Dezimalbrüche dividieren

Dezimalbrüche dividieren Übung

• Beschreibe die Division von Dezimalbrüchen.

  Tipps

  Teile die Breite des Feldes durch die Anzahl der Streifen.

  Beim Teilen durch eine Zehnerpotenz $>1$ wird die Zahl vor dem Komma kleiner.

  Du kannst $123,45$ schriftlich durch $1,5$ teilen, indem du das Komma von Dividend und Divisor um eine Stelle nach rechts verschiebst:

  $123,45 : 1,5 = 1234,5 : 15 = 82,3$.

  Lösung

  Beim Dividieren von Dezimalbrüchen betrachten wir die folgenden drei Fälle: Das Teilen durch eine Zehnerpotenz, durch eine ganze Zahl und durch einen Dezimalbruch:

  Division durch eine Zehnerpotenz: Ihr erstes Feld teilt Gina in zehn Streifen gleicher Breite auf. Das Feld hat eine Breite von $22,7~\text m$. Um das Feld aufzuteilen und die Breite eines Streifens zu bestimmen, muss Gina die Breite durch die Anzahl der Streifen teilen. Sie muss also $22,7$ durch $10$ teilen. Beim Dividieren durch eine Zehnerpotenz verschiebt Gina einfach das Komma um so viele Stellen nach links, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.

  Bei diesem Feld teilt Gina durch $10$, d. h. sie verschiebt das Komma um eine Stelle nach links:

  $22,7 : 10 = 2,27$

  Division durch eine ganze Zahl: Ihr zweites Feld will Gina ebenfalls in gleich große Streifen aufteilen. Die Anzahl dieser Streifen ist dann eine ganze Zahl. Gina entscheidet sich für sieben Streifen. Da dieses Feld eine Breite von $163,73~\text m$ hat, muss sie $163,73:7$ ausrechnen. Die Rechnung führt sie schriftlich durch. Bei der schriftlichen Division setzt sie das Komma im Quotienten an dieselbe Stelle, an der es im Dividenden steht.

  Sie rechnet also:

  $163,73: 7 = 23,39$

  Division durch einen Dezimalbruch: Ihr drittes Feld will Gina in Streifen der Breite $2,5~\text m$ aufteilen. Das Feld hat eine Breite von $42,42~\text m$. Gina rechnet diesmal die Anzahl der Streifen aus, die sie bei der Aufteilung herausbekommt. Sie erwartet aber nicht, dass die Rechnung eine ganze Zahl ergibt. Beim Dividieren durch einen Dezimalbruch geht Gina so vor: zuerst verschiebt sie das Komma im Dividenden und im Divisor um dieselbe Anzahl Stellen nach rechts. Sie verschiebt das Komma so oft, bis der Divisor kein Komma mehr enthält. Dann rechnet sie die Division schriftlich:

  $42,42:2,5 = 424,2: 25 = 16,968$

• Gib die Quotienten an.

  Tipps

  Verschiebe beim Dividieren durch eine Zehnerpotenz $>1$ das Komma im Dividenden nach links.

  Teilst du durch eine Zahl $>1$, so ist der Quotient kleiner als der Dividend.

  Durch einen Dezimalbruch kannst du mithilfe einer Kommaverschiebung schriftlich dividieren:

  $43,23:0,3 = 432,3:3 =144,1$ .

  Lösung

  Drei Fälle kannst du beim Dividieren von Dezimalbrüchen unterscheiden: Teilst du durch eine Zehnerpotenz $>1$, so musst du nur das Komma des Dezimalbruchs nach links verschieben. Die Anzahl der Nullen im Divisor bestimmt die Anzahl der Kommaverschiebungen. Wenn du bei der Verschiebung den Anfang der Zahl erreicht hast, musst du eine Null einfügen. In jeder weiteren Verschiebung kommt eine weitere Null hinzu. Teilst du durch eine ganze Zahl, so kannst du schriftlich rechnen und setzt das Komma im Quotienten genau dann, wenn du im Dividenden das Komma erreichst. Um durch einen Dezimalbruch zu teilen, kannst du im Dividenden und im Divisor gleichzeitig das Komma so lange nach rechts verschieben, bis der Divisor kein Komma mehr enthält. Dann kannst du die Division wieder schriftlich ausrechnen.

  Wenn du dieses Vorgehen befolgst, findest du folgende Gleichungen:

  • $22,7:10 = 2,27$

  • $22,7 :100 = 0,227$

  • $22,7:1.000 = 0,0227$

  • $163,73 : 7 = 23,39$

  • $42,42:2,5 = 16,968$

• Bestimme die Dezimalbrüche.

  Tipps

  Verschiebe das Komma im Divisor und im Dividenden, sodass du die Division schriftlich rechnen kannst.

  Ist der Divisor kleiner als $1$, so ist der Quotient größer als der Dividend.

  Ist der Divisor hingegen größer als der Dividend, so ist der Wert des Quotienten kleiner als $1$.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $3,3 : 0,3 = 33:3 =11$.

  Lösung

  Um das Ergebnis einer Division grob abzuschätzen, kannst du zuerst nur die Vorkommazahlen berücksichtigen: Bei $123:4,1$ ist der Dividend etwas größer als $120$, der Divisor nicht viel größer als $4$. Der Quotient sollte also nicht weit von $120:4=30$ entfernt sein. Ob er größer, kleiner oder gleich $30$ ist, musst du durch eine schriftliche Division ausrechnen. Du findest dann:

  $123:4,1 = 1230 : 41 = 30$

  Dividierst du durch einen Dezimalbruch, der kleiner ist als $1$, so muss der Quotient größer sein als der Dividend:

  $1234:0,2 = 6.170$

  Ist dagegen der Quotient kleiner als $1$, so muss der Divisor größer sein als der Dividend:

  $12,3:41 = 0,3$

  Mit diesen Vorüberlegungen kannst du einige der möglichen Paarungen ausschließen. Rechnest du die Divisionen schriftlich, so findest du folgende Gleichungen:

  • $1234:0,2 = 6.170$

  • $123,45:1,5= 82,3$

  • $123:4,1 = 30$

  • $12,34:2=6,17$

  • $12,3:41 = 0,3$

• Erschließe den Divisor bzw. den Quotienten.

  Tipps

  Dividierst du einen Dezimalbruch durch $0,9$, so ist der Quotient größer als der Dividend.

  Dividierst du einen Dezimalbruch durch $0,6$, so ist der Quotient fast doppelt so groß wie der Dividend.

  Besteht der Wert des Quotienten aus einem Dezimalbruch, welcher in der Lösung nicht sinnvoll erscheint, so muss das Ergebnis gerundet werden.

  Beispiel: Passen laut Rechnung $13,8$ Bäume auf ein Feld, so passen in der Realität lediglich $13$ rauf. Hier kann nicht aufgerundet werden, da man sonst ein größeres Feld benötigen würde.

  Lösung

  Um die richtige Aufteilung zu finden, musst du jeweils die Breite des Feldes durch die Breite der Streifen oder die Anzahl der Teilungen dividieren.

  • Ginas Birnenwiese hat die Breite $43,2~\text m$. Sie wählt den Abstand $0,6~\text m$. Auf der Breite des Feldes haben daher $43,2:0,6 = 72$ Birnbäume nebeneinander Platz.

  • Ginas Pflaumenfeld ist $72,9~\text m$ breit. Der Abstand zwischen den Bäumen soll hier stolze $8,1~\text m$ betragen. Es passen dann aber nur $72,9:8,1 = 9$ Bäume nebeneinander auf die Breite des Feldes.

  • Die Mirabellenbäume pflanzt Gina auf ein schmales Feld von nur $13,24~\text m$ Breite. Sie setzt die Bäume zuerst auf einen Abstand von nur $0,1~\text m$. Es passen dann $13,24:0.1=132,4$ Bäumchen auf die Breite des Feldes. Das ist natürlich nur ein rechnerischer Wert, denn Gina pflanzt keine Bruchteile von Bäumen. Deshalb passen nur $132$ Bäumchen auf diese Breite. Nachdem Gina ihre Mirabellensetzlinge vereinzelt hat, passen nur noch $16$ Bäumchen nebeneinander. Die Breite in $\text m$ für jedes dieser Bäumchen beträgt dann nämlich $13,24:16 = 0,8275 \approx 0,83$.

  • In einer Reihe pflanzt Gina $81$ Apfelbäume im Abstand von je einem Meter. Die Reihe hat also eine Länge von $81~\text m$. Gina teilt die Reihe in Abschnitte von $3,24~\text m$ auf. Die Anzahl dieser Abschnitte ist dann $81:3,24 = 25$.

  • Ihre Blaubeersträucher setzt Gina auf einen Streifen von nur $8,73~\text m$ Breite. Da sie nur $9$ Sträucher auf dieser Breite setzt, hat jeder Strauch $8,73~\text{m}:9 = 0,97~\text m$ Platz zum Wachsen.

• Beschreibe das Rechnen mit Dezimalbrüchen.

  Tipps

  In einem Dezimalbruch steht ein Komma.

  Vor dem Komma stehen in einem Dezimalbruch die Einer, Hunderter, Tausender usw., hinter dem Komma die Zehntel, Hundertstel, Tausendstel usw.

  Teilst du einen Dezimalbruch durch $100$, so verschiebst du das Komma um zwei Stellen nach links und veränderst die bestehenden Ziffern nicht.

  Lösung

  Ein Dezimalbruch ist immer eine Kommazahl. Du kannst jeden Dezimalbruch mit einer endlichen Anzahl von Ziffern in einen Bruch umwandeln. Jede der Nachkommastellen gehört dabei zu einer Zehnerpotenz im Nenner. Die erste Nachkommastelle ist die Zehntelstelle, die zweite Nachkommastelle die Hundertstelstelle.

  Analog gehören die Vorkommastellen zu Zehnerpotenzen. Die erste Vorkommastelle ist die Einerstelle, die zweite Vorkommastelle die Zehnerstelle. Es wird immer ausgehend vom Komma gezählt.

  Einen Dezimalbruch multiplizierst du mit $10$, indem du das Komma um eine Stelle nach rechts verschiebst. Teilst du durch $10$, so musst du das Komma um eine Stelle nach links verschieben.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  $0,1$ ist auch eine Zehnerpotenz.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Dividierst du einen Dezimalbruch durch eine Zehnerpotenz $>1$, so hat der Quotient nicht weniger Stellen als der Dividend.“ Bei der Division eines Dezimalbruchs durch eine Zehnerpotenz $>1$ verschiebst du nur das Komma nach links. Dabei geht keine Ziffer verloren, es kommen aber evtl. Nullen hinzu. Anders ist es, wenn du eine ganze Zahl dividierst: Bei $1 000 : 10 = 100$ hat der Quotient eine Stelle weniger als der Dividend. Bei Dezimalbrüchen kommt das aber nicht vor.

  • „Dividierst du einen Dezimalbruch durch eine Zehnerpotenz $<1$, so kann der Quotient weniger Stellen haben als der Dividend.“ Eine Zehnerpotenz $<1$ ist z. B. $0,01$. Dividierst du $0,12$ durch $0,01$, so erhältst du $0,12:0,01 = 12$. Der Dividend hat drei Stellen, der Quotient nur zwei.

  • „Division durch eine Zehnerpotenz $<1$ ist dasselbe wie Multiplikation mit einer entsprechenden Zehnerpotenz $>1$.“ Die Division durch $0,1 = \frac{1}{10}$ geschieht durch die Verschiebung des Kommas um eine Stelle nach rechts. Das entspricht einer Multiplikation mit $10$. Analoges gilt für weitere Zehnerpotenzen.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Dividierst du einen Dezimalbruch durch einen anderen Dezimalbruch, so ist das Ergebnis stets wieder ein Dezimalbruch.“ So ist z. B. $2,4 : 0,2 = 24:2 = 12$. Dividend und Divisor sind Dezimalbrüche, aber der Quotient ist eine ganze Zahl.

  • „Dividierst du einen Dezimalbruch durch eine Zehnerpotenz, so verschiebst du das Komma nach links.“ Die Aussage ist richtig, wenn du durch eine Zehnerpotenz $>1$ dividierst. Aber auch $1$ ist eine Zehnerpotenz, nämlich $10^0$. Bei Division durch $1$ bleibt der Dividend unverändert. Bei Division durch eine Zehnerpotenz $<1$ verschiebst du auch das Komma, aber nicht nach links, sondern nach rechts.

  • „Dividierst du einen Dezimalbruch durch einen weiteren Dezimalbruch, so hat der Quotient mindestens so viele Nachkommastellen wie der Dividend.“ Die Anzahl der Nachkommastellen des Quotienten hängt durch keine allgemein gültige Regel von der Anzahl der Nachkommastellen von Dividend und Divisor ab. Dass die Aussage falsch ist, siehst du z. B. bei der Division $2,4:0,2 = 12$.