Dezimalbrüche multiplizieren

Dezimalbrüche multiplizieren Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Multiplizieren von Dezimalbrüchen.

  Tipps

  Beim Verschieben des Kommas einer Zahl nach rechts wird die Zahl größer.

  Liefert das Komma einer Zahl keine zusätzlichen Informationen, kannst du es weglassen.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Bei der Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz größer als $1$ verschiebst du das Komma der Dezimalzahl um die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz nach links.“

  • Beim Verschieben des Kommas nach rechts wird die Zahl größer. Multiplizierst du mit einer Zehnerpotenz größer als $1$, muss das Ergebnis größer werden. Demnach musst du das Komma hier nach rechts verschieben.

  „Multiplizierst du eine Zahl mit $0,001$, musst du das Komma der Zahl um $2$ Stellen nach links verschieben.“

  • Bei der Multiplikation mit Zahlen wie $0,1$; $0,01$; $0,001$; $...$ musst du das Komma um die Anzahl der Nullen (dabei wird auch die Null vor dem Komma mitgezählt) nach links verschieben. Hier sind das drei Stellen.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Steht das Komma ganz am Ende einer Zahl, kannst du es weglassen.“

  • In diesem Fall ist der Wert der Nachkommastelle gleich Null. Diese kann somit auch weggelassen werden und somit ist auch das Komma überflüssig.

  „Multiplizierst du zwei Dezimalzahlen, kannst du das Komma zunächst ignorieren und die Lösung stellenweise berechnen. Setze anschließend das Komma so, dass das Ergebnis dieselbe Anzahl an Nachkommastellen hat wie die beiden Faktoren zusammen.“

  • So gehst du bei der Multiplikation von zwei Dezimalzahlen vor.

  „Musst du das Komma um mehr Stellen verschieben, als die Zahl hat, dann kannst du so viele Nullen zu der Zahl hinzufügen, wie du brauchst.“

  • Beispiel $1$: $0,75 \cdot 0,1 = 0,075$ Hier wurde eine Null links hinzugefügt.
  • Beispiel $2$: $0,75 \cdot 1000 = 0750, = 750$ Hier wurde eine Null rechts hinzugefügt.

• Beschreibe die Multiplikation von Dezimalbrüchen.

  Tipps

  Bei der Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz $>1$ verschiebst du das Komma der Dezimalzahl um die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz nach rechts.

  Bei der Multiplikation von Dezimalzahlen ignorierst du das Komma zunächst. Anschließend verschiebst du das Komma des Ergebnisses so, dass das Ergebnis dieselbe Anzahl an Nachkommastellen hat, wie die beiden ursprünglichen Zahlen zusammen.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Zunächst möchte er $0,75~\text{kg}$ Fliegenpilze kaufen, die $10$ Rubine pro Kilo kosten. Also rechnet er:

  $0,75 \cdot 10=7,5$“

  • Bei der Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz verschiebst du das Komma der Dezimalzahl um die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz nach rechts. Hier kannst du also das Komma um eine Stelle nach rechts verschieben.

  „Würde er $0,75$ mit $0,01$ multiplizieren, dann ergäbe das:

  $0,75 \cdot 0,01=0,0075$“

  • Bei der Multiplikation mit Zahlen wie $0,1$; $0,01$; $0,001$; $...$ musst du das Komma um die Anzahl der Nullen (dabei wird auch die Null vor dem Komma mitgezählt) nach links verschieben. Bei $0,01$ musst du also das Komma um zwei Stellen nach links verschieben.

  „Anschließend möchte er fünf Alraunenwurzeln kaufen, die jeweils $2,98$ Rubine kosten. Also rechnet er:

  $5 \cdot 2,98$

  Hier berechnet er zunächst:

  $5 \cdot 298= 1490$“

  • Bei der Multiplikation von Dezimalzahlen ignorierst du das Komma zunächst.

  „Anschließend gibt er die Lösung an, indem er das Komma verschiebt:

  $5 \cdot 2,98=14,90$“

  • Das Ergebnis muss dieselbe Anzahl an Nachkommastellen haben wie die beiden Faktoren zusammen. Hier haben die Faktoren zusammen $2$ Nachkommastellen. Also musst du das Komma entsprechend setzen.

• Erschließe die Lösungen der Rechnungen.

  Tipps

  Multiplizierst du mit einer Zehnerpotenz größer als $1$, dann verschiebst du das Komma um die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz nach rechts, z. B.

  $0,873 \cdot 100=87,3$.

  Bei einer Multiplikation mit einer Zehnerpotenz kleiner als $1$, betrachtest du die Anzahl der Stellen, um die das Komma der Zehnerpotenz von $1$ verschoben ist (bei $0,001$ sind das drei Stellen). Dann verschiebst du das Komma um die Anzahl der Stellen nach links, z. B.

  $87,3 \cdot 0,01=0,873$.

  Musst du das Komma weiter verschieben, als die Zahl Stellen hat, kannst du so viele Nullen wie nötig einfügen.

  Lösung

  Multiplizierst du mit einer Zehnerpotenz größer als $1$, dann verschiebst du das Komma um die Anzahl der Nullen der Zehnerpotenz nach rechts. $1~000$ hat drei Nullen. Also erhältst du folgende Rechnung:

  • $0,329 \cdot 1~000=329$

  Bei einer Multiplikation mit einer Zehnerpotenz kleiner als $1$, betrachtest du die Anzahl der Stellen, um die das Komma der Zehnerpotenz von $1$ verschoben ist (bei $0,001$ sind das drei Stellen). Dann verschiebst du das Komma um die Anzahl der Stellen nach links. Also:

  • $329 \cdot 0,001=0,329$

  Die anderen Rechnungen funktionieren genauso. Musst du das Komma weiter verschieben, als die Zahl Stellen hat, kannst du so viele Nullen wie nötig einfügen.

  • $57 \cdot 0,1=5,7$

  • $98 \cdot 1~000=98~000$

  • $0,12 \cdot 100=12$

• Ermittle die Ergebnisse der Rechnungen.

  Tipps

  So sieht der Beginn der ersten Rechnung aus:

  $\begin{array}{cccccc} 1&2,&1&8&\cdot &1,&3\\ \hline &&1&2&1&8&&\\ +&&&3&6&5&4&\\ \end{array}$

  Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren.

  Lösung

  Berechne die Lösungen, indem du eine schriftliche Multiplikation durchführst, bei der du die Kommata zunächst ignorierst. Dabei multiplizierst du stellenweise und schreibst die hinterste Zahl jedes einzelnen Ergebnisses direkt unter die Stelle, die du gerade berechnest. Nachdem du alle Stellen berechnet hast, kannst du die Teilergebnisse zusammenzählen. Zuletzt musst du herausfinden, wo das Komma liegt. Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren. So erhältst du für die erste Rechnung:

  $\begin{array}{llllll} 1&2~,&1&8&\cdot &1~,&3\\ \hline &&1&2&1&8&&\\ +&&&3&6&5&4&\\ &&&&_1&&\\ \hline &&1&5~,&8&3&4\\ \end{array}$

  Die anderen Lösungen kannst du genauso bestimmen. Dann erhältst du:

  • $1,8 \cdot 10,398=18,7164$

  • $2,8 \cdot 3,99=11,172$

  • $3,5 \cdot 3,5=12,25$

• Ergänze die Multiplikation von Dezimalzahlen.

  Tipps

  Du kannst zuerst eine schriftliche Multiplikation durchführen, bei der du die Kommata ignorierst. Dabei multiplizierst du stellenweise und schreibst die hinterste Zahl jedes einzelnen Ergebnisses direkt unter die Stelle, die du gerade berechnest.

  Nachdem du alle Stellen berechnet hast, kannst du die Teilergebnisse zusammenzählen.

  Zuletzt musst du herausfinden, wo das Komma steht. Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren.

  Lösung

  Du kannst zuerst eine schriftliche Multiplikation durchführen, bei der du die Kommata ignorierst. Dabei multiplizierst du stellenweise und schreibst die hinterste Zahl jedes einzelnen Ergebnisses direkt unter die Stelle, die du gerade berechnest. Nachdem du alle Stellen berechnet hast, kannst du die Teilergebnisse zusammenzählen. Zuletzt musst du herausfinden, wo das Komma steht. Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren.

• Erschließe, ob die Rechnungen korrekt durchgeführt wurden.

  Tipps

  Berechne die Multiplikationen einzeln von links nach rechts. Rechne also in der ersten Zeile zuerst:

  $0,04 \cdot 1~000$

  und multipliziere das Ergebnis mit $23,54$.

  Lösung

  Berechne die Multiplikationen einzeln von links nach rechts. Dann erhältst du, dass diese Rechnungen falsch sind:

  • $12,83 \cdot 1,9 \cdot 0,01 \neq 0,377$

  Hier erhältst du für die erste Rechnung:

  $12,83 \cdot 1,9 = 24,377$

  Beachte, dass das Ergebnis dieselbe Anzahl an Nachkommastellen hat wie beide Faktoren zusammen. Da du anschließend mit $0,01$ multiplizierst, musst du das Komma um zwei Stellen nach links verschieben. So erhältst du:

  $ 24,377 \cdot 0,01= 0,24377$

  
  

  • $1,59 \cdot 8,23 \cdot 100 \neq 130,857$

  Hier erhältst du für die erste Rechnung:

  $1,59 \cdot 8,23 = 13,0857$

  Wegen der Multiplikation mit $100$ verschieben wir das Komma um zwei Stellen nach rechts:

  $13,0857 \cdot 100 = 1308,57$

  Diese Rechnungen wurden korrekt durchgeführt:

  
  

  • $0,04 \cdot 1~000 \cdot 23,54=941,6$

  Es bietet sich hier an, zunächst das Komma eines Faktors nach links zu verschieben, da mit $1~000$ multipliziert wird. Anschließend wird die Multiplikation mit dem übrigen Faktor durchgeführt. Da nach der Kommaverschiebung die Faktoren insgesamt nur noch zwei Nachkommastellen besitzen, hat auch das Produkt zwei Nachkommastellen.

  $\begin{array}{lr} &&0,04 \cdot 1000 \cdot 23,54 \\ &=& 40 \cdot 23,54 \\ &=& 941,60 \end{array}$

  
  

  • $15,9 \cdot 9,4 \cdot 0,1=14,946$

  Hier wird zunächst die Kommaverschiebung eines Faktors nach rechts durchgeführt, da mit $0,1$ multipliziert wird. Nun haben die beiden Faktoren, die anschließend miteinander multipliziert werden, insgesamt drei Nachkommastellen, weshalb auch das Produkt drei Nachkommastellen hat.

  $\begin{array}{lr} &&15,9 \cdot 9,4 \cdot 0,1 \\ &=& 15,9 \cdot 0,94 \\ &=& 14,946 \end{array}$