Dezimalbrüche mit Zehnerpotenzen multiplizieren und dividieren

Dezimalbrüche mit Zehnerpotenzen multiplizieren und dividieren Übung

• Beschreibe die Kommaverschiebung bei der Multiplikation von Dezimalzahlen mit Zehnerpotenzen.

  Tipps

  $1,245 \cdot 100 = 124,5$

  Multiplizieren wir mit einer Zehnerpotenz, dann verschiebt sich das Komma um so viele Stellen nach rechts, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.

  Lösung

  Mit Zehnerpotenzen können wir besonders leicht multiplizieren.

  Multiplizieren wir eine ganze Zahl mit einer Zehnerpotenz, hängen wir einfach so viele Nullen an die Zahl, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.

  Beim Multiplizieren von Dezimalzahlen mit Zehnerpotenzen gelten folgende Regeln:

  • Multiplizieren wir einen Dezimalbruch mit $\mathbf{10}$, so verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach rechts.
  • Multiplizieren wir einen Dezimalbruch mit $\mathbf{100}$, so verschiebt sich das Komma um zwei Stellen nach rechts.
  • Multiplizieren wir einen Dezimalbruch mit $\mathbf{1\,000}$, so verschiebt sich das Komma um drei Stellen nach rechts.

  Beispiele:

  • $3,567 \cdot 10 = 35,67$
  • $3,567 \cdot 100 = 356,7$
  • $3,567 \cdot 1\,000 = \mathbf{3\,567}$

  Allgemein verschiebt sich das Komma also um so viele Stellen nach rechts, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.

• Gib an, welche Rechnungen richtig sind.

  Tipps

  Zähle nach, um wie viele Stellen das Komma nach links gewandert ist.

  Lösung

  Beim Dividieren von Dezimalbrüchen durch Zehnerpotenzen gelten folgende Regeln:

  • Dividieren wir einen Dezimalbruch durch $10$, so verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach links.
  • Dividieren wir einen Dezimalbruch durch $100$, so verschiebt sich das Komma um zwei Stellen nach links.
  • Dividieren wir einen Dezimalbruch durch $1\,000$, so verschiebt sich das Komma um drei Stellen nach links.

  Allgemein verschiebt sich das Komma also um so viele Stellen nach links, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.

  Wir wenden die Regel an und erkennen:

  Folgende Rechnungen sind korrekt:

  • $6,23:1\,000=0,00623$
  • $634,5:10=63,45$

  Folgende Rechnungen sind nicht korrekt:

  • $95:10=0,95 \quad$ Das Komma muss nur um eine, nicht um zwei Stellen verschoben werden: $\quad 95:10=9,5$
  • $634,5:1\,000=6,345 \quad$ Das Komma muss um drei, nicht um zwei Stellen verschoben werden: $\quad 634,5:1\,000=0,6345$

• Berechne das Ergebnis der Division.

  Tipps

  $10^3=1\,000$

  Verschiebe das Komma um so viele Stellen nach links, wie der Divisor Nullen hat.

  Du kannst, um das Komma zu verschieben, Nullen links von der Zahl vor dem Komma ergänzen, nicht jedoch zwischen den Ziffern der Zahl.

  Lösung

  Beim Dividieren von Dezimalbrüchen durch Zehnerpotenzen gelten folgende Regeln:

  • Dividieren wir einen Dezimalbruch durch $10$, so verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach links.
  • Dividieren wir einen Dezimalbruch durch $100$, so verschiebt sich das Komma um zwei Stellen nach links.
  • Dividieren wir einen Dezimalbruch durch $1\,000$, so verschiebt sich das Komma um drei Stellen nach links.

  Allgemein verschiebt sich das Komma also um so viele Stellen nach links, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.

  Wenn wir das Komma weiter verschieben müssen, als die dargestellte Zahl Stellen hat, so ergänzen wir Nullen.
  Beispiel: $60,3:1\,000 =0060,3:1\,000 = 0,0603 $

  Wir wenden die Regel an:

  • $6,3:10 = 0,63$
  • $6,3:10^3 = 6,3:1\,000 = 0,0063$
  • $0,63:10 = 0,063$
  • $60,3:1\,000 = 0,0603$
  • $0,603:100 = 0,00603$

• Ermittle, mit welcher Zahl multipliziert wurde.

  Tipps

  Überprüfe, um wie viele Stellen das Komma nach rechts verschoben wurde.

  Beispiel: $21,587 \cdot \square = 2\,158,7$

  Wir zählen ab, um wie viele Stellen das Komma nach rechts verschoben wurde: Es sind zwei Stellen. Also wurde mit $100$ multipliziert.

  Lösung

  Mit Zehnerpotenzen können wir besonders leicht multiplizieren.

  Beim Multiplizieren von Dezimalbrüchen mit Zehnerpotenzen gelten folgende Regeln:

  • Multiplizieren wir einen Dezimalbruch mit $10$, so verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach rechts.
  • Multiplizieren wir einen Dezimalbruch mit $100$, so verschiebt sich das Komma um zwei Stellen nach rechts.
  • Multiplizieren wir einen Dezimalbruch mit $1\,000$, so verschiebt sich das Komma um drei Stellen nach rechts.

  Allgemein verschiebt sich das Komma also um so viele Stellen nach rechts, wie die Zehnerpotenz Nullen hat. Muss das Komma weiter verschoben werden als die Zahl Stellen hat, so können wir nach der letzten Nachkommastelle Nullen ergänzen.

  Wir betrachten die Rechnungen und zählen ab, um wie viele Stellen sich das Komma verschoben hat. Die Anzahl der Stellen entspricht dann der Anzahl der Nullen des Faktors:

  Multiplikationen mit dem Faktor $10$:

  • $0,0006 \cdot 10 = 0,006$
  • $3,12 \cdot 10 = 31,2$

  Multiplikationen mit dem Faktor $100$:

  • $3,535 \cdot 100 = 353,5$
  • $0,0043 \cdot 100 = 0,43$

  Multiplikationen mit dem Faktor $1\,000$:

  • $3,77 \cdot 1\,000 = 3\,770$
  • $99,001 \cdot 1\,000 = 99\,001$

  Multiplikationen mit dem Faktor $10\,000$:

  • $134,0057 \cdot 10\,000 = 1\,340\,057$
  • $0,004 \cdot 10\,000 = 40$

• Stelle die Zehnerpotenzen als natürliche Zahlen dar.

  Tipps

  Der Exponent (die Hochzahl) gibt dir die Anzahl der Nullen an.

  Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise dafür, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird.

  Beispiel:
  $10^3=10 \cdot 10 \cdot 10$

  Lösung

  Wenn wir die Zahl $10$ potenzieren, so sprechen wir von Zehnerpotenzen. Die Potenz ist dabei die Kurzschreibweise der wiederholten Multiplikation der Zahl $10$ mit sich selbst:

  • $10^1=10$
  • $10^2=10 \cdot 10 =100$
  • $10^3=10 \cdot 10 \cdot 10 =1\,000$
  • $10^4=10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 =10\,000$

  Betrachten wir die Beispiele, so erkennen wir, dass der Exponent gleich der Anzahl der Nullen im Ergebnis ist.

• Ordne die Rechenausdrücke von klein nach groß.

  Tipps

  Berechne zuerst jeden Rechenausdruck.

  $10^2=100$

  $10^3=1\,000$

  Beim Multiplizieren wird das Komma nach rechts verschoben.

  Beim Dividieren wird das Komma nach links verschoben.

  Lösung

  Beim Multiplizieren von Dezimalzahlen mit Zehnerpotenzen verschiebt sich das Komma um so viele Stellen nach rechts, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.
  Beim Dividieren von Dezimalzahlen durch Zehnerpotenzen verschiebt sich das Komma um so viele Stellen nach links, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.

  Mithilfe dieser Regeln berechnen wir zuerst die Rechenausdrücke und sortieren sie dann von klein nach groß. Dazu vergleichen wir zunächst die Zahlen, die vor dem Komma stehen. Sind diese identisch, dann vergleichen wir die Nachkommastellen einzeln von links nach rechts:

  • $30,4:10^3 = 30,4:1\,000 = 0,0304$
  • $4,1:10 = 0,41$
  • $135,6:100 = 1,356$
  • $0,0801 \cdot 1\,000 = 80,1$
  • $1,4 \cdot 10^2 = 1,4 \cdot 100 = 140$
  • $0,31 \cdot 10^4 = 0,31 \cdot 10\,000 = 3\,100$

  $0,0304 \lt 0,41 \lt 1,356 \lt 80,1 \lt 140 \lt 3\,100$