Thomson'sche Schwingungsgleichung – ungedämpfte elektromagnetische Schwingung

Thomson'sche Schwingungsgleichung – ungedämpfte elektromagnetische Schwingung Übung

• Beschreibe den Aufbau und die Wirkungsweise des Schwingkreises.

  Tipps

  Erkennst du die Schaltzeichen in der Schaltung?

  Wie funktioniert der Kondensator und was für ein Feld entsteht?

  Wie funktioniert die Spule und was für ein Feld entsteht?

  Lösung

  Wenn wir uns die Skizze anschauen, sehen wir, dass der Schwingkreis aus einem Kondensator und einer Spule besteht. Dies können wir auch seinem vollständigen Namen entnehmen: elektromagnetischer Schwingkreis. Elektromagnetisch steht hierbei für die Verbindung eines elektronischen und eines magnetischen Bauteils.

  Gleichzeitig spiegelt der Name auch wider, welche Energien ineinander umgewandelt werden. Die elektrische Energie des Kondensators wird in magnetische Energie der Spule umgewandelt.

  Zudem wird auch deutlich, welche Felder entstehen. Ein elektrisches Feld beim Kondensator und ein magnetisches bei der Spule.

  Die Elektronen bewegen sich dabei wie bei einem normalen Schaltkreis durch den Leiter. Bei jedem Vorgang ändert sich dabei die Polarisation der Kondensatorplatten und auch die Orientierung der Felder.

• Ordne die Begriffe richtig dem Schwingkreis, dem Fadenpendel oder beiden zu.

  Tipps

  Die Energieformen des Schwingkreises lassen sich aus dem vollständigen Namen des Schwingkreises ablesen: elektromagnetischer Schwingkreis.

  Die Größen, die es sowohl im Schwingkreis als auch beim Fadenpendel gibt, beschreiben die Schwingung im Allgemeinen und nicht die konkreten Eigenschaften des Fadenpendels oder des Schwingkreises.

  Lösung

  Es gibt die Größen, die allgemein eine Schwingung beschreiben. Dies sind die Größen Periodendauer $T$ in Sekunden, Amplitude $A$ in Metern und Frequenz $f$ mit der Einheit Hertz als Kehrwert der Periodendauer $T$. Diese Größen werden also für die Beschreibung beider Versuche benötigt.

  Beim Fadenpendel wird die Masse $m$ mit der Einheit Kilogramm um die Auslenkung $s$ mit der Einheit Meter aus der Ausgangslage verschoben. Dabei baut sich die potentielle Energie $E_{Pot}$ auf, welche beim Durchgang durch die Ruhelage komplett in kinetische Energie $E_{Kin}$ umgewandelt ist. Beide Energien haben die Einheit Joule.

  Beim Schwingkreis wird der Kondensator mit einer Ladung Q aufgeladen. Dabei ist die elektrische Energie $E_{el}$ mit der Einheit Wattsekunde maximal. Der Kondensator hat dabei die Kapazität $C$ in Farad. Wenn sich der Kondensator entlädt, wird in der Spule mit der Induktivität L (Einheit Henry) ein magnetisches Feld aufgebaut. Dabei vergrößert sich die magnetische Feldstärke $B$.

• Berechne die Periodendauer der Schwingung des Schwingkreises.

  Tipps

  Die Periodendauer T hat die Einheit s und ist der Kehrwert der Frequenz.

  Die Frequenz hat die Einheit Hertz das ist $\frac{1}{s}$.

  Das $\pi$ in der Formel bedeutet, dass eine Kreisfrequenz vorliegt.

  Lösung

  Wir schauen uns an, was gegeben ist und was gesucht wird. Wir können daran erkennen, dass die Formel $T = 2 \pi \cdot \sqrt{C \cdot L}$ verwendet werden muss. Genau die gesuchten und gegebenen Größen sind in der Formel enthalten, jedoch keine andere.

  In die Thomsonsche Schwingungsgleichung setzen wir dann die Werte für die Induktion und die Kapazität ein. Wir erhalten dann: $T = 2 \pi \cdot \sqrt{3 \cdot 3}=2 \pi \cdot \sqrt{9}=2 \pi \cdot 3=6 \pi$.

  Der Stromkreis benötigt somit für eine komplette Schwingung 6$\pi$ Sekunden.

• Erkläre was passieren würde, wenn kein idealer Schwingkreis vorliegt.

  Tipps

  Vergleiche den Schwingkreis mit dem Fadenpendel.

  Amplitude ist ein anderes Wort für die Auslenkung bei einem Fadenpendel.

  Was würde es bedeuten, wenn sich die Frequenz oder die Periodendauer einer Schwingung ändern würde?

  Lösung

  Um die Frage zu beantworten, müssen wir uns zunächst die Eigenschaften der Schwingung anschauen. Sie besitzt besitzt eine Amplitude s und eine Frequenz f bzw. Periodendauer T.

  Nun vergleichen wir den Schwingkreis mit dem Fadenpendel. Das Fadenpendel stoßen wir an und lassen es auspendeln. Dabei stellen wir fest, dass die Pendelschwingungen immer noch die gleiche Dauer besitzen, das Pendel aber nicht mehr so weit ausschlägt. Also wird durch die Reibung nur die Amplitude verkleinert, die Periodendauer und die Frequenz bleiben aber gleich groß.

• Nenne die Thomsonsche Schwingungsgleichung

  Tipps

  Die Schwingungsgleichung beschreibt den elektromagnetischen Schwingkreis mathematisch.

  Im elektromagnetischen Schwingkreis baut sich im Wechsel ein magnetisches Feld beziehungsweise elektrisches Feld auf.

  Die Schwingung wird über die Eigenfrequenz oder ihren Kehrwert, die Periodendauer, beschrieben.

  Lösung

  Zunächst überlegen wir uns, wovon eine elektromagnetische Schwingung abhängt.

  Wir wissen, dass eine Schwingung sowohl eine Amplitude als auch eine Frequenz aufweist. Und wir erinnern uns daran, dass die Frequenz f der Kehrwert der Periodendauer T ist. Durch die Sinus-Wellenform der Schwingung wird deutlich, dass die Frequenz von der Kreisfrequenz $\omega$ bestimmt wird. $\omega = 2\pi f$

  Die Abhängigkeiten im Schwingkreis werden über diese Gleichung beschrieben:

  $\omega = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$

  Wenn wir in diese Gleichung $\omega = 2\pi f$ einsetzen und nach f umstellen, erhalten wir die gewünschte Gleichung für die Frequenz f. Bilden wir von dieser den Kehrwert, erhalten wir die Gleichung für die Periodendauer T.

  $f = \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$

  $T = \frac{1}{f} = 2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}$

• Erkläre den Versuch zur Eignung eines Fadenpendels als Messgerät.

  Tipps

  Das Pendel wird wie jeder statische geladenen Körper von elektrischen Ladungen angezogen oder abgestoßen.

  Die Kugel wird immer zur selben Ladung hin ausgelenkt.

  Eine Periode ist immer die komplette Bewegung bis zum Anfangszustand.

  Lösung

  Wir erinnern uns, dass ein geladener Körper sich in einem elektrischen Feld zu der entgegengesetzten Ladung bewegt. Weiterhin wissen wir, dass sich in einem Plattenkondensator ein homogenes elektrisches Feld aufbaut. Danach muss sich die positiv geladene Pendelkugel zu der Platte mit der negativen Ladung bewegen.

  Wir wissen zudem, dass sich im Schwingkreis der Kondensator auflädt und sich wieder entlädt. Zudem baut sich in der Spule ein magnetisches Feld auf und wieder ab. Wenn der Kondensator wieder aufgeladen wird, ist die Ladung vertauscht, da die Elektronen von der einen Kondensatorplatte durch die Spule zur anderen Kondensatorplatte geflossen sind. Demnach muss das Pendel zwischen den Platten hin und her schwingen. Und da seine Bewegung durch das elektrische Feld angeregt wird, bewegt es sich mit derselben Frequenz wie die Elektronen im Schwingkreis. Das bedeutet, die Periodendauer des Strom ist genauso groß wie die Periodendauer des Pendels.