Zentraler und nicht-zentraler elastischer Stoß

Der elastische Stoß

Hast du schon einmal Billard gespielt? Beim Billard kannst du das Phänomen des elastischen Stoßes sehr gut beobachten. Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie ein elastischer Stoß in der Physik definiert ist und welche verschiedenen Arten es gibt.

Elastischer Stoß – Definition

Ein elastischer Stoß ist ein Stoß zwischen zwei Körpern, bei dem keine kinetische Energie in innere Energie umgewandelt wird. Das bedeutet, dass die Summe der kinetischen Energien vor und nach dem Stoß gleich ist. Nach dem Stoß trennen sich die Stoßpartner wieder.

Zentraler elastischer Stoß

Zentraler elastischer Stoß – Definition

Bei einem zentralen elastischen Stoß sind alle beobachteten Geschwindigkeiten parallel zur Verbindungslinie zwischen den beiden stoßenden Körpern. In diesem Fall können wir den Stoß als eindimensionalen Stoß betrachten. So brauchen wir in Berechnungen keine Vektoren zu verwenden. Die Richtung der Geschwindigkeiten geben wir dann lediglich durch das Vorzeichen an. Üblicherweise bedeutet eine positive Geschwindigkeit eine Bewegung nach rechts, während eine negative Geschwindigkeit eine Bewegung nach links bedeutet.

Zentraler elastischer Stoß – Geschwindigkeiten berechnen

Um die Geschwindigkeiten der beiden Körper nach einem zentralen elastischen Stoß berechnen zu können, müssen wir zwei Gesetzmäßigkeit nutzen. Zum einen hatten wir schon festgehalten, dass die Summe der kinetischen Energien vor und nach dem Stoß gleich ist. Es gilt also:

$\frac{1}{2} \cdot m_1v^{2}_{11} + \frac{1}{2} \cdot m_2v^{2}_{21} =\frac{1}{2} \cdot m_1v^{2}_{12} + \frac{1}{2} \cdot m_2v^{2}_{22} $

In dieser Formel sind $m_1$ und $m_2$ die Massen der beiden stoßenden Körper, $v_{11}$ und $v_{21}$ die Geschwindigkeiten der Körper vor dem Stoß und $v_{12}$ und $v_{22}$ die Geschwindigkeiten der Körper nach dem Stoß.

Außerdem muss für den zentralen elastischen Stoß auch die Impulserhaltung gelten:

$m_1v_{11} + m_2v_{21} = m_1v_{12} + m_2v_{22} $

Durch Umformungen und Einsetzen können wir mithilfe dieser beiden Gesetzmäßigkeiten drei wichtige Formeln für den zentralen elastischen Stoß aufstellen (der Rechenweg wird dir im Video genauer erklärt). Die erste wichtige Gleichung ist die folgende:

$(I): ~ ~ ~ v_{11} - v_{21} = v_{22} - v_{12}$

Die Differenz der Geschwindigkeiten vor dem Stoß ist genauso groß wie die Differenz der Geschwindigkeiten nach dem Stoß. An dieser Gleichung sehen wir, was wir in der Definition bereits aufgeschrieben haben: Die Stoßpartner trennen sich nach dem Stoß wieder. Würden sie sich nicht trennen, wäre die Differenz der Geschwindigkeiten null. Da die Differenz aber vor und nach dem Stoß gleich bleibt, müsste die Differenz vor dem Stoß ebenso null sein – und dann würde es gar nicht erst zu einem Stoß kommen.

Außerdem erhalten wir Gleichungen für die Endgeschwindigkeiten:

$(II): ~ ~ ~ v_{12} = \frac{m_1v_{11}+m_2(2v_{21}-v_{11})}{m_1 + m_2}$

$(III): ~ ~ ~ v_{22} = \frac{m_2v_{21}+m_1(2v_{11}-v_{21})}{m_1 + m_2}$

Mithilfe dieser Gleichungen lassen sich die Geschwindigkeiten zweier Körper nach einem zentralen elastischen Stoß berechnen, wenn die Geschwindigkeiten und Massen vor dem Stoß bekannt sind.

Zentraler elastischer Stoß – Beispiel

Wir rechnen zum zentralen elastischen Stoß noch eine Aufgabe, um die Anwendung der Formeln zu üben. Dazu betrachten wir die folgende Situation: Ein ruhender Golfball der Masse $m_G = 45~\text{g}$ wird von einer Stahlkugel der Masse $m_S = 320~\text{g}$ zentral gestoßen. Die Stahlkugel bewegt sich dabei mit einer Geschwindigkeit von $v_{S1} = 3~\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Welche Geschwindigkeiten haben beide Körper nach dem Stoß?

Wir schreiben zunächst die gegebenen Größen auf:

$m_S = 320~\text{g}$

$m_G = 45~\text{g}$

$v_{S1} = 3~\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$v_{G1} = 0~\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Gesucht sind die Geschwindigkeiten nach dem Stoß, also:

$v_{S2} = v_{12}, v_{G2} = v_{22}$

Wir berechnen zunächst die Geschwindigkeit für die Stahlkugel. Dazu nutzen wir die Formel für $v_{11}$ und setzen alle bekannten Werte ein:

$v_{S2} = \frac{320~\text{g}\cdot 3~\frac{\text{m}}{\text{s}}+45~\text{g}(-3~\frac{\text{m}}{\text{s}} ) }{365~\text{g}} = 2,26~\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Für die Geschwindigkeit des Golfballs setzen wir alle bekannten Werte in die Formel für $v_{22}$ ein:

$v_{G2} = \frac{45~\text{g}\cdot 0~\frac{\text{m}}{\text{s}} + 320~\text{g}(6\frac{\text{m}}{\text{s}}-0~\frac{\text{m}}{\text{s}} ) }{365~\text{g}} = 5,26~\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Wir erhalten also insgesamt das folgende Ergebnis:

Nach dem Stoß beträgt die Geschwindigkeit der Stahlkugel $2,26~\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Die Geschwindigkeit des Golfballs beträgt nach dem Stoß $5,26~\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Wir sehen an diesem Ergebnis auch, dass die Gleichung über die Differenzen der Geschwindigkeiten zutrifft. Sowohl vor als auch nach dem Stoß ist der Unterschied zwischen den Geschwindigkeiten genau $3~\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Nicht zentraler elastischer Stoß

Wir haben bereits gelernt, was ein zentraler Stoß ist und wie man die Endgeschwindigkeiten berechnet. Im Folgenden wollen wir kurz den Unterschied zwischen zentralem und nicht zentralem elastischem Stoß festhalten.

Nicht zentraler elastischer Stoß – Definition

Im Gegensatz zum zentralen elastischen Stoß sind bei nicht zentralen Stößen die Geschwindigkeiten der stoßenden Körper nicht parallel zur Verbindungslinie zwischen den Körpern. Dadurch können wir so einen Stoß nicht mehr in nur einer Dimension betrachten. Einen nicht zentralen elastischen Stoß zu berechnen, ist deswegen wesentlich komplizierter. Lösbar ist eine solche Aufgabe durch Vektorzerlegung. Wir betrachten dazu die folgende Skizze.

Die gelbe Kugel soll zu Beginn ruhen. Die blaue Kugel bewegt sich von rechts nach links mit dem Impuls $\vec{p}_{11}$. Die Geschwindigkeiten nach dem Stoß erhält man zeichnerisch folgendermaßen: Die gestoßene Kugel bewegt sich nach dem Stoß in Richtung der Verbindungslinie der beiden Schwerpunkte (gestrichelte Linie), während sich die stoßende Kugel senkrecht dazu fortbewegt.

Mehr dazu erfährst du in unseren Videos zu den Themen Kräfteparallelogramme zeichnen und mit Kräfteparallelogrammen rechnen.