Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell (Übungsvideo)

Aufgaben zur Schrödingergleichung und zum Potenzialtopfmodell

Hallo und herzlich Willkommen. In diesem Video lösen wir drei Aufgaben zur zeitunabhängigen Schrödingergleichung und zum Potenzialtopfmodell. Bevor es los geht, wiederholen wir noch einmal die Schrödingergleichung und ihre Lösung im Potenzialtopfmodell. Los geht es mit der Schrödingergleichung.

Wir wollen die zeitunabhängige Schrödingergleichung für ein punktförmiges Quantenobjekt verstehen, das in einer Dimension gefangen ist - zum Beispiel ein Elektron. In der Quantenmechanik werden Teilchen durch eine Wellenfunktion Psi von x beschrieben.

Dabei beschreibt das Quadrat der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung, wo sich das Teilchen befindet. Das Diagramm zeigt, wie diese Wellenfunktion aussehen könnte. Das Quadrat der Funktion zeigt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens. Die Wellenfunktion dient also der Beschreibung des Teilchens. Nun wollen wir die Schrödingergleichung dafür aufstellen:

Sie lautet: Die Gesamtenergie eines Teilchen E_gesamt mal Psi von x ist gleich minus h Quadrat geteilt durch acht Pi Quadrat mal der Teilchenmasse m mal der zweiten Ableitung der Wellenfunktion nach x Psi Strich Strich von x plus der potentiellen Energie des Teilchens E_pot von x mal Psi von x. Klein h steht für die Plancksche Konstante.

Die potenzielle Energie E_pot von x muss gegeben sein. Das Standardbeispiel für die potenzielle Energie ist der unendliche hohe Potenzialtopf - und den schauen wir uns jetzt an. Der unendliche hohe Potenzialtopf der Länge L hat folgende Eigenschaften: Die potenzielle Energie E_pot wird für Werte von x zwischen Null und L willkürlich mit dem Wert Null festgelegt. Für alle anderen Werte von x gilt: E_pot gleich unendlich.

Wir können jetzt die potenzielle Energie in unser Diagramm einzeichnen. Die rote Linie ist einfach Null zwischen 0 und L. Außerhalb müssten wir die Linie bei unendlich zeichnen, was leider nicht ins Bild passt. Stattdessen schraffieren wir den Bereich außerhalb vom Potenzialtopf.

Das Bild macht den Namen des Modells deutlich: Die potenzielle Energie sieht wie ein sehr tiefer Topf aus, in dem das Teilchen gefangen ist. Für das Teilchen ist es physikalisch unmöglich, außerhalb des Topfes zu sein - deshalb muss dort auch die Wellenfunktion und damit die Aufenthaltswahrscheinlichkeit Null sein! Daraus folgt, dass die Wellenfunktion insbesondere an den zwei Randpunkten des Topfes - bei 0 und bei L - null sein muss.

Kommen wir nun zu unseren Aufgaben. Ein Elektron ist in einem unendlichen Potenzialtopf der Länge L gleich 1 Mikrometer gefangen. Hierzu sind die folgenden Aufgaben gestellt: Aufgabe 1: Zeichne den Potenzialtopf und stelle die Schrödingergleichung für Psi innerhalb des Topfes auf. Aufgabe 2: Löse die Schrödingergleichung mit dem Ansatz Psi von x ist gleich Sinus von k mal x. Aufgabe 3: Welche Werte für k erlauben die Randbedinungen? Was sind die möglichen Energien?

Los geht es mit Aufgabe 1. Wir zeichnen den Potenzialtopf genauso, wie wir es besprochen haben. Das Teilchen ist nun zwischen Null und L gleich ein Mikrometer gefangen. Dazu können wir jetzt die Schrödingergleichung aufstellen. Außerhalb des Topfes wissen wir ja bereits, dass die Wellenfunktion Null ist.

Im Topf ist die potenzielle Energie E_pot aber Null, sodass wir den rechten Term in der Schrödingergleichung weglassen können. Damit lautet die Schrödingergleichung E_ges mal Psi von x ist gleich h Quadrat geteilt durch 8 Pi Quadrat mal m mal Psi Strich-Strich von x. Das war schon die erste Aufgabe.

In der zweiten Aufgabe sollen wir jetzt einen vorgegebenen Ansatz verwenden. Um zu überprüfen, ob dieser Ansatz die Schrödingergleichung löst, müssen wir ihn einsetzen und mit Hilfe der Kettenregel lösen.

Die äußere Ableitung von Sinus ist der Kosinus und die innere Ableitung von k mal x ist einfach nur k. Deshalb lautet die erste Ableitung von Psi gerade k mal Kosinus von k mal x. Das machen wir gleich nochmal: Die äußere Ableitung von Kosinus ist diesmal minus Sinus und die innere Ableitung von k mal x ist wieder nur k. Deshalb ist die zweite Ableitung von Psi gleich minus k zum Quadrat mal Sinus von k mal x.

Das können wir jetzt in die Schrödingergleichung einsetzen und erhalten E_ges mal Sinus k x ist gleich minus h Quadrat geteilt durch 8 Pi Quadrat mal m mal minus k Quadrat mal Sinus von k x. Super, jetzt sind wir nur noch einen Schritt von der Lösung entfernt: Auf beiden Seiten steht Sinus von k mal x. Das heißt beide Seiten sind genau dann gleich, wenn E_gesamt gleich h Quadrat mal k Quadrat geteilt durch 8 mal Pi Quadrat mal m ist.

Das war schon ein bisschen Arbeit, aber zum Glück wurde uns ja der Ansatz gegeben. Weiter geht es mit der dritten Aufgabe. Hier sollen wir die möglichen Werte für k aus den Randbedingungen finden. Die Randbedingungen besagten, dass die Wellenfunktion Psi bei Werten von x gleich Null und x gleich L jeweils Null sein muss.

Wenn wir unsere Wellenfunktion einsetzen, erhalten wir Psi von 0 gleich Sinus von k mal Null. Das ist der Sinus von Null und das ist tatsächlich Null. Damit ist die linke Randbedingung bereits erfüllt. Anders sieht es bei Psi von L aus: Wir finden Psi von L ist gleich Sinus von k mal L. Das ist aber nicht immer null, sondern nur dann, wenn k mal L eben gerade eine Nullstelle von Sinus ist. Aber wo sind die? Stellen wir den Sinus graphisch dar, dann sehen wir, dass die Nullstellen bei 0, Pi, zwei Pi und so weiter liegen.

Allgemein können wir sagen, dass eine Nullstelle bei n mal Pi liegt, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist. Deshalb erfüllt unsere Wellenfunktion die rechte Randbedinung nur, wenn k mal L gleich n mal Pi ist. Oder umgestellt als Bedingung für k muss gelten: k gleich n mal Pi geteilt durch L. Das sind die einzigen erlaubte Werte.

Hieraus folgt aber auch etwas für die Gesamtenergie: Im zweiten Teil hatten wir bereits eine Aussage für die Gesamtenergie hergeleitet. Hier können wir nun unsere möglichen Werte für k einsetzen und erhalten E_gesamt ist gleich h Quadrat geteilt durch 8 Pi Quadrat mal m mal n Quadrat mal Pi Quadrat durch L Quadrat. Die Pi Quadrat kürzen sich weg und es bleibt nur h Quadrat mal n Quadrat geteilt durch 8 L Quadrat mal m stehen. Das sind alle möglichen Gesamtenergien des Teilchens im Potenzialtopf der Länge L. Da n eine ganze Zahl sein muss, sind die Energiewerte gequantelt. Daher kommt der Name Quantenmechanik oder Theorie der Quanten.

Das waren drei anspruchsvolle Aufgaben auf Leistungkursniveau, die dir gleich gezeigt haben, woher der Name Quantenmechanik kommt. Bis zum nächsten Mal und viel Spaß mit der Physik.