Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom

Hallo und herzlich willkommen bei einem neuen Video Doktor Psi. Unser heutiges Thema ist die Zeitunabhängige Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom. Ausgehend von einigen Potenzialtopfmodellen kommen wir zur Wellenfunktion Psi, die im Zusammenhang mit der Lösung der Schrödingergleichung auftreten. Dabei interessieren insbesondere die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Elektronen im Bereich des Atomkerns, speziell hier des Wasserstoffatoms und seine Energiewerte. Unter Annahme von erheblichen Vereinfachungen des Modells werden einige Ergebnisse vorgestellt. Kommen wir nun zu einer knappen Einführung in das Thema. Angenommen, wir haben einen linearen Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden, wie du es hier siehst. Dieses Modell spiegelt wesentliche Eigenschaften von Elektronen in einem Atom wieder. Das ist einmal ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit, die auf einen bestimmten Raumbereich eingeschränkt ist. Und sie besitzen scharfe Energiewerte, sogenannte Eigenwerte, E_n. Mit n=1, 2, 3, und so weiter aus dem Bereich der natürlichen Zahlen. Diese werden auch als Quantenzahlen bezeichnet. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen außerhalb dieses Potenzialtopfs ist also null. Und die diskreten Eigenwerte, Energiewerte, sind eine Folge der Lokalisation der Elektronen in unserem Potenzialtopf. Nun ist ein Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden kein realistisches Modell. Wir haben also einen Potenzialtopf, der keine unendlich hohen Wände hat, endlich hohe Wände. Und das hat natürlich Konsequenzen. Eine Konsequenz ist die, dass die Elektronen außerhalb des Potenzialtopfs eine von null verschiedene Aufenthaltswahrscheinlichkeit besitzen. Dies ist auch experimentell bestätigt und wird als Tunneleffekt bezeichnet. Der wird an anderer Stelle beschrieben, wir beschränken uns hier auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons in der Umgebung eines Atomkerns, speziell des Wasserstoffatoms. Und wie diese Aufenthaltswahrscheinlichkeit berechnet werden kann, das wollen wir uns in der nächsten Szene ansehen. Ja, wir betrachten jetzt die Elektronen als das, was sie sind. Nämlich als Quantenobjekte. Diese lassen sich mithilfe einer Funktion Psi(x) beschreiben, wobei wir der Einfachheit halber die Zeit hier aus unserer Betrachtung herausnehmen. Diese Wellenfunktion tritt in der von Schrödinger gefundenen, nach ihm benannten, Schrödingergleichung auf. Und aus dieser Gleichung lassen sich Aussagen über die gesuchte Aufenthaltswahrscheinlichkeit und die Energieniveaus eines Elektrons in einem Wasserstoffatom gewinnen. Du siehst hier die eindimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung. Das ist eine Differentialgleichung, wir sehen dort Psi‘‘(x) = 8Pi² l m_e / h² mit h als planckscher Konstante und da tritt noch auf die potenzielle Energie. Und die Gesamtenergie und dann tritt wieder die Wellenfunktion auf und diese Funktion heißt Zustandsfunktion. Psi‘‘(x) = (8 Pi² l m_e / h²) * (E_pot(x) - E_ges(x)) * Psi(x). Sie hat an sich alleine keine physikalische Bedeutung. Ihr Quadrat, Betragsquadrat, ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons am Ort x. Weiterhin ist zu beachten die Ortsabhängigkeit der potenziellen Energie, die natürlich Einfluss auf den Verlauf der entsprechenden Zustandsfunktion hat. Damit sind wir also unserem Ziel, nämlich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und auch Energieniveaus zu berechnen für unser Wasserstoffatom, ein Stückchen näher gekommen. Wie es nun weitergeht, sehen wir uns in der nächsten Szene an. In der Schrödingergleichung tauchte die potenzielle Energie des Elektrons auf und in einem Wasserstoffatom hängt diese von seinem Abstand r vom Kern ab und hat die in dieser Abbildung dargestellte Form. Und diese Form lässt sich quantitativ mit dieser Formel beschreiben. Und setzt man diese potenzielle Energie in die Schrödingergleichung ein, formt ein wenig um, so folgt zunächst eine dreidimensionale Schrödingergleichung mit dieser Form. Wir sehen hier die Koordinaten x, y, z und dann haben wir hier r und diese Gleichung müsste nun, die Differentialgleichung müsste nun gelöst werden. Diese Lösung ist sehr kompliziert herzustellen. Es gibt Computerprogramme die das machen. Wir nehmen hier einfach eine Lösung aus der Literatur her und notieren sie in der Form Psi(r) = (1 / Wurzel Pi * a₀³) * e^-r/a₀. Hier finden wir den bohrschen Radius wieder, a₀, und die Variable r haben wir hier in dem Exponenten der E-Funktion. Und mit dieser Zustandsfunktion lässt sich auch die von uns gewünschte Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons in einem Volumenelement DELTA V berechnen und die ergibt sich zu P(r) natürlich, wir hatten ja gesagt, dass das das Betragsquadrat ist mal DELTA V. Das ist also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons in einem Volumenelement DELTA V. Ja, diese Aufenthaltswahrscheinlichkeit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einer Kugelschale der Dicke DELTA r mit dem Abstand r zum Atomkern anzutreffen ist. Und die graphische Auswertung dieser Gleichung zeigt hier diese Abbildung und der Verlauf besitzt genau an der Stelle ein Maximum, der den Wert des bohrschen Radius entspricht. Soweit also einige Anmerkungen zur Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im einfachsten Fall. Nun erinnern wir uns, der Raumbereich in dem sich ein Elektron aufhält heißt Orbital. Und jedes Orbital hängt mit einer Lösung der Schrödingergleichung zusammen. Dabei treten dann auch die sogenannten Quantenzahlen auf und in unserem Fall haben wir den einfachsten Fall betrachtet, nämlich den Fall mit der Hauptquantenzahl n=1. Und wir können auch diese Darstellung einmal uns in einem graphischen Modell ansehen. Und dieses Modell zeigt ein rotationssymmetrisches Orbital. Hier ist n=1 und die sogenannte Nebenquantenzahl, spielen hier auch noch eine Rolle, l ist hier gleich null. Es ist eine kugelsymmetrische Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein Elektron zu sehen und für andere Quantenzahlen natürlich, wenn jetzt n nicht mehr eins ist und l = 0 ist und andere Zahlen da mit hineinkommen, dann hat man ganz andere Orbitalformen. Darauf können wir hier leider nicht mehr eingehen. Ja, wenn man noch ein Wort zur Energie sagt, wenn man jetzt mit geeigneten Modellannahmen das Wasserstoffatom berechnet für n = 1 und rechnet Energieniveaus aus, so erhält man tatsächlich für n = 1 den Energieeigenwert der mit -13,6 Elektronenvolt angegeben wird und der ist ja experimentell nachgewiesen. Ja, das können wir auch hier nicht mehr vorführen. Insgesamt können wir sagen, dass wir mit relativ einfachen Annahmen eine tolle Bestätigung experimenteller Resultate erreichen. Ja, was haben wir heute gemacht? Wir haben vereinfachte Modellannahmen getroffen zum Potenzialtopf und haben uns die Differenzialgleichung, die von Schrödinger gefunden wurde, angeschaut. Haben entsprechende Werte eingesetzt und konnten damit Aussagen über die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Energieeigenwerte von Elektronen im Wasserstoffatom ganz gut bestätigen. Ja, das war's für heute. Ich hoffe, du hast etwas verstanden, vielleicht sehen wir uns wieder bei einem Video von Doktor Psi. Tschüss.