahn gerichtet ist: $F_Z=m\cdot a_R$. Wenn wir die Abhängigkeit der Radialbeschleunigung von der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ kennen: $a_R=r\cdot\omega^2$, ist es zweckmäßig, nun Beziehungen zwischen Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit zu nutzen. Da wir wissen, dass für die Bahngeschwindigkeit $v_B=\frac{ds_B}{dt}$ und für die Winkelgeschwindigkeit $\omega=\frac{d\varphi}{dt}$ gilt, erinnern wir uns an eine Beziehung zwischen der Bahnlänge $s_B$ und dem Rotationswinkel $\varphi$: $s_B=r\cdot\varphi$. Damit können wir über $v_B=\frac{ds_B}{dt}=\frac{d(r\cdot\varphi)}{dt}=r\cdot\frac{d\varphi}{dt}$ auf $v_B=r\cdot\omega$ schließen. Stellen wir nun noch nach $\omega$ um ($\omega=\frac{v_B}{r}$), erhalten wir aus $F=m\cdot a_R=m\cdot r\cdot\omega^2$ schließlich $F=m\cdot\frac{v_B^2}{r}$.

• Berechne die Mindestgeschwindigkeit, die eine Kugel im Scheitelpunkt einer Loopingbahn haben muß.

  Tipps

  Im Looping wirkt nicht nur - wie bei waagerechter Lage - die Zwangskraft der Bahn, sondern auch die Schwerkraft.

  Die Bilanz beider Kräfte muss die Zentripetalkraft ergeben.

  Die Zentripetalkraft ist mit dem Radius und der Bahngeschwindigkeit festgelegt.

  Lösung

  Wichtig ist, sich zuerst darüber klar zu werden, welche Kräfte wirken. Da die Kreisbewegung auf- und abwärts verläuft, muss die Schwerkraft in die Berechnung der Zentripetalkraft eingehen. Wenn man z. B. versucht, an einem Bindfaden einen Stein in einer senkrechten Kreisbahn herumzuwirbeln, wird man feststellen, dass sich der Zug am Faden in einem Umschwung mehrfach verändert: In der oberen Hälfte des Umlaufs zieht der Stein schwächer, in der unteren stärker. Das liegt daran, dass im unteren Teil die Zugkraft im Faden die Schwerkraftwirkung ausgleichen muss, um die von Radius und Geschwindigkeit vorgegebene Zentrifugalkraft einzustellen. Wie groß dieser Ausgleich sein muss, hängt vom Bahnort ab. Denn es muss immer nur ein radial gerichteter Anteil der Schwerkraft ausgeglichen werden: Im unteren Scheitelpunkt der gesamte, am rechten oder linken Rand gar keiner und in der oberen Hälfte wirkt die Schwerkraft anteilig sogar anstelle der Zugkraft des Fadens.

  Nehmen wir in unserem Beispiel an, dass die Kugel nicht an einem Faden herumgeschwungen, sondern von der Bahnschiene gehalten wird, ändert sich an der Kräftebilanz nichts. Nur haben wir statt einer Zugkraft im Faden eine Druckkraft von der steifen Bahnschiene. Zug- und Druckkräfte sind sogenannte Zwangskräfte. Der Fall, dass die Kugel gerade eben aus der Bahn fällt, ist nun der, dass die Zwangskraft der Schienenführung $Null$ ist, die Zentripetalkraft also allein vom richtungsabhängigen Anteil der Schwerkraft aufgebracht wird. Damit gewinnen wir unseren Ansatz: In dem Moment, in dem die Kugel im Scheitelpunkt eben aus der Bahn fällt, ist die Zentripetalkraft gerade gleich dem richtungsabhängigen Anteil der Schwerkraft im höchsten Punkt der Bahn, also der gesamten Schwerkraft: $F_Z=F_G\cdot sin~90°=F_G$. Alles weitere ergibt sich daraus. Mit $F_G=m\cdot g$ und $F_Z=m\cdot a_R=m\cdot\frac{v_B^2}{r}$ folgt $\frac{v_B^2}{r}=g$, also $v_B=\sqrt{g\cdot r}$. In unserem Fall erhielten wir also $v_B=4.95\frac{m}{s}$. Die Kugel muss im oberen Scheitelpunkt mindestens noch $4.95\frac{m}{s}$ oder $17.82\frac{km}{h}$ schnell sein, um im Looping nicht herunterzufallen.

• Definiere die Kreisbewegung.

  Tipps

  Der „Kreis" als geometrische Figur gibt den Namen.

  Lösung

  Als Kreisbewegung wird die Bewegung auf einer Kreisbahn bezeichnet. Diese Bahn liegt darum in einer bestimmten Ebene und ist in allen Bahnorten gleich weit von einem bestimmten Punkt, dem Kreismittelpunkt, entfernt. Es gibt noch andere Bahnen, die überall einen konstanten Abstand von einem gegebenen Punkt haben, z. B. die beliebigen Bahnen auf einer Kugeloberfläche. Für die Kreisbewegung ist also wichtig, dass alle ihre Punkte in ein und derselben Ebene liegen, nicht nur, dass sie um einen Mittelpunkt angeordnet sind.

• Erläutere, wie man sich mit einer geometrischen Überlegung plausibel machen kann, dass die Kreisbewegung mit konstanter Bahngeschwindigkeit dennoch eine beschleunigte Bewegung ist.

  Tipps

  Zerlege in x- und y-Richtung und stell dir vor, eine Kugel bewege sich langsam und gleichmäßig auf der Kreislinie.

  Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich der Schatten dieser Kugel auf einer senkrechten Wand rechts vom Kreis? Und wie ein zweiter Schatten auf einer Wand unter dem Kreis?

  Lösung

  Wenn wir die Bewegung auf einer Kreisbahn in zwei Komponenten zerlegen, eine waagerechte und eine senkrechte, können wir erkennen, dass sich auch bei gleichförmiger Bahnbewegung die Geschwindigkeitsanteile je Komponente verändern. Das liegt an der Kreisform der Bahn: Beginnt die Bewegung z. B. im oberen Scheitelpunkt nach rechts, wird der waagerechte Geschwindigkeitsanteil immer kleiner, bis er am rechten Rand der Kreisbahn Null wird, um dann in anderer Richtung, also mit negativem Vorzeichen, zu wachsen. Ähnlich bei der senkrechten Komponente, die bis zum rechten Rand immer mehr anwächst, aber bis zum unteren Scheitel auf Null zurückgeht. Der Betrag der gesamten Geschwindigkeitsänderung wäre aus den Komponenten nach Pythagoras zu berechnen: $\frac{dv}{dt}=\sqrt{(\frac{dv_x}{dt})^2+(\frac{dv_y}{dt})^2}$.

  Da die Komponenten nie gleichzeitig $Null$ sind, ist auch die Summe ihrer Quadrate und die Wurzel daraus nie $Null$. Also ist der Gesamtbetrag der Geschwindigkeitsänderung nie $Null$ und wir müssen eine beschleunigte Bewegung annehmen. Zerlegt man nun mit diesem Wissen die resultierende Beschleunigung in eine Komponente in Richtung des Radiusvektors zum Massepunkt (sog. „Radialbeschleunigung") und eine andere rechtwinklig dazu in Richtung der Bahntangente (sog. „Bahnbeschleunigung"), dann erkennt man, dass die gesamte Beschleunigung als Radialbeschleunigung wirkt. Denn die Bahnbeschleunigung ist $Null$, wenn die Bahngeschwindigkeit wie hier konstant ist.