Wissenschaftliche Schreibweise

Wissenschaftliche Schreibweise Übung

• Erkläre, wie man von der Dezimalschreibweise in die wissenschaftliche Schreibweise umrechnet.

  Tipps

  Bei der Umrechnung von der Dezimalschreibweise in die wissenschaftliche Schreibweise werden stets Zehnerpotenzen multipliziert. Addition taucht dabei nicht auf.

  Die wissenschaftliche Schreibweise dient der kürzestmöglichen Darstellung großer und kleiner Zahlen. Daher sollte der Koeffizient auch nur eine Stelle vor dem Komma haben.

  Lösung

  Die wissenschaftliche Schreibweise dient der kürzestmöglichen Darstellung großer und kleiner Zahlen. Daher sollte der Koeffizient auch nur eine Stelle vor dem Komma haben. Also nehmen wir eine Zahl größer oder gleich $1$, aber kleiner $10$.

  • Der Koeffizient $n$ in der wissenschaftlichen Schreibweise soll größer als $10$ sein.

  Diese Aussage ist falsch, weil eine Zahl größer als $10$ mehr als eine Stelle vor dem Komma hat.

  • Der Koeffizient $n$ soll kleiner $10$ und größer oder gleich $1$ sein.

  Diese Aussage ist richtig, weil eine Zahl aus diesem Bereich genau eine Stelle vor dem Komma hat. Eine Zahl kleiner als $1$ hätte eine $0$ vor dem Komma. Da aber alle anderen Ziffern nach der Null wieder auftauchen würden, wäre der Ausdruck auch wieder länger.

  Bei der Umrechnung von der Dezimalschreibweise in die wissenschaftliche Schreibweise werden stets Zehnerpotenzen multipliziert. Addition taucht dabei nicht auf.

  • $10^{a}$ zeigt an, wie oft wir den Koeffizienten $n$ mit $10$ addieren müssen, um die ursprüngliche Zahl wieder zu erhalten.

  Diese Aussage ist falsch, weil die Umrechnung immer über die Multiplikation funktioniert. Um von Zehnern zu Hundertern zu kommen, musst du auch mit $10$ multiplizieren und nicht addieren.

  • $10^{a}$ zeigt an, wie oft wir den Koeffizienten $n$ mit $10$ multiplizieren müssen, um die ursprüngliche Zahl wieder zu erhalten.

  Diese Aussage ist richtig: Bei der Umrechnung wird multipliziert.

  Bei der Umrechnung von der Dezimalschreibweise in die wissenschaftliche Schreibweise wird das Komma hinter die erste Stelle der Zahl verschoben, sodass eine Zahl kleiner $10$, aber größer oder gleich $1$ herauskommt. Diese erste Stelle wird nicht übersprungen. Also erscheint in der Zehnerpotenz ein Exponent, der um $1$ niedriger ist als die Anzahl der Stellen der ursprünglichen Zahl.

  • Bei der Umrechnung der Zahl $1\,000\,000$ in die wissenschaftliche Schreibweise bewegt man das Komma um $6$ Stellen nach links. Dann muss man mit $10^{6}$ multiplizieren, um die ursprüngliche Zahl wieder zu erhalten.

  Das ist richtig. Denn die Zahl $1\,000\,000$ hat $7$ Stellen, man muss das Komma um eine Stelle weniger, also um $6$ Stellen, verschieben. Demnach wird auch mit $10^{6}$ multipliziert.

  • Bei der Umrechnung der Zahl $1\,000\,000$ in die wissenschaftliche Schreibweise bewegt man das Komma um $6$ Stellen nach links. Dann muss man mit $10^{7}$ multiplizieren, weil die ursprüngliche Zahl $7$ Stellen hat.

  Das ist falsch: Man verschiebt das Komma um $6$ Stellen. Folglich muss man anschließend mit $10^{6}$ multiplizieren, um zur ursprünglichen Zahl zu gelangen. Der Exponent ist um $1$ kleiner als die Anzahl der Stellen in der ursprünglichen Zahl.

• Gib die Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise oder in Dezimalschreibweise wieder.

  Tipps

  Wie oft musst du das Komma verschieben, um auf eine Zahl größer oder gleich $1$, aber kleiner $10$ zu kommen? Diese Zahl erscheint im Exponenten der Zehnerpotenz.

  Musst du das Komma nach links oder rechts verschieben?
  Nach links bedeutet, du erhältst einen positiven Exponenten.
  Nach rechts bedeutet, du erhältst einen negativen Exponenten.

  Lösung

  Frage dich bei der Umwandlung von der Dezimalschreibweise in die wissenschaftliche Schreibweise immer zuerst, wie die Zahl größer oder gleich $1$ und kleiner $10$ aussieht, die in der wissenschaftlichen Schreibweise auftauchen muss: Musst du dazu das Komma nach rechts oder nach links verschieben?
  Bei großen Zahlen verschiebst du nach links. Das bedeutet, dass in der Zehnerpotenz ein positives Vorzeichen auftaucht.
  Bei kleinen Zahlen verschiebst du nach rechts. Das bedeutet, dass in der Zehnerpotenz ein negatives Vorzeichen auftaucht.

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  Bei $1\,000\,000$ ist diese Zahl $1$, weil $1\leq1<10$ gilt. Das Komma verschiebst du um $6$ Stellen nach links. Der Exponent der Zehnerpotenz ist positiv:

  $1\,000\,000=1\cdot10^{6}$

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  Bei $5\,120\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000$ ist diese Zahl $5,12$, weil $1\leq5,12<10$ gilt. Das Komma verschiebst du um $30$ Stellen nach links. Der Exponent ist positiv.

  $5\,120\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000=5,12\cdot10^{30}$

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  Bei $0,000\,000\,000\,000\,054\,6$ ist diese Zahl $5,46$, weil $1\leq5,46<10$ gilt. Das Komma verschiebst du um $14$ Stellen nach rechts. Der Exponent ist negativ.

  $0,000\,000\,000\,000\,054\,6=5,46\cdot10^{-14}$

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  Bei der Umwandlung von der wissenschaftlichen Schreibweise in die Dezimalschreibweise musst du auf den Exponenten in der Zehnerpotenz achten: Er gibt die Zahl der Stellen an, um die sich das Komma verschiebt.
  Ein positiver Exponent heißt, das Komma verschiebt sich nach rechts.
  Ein negativer Exponent heißt, das Komma verschiebt sich nach links.

  Bei $2,25\cdot10^4$ verschiebt sich das Komma um $4$ Stellen nach rechts:

  $2,25\cdot10^4=22\,500$

• Ergänze die Einwohnerzahlen in Dezimalschreibweise oder in wissenschaftlicher Schreibweise.

  Tipps

  Achte auf die Anzahl der Nullen in der Dezimalschreibweise: So viele Male musst du das Komma verschieben.

  Achte auf den Exponenten in der wissenschaftlichen Schreibweise: So viele Nullen musst du für die Dezimalzahl ergänzen.

  Lösung

  In dieser Aufgabe werden große Dezimalzahlen, das heißt Dezimalzahlen, die größer sind als $1$, in die wissenschaftliche Schreibweise mit Zehnerpotenzen umgeformt und umgekehrt.
  Außerdem tauchen hier in den Dezimalzahlen nur die Dreien am Anfang als von null verschiedene Zahlen auf. Daher ist hier die Berechnung besonders einfach.

  Die Zahl der Nullen in Dezimalschreibweise entspricht genau dem Exponenten der Zehnerpotenz in der wissenschaftlichen Schreibweise, weil nur die $3$ als Koeffizient infrage kommt. Wäre die Einwohnerzahl genauer angegeben, würde das Auszählen der Nullen nicht funktionieren!

  San Marino

  San Marino hat etwa $30\,000$ Einwohner*innen. Die Zahl $30\,000$ hat insgesamt $4$ Nullen. Also ist $4$ auch der Exponent der Zehnerpotenz in der wissenschaftlichen Schreibweise. Daraus folgt:

  $30\,000=3\cdot10^4$

  Peru

  Peru hat etwa $3\cdot10^{7}$ Einwohner*innen. Der Exponent ist $7$. Also hat die zugehörige Dezimalzahl $7$ Nullen. Daraus folgt:

  $3\cdot10^{7}=30\,000\,000$

  Litauen

  Litauen hat etwa $3\,000\,000$ Einwohner*innen. Die Zahl $3\,000\,000$ hat insgesamt $6$ Nullen. Also ist $6$ auch der Exponent der Zehnerpotenz in der wissenschaftlichen Schreibweise. Daraus folgt:

  $3\,000\,000=3\cdot10^6$

  Die USA

  Die USA haben etwa $3\cdot10^{8}$ Einwohner*innen. Der Exponent ist $8$. Also hat die zugehörige Dezimalzahl $8$ Nullen. Daraus folgt:

  $3\cdot10^{8}=300\,000\,000$

  Island

  Island hat etwa $300\,000$ Einwohner*innen. Die Zahl $300\,000$ hat insgesamt $5$ Nullen. Also ist $5$ auch der Exponent der Zehnerpotenz in der wissenschaftlichen Schreibweise. Daraus folgt:

  $30\,000=3\cdot10^5$

• Ermittle die Dezimalschreibweise und die wissenschaftliche Schreibweise verschiedener Zahlwerte.

  Tipps

  Große Zahlen haben in ihrer wissenschaftlichen Schreibweise eine positive Zahl als Exponenten in der Zehnerpotenz.
  Kleine Zahlen haben eine negative Zahl als Exponenten in der Zehnerpotenz.

  Der Exponent gibt auch an, um wie viele Stellen du das Komma verschieben musst, um von der wissenschaftlichen Schreibweise zur Dezimalschreibweise zu kommen.

  Kannst du die Umrechnung in eine Richtung ausführen, kannst du ebenfalls in die andere Richtung rechnen. Du musst die Schritte nur umgekehrt anwenden.

  Lösung

  Bei der Umrechnung von Dezimalzahlen in die wissenschaftliche Schreibweise musst du das Komma so weit verschieben, dass eine Zahl $\geq1$ und $<10$ herauskommt.

  Bei sehr großen Zahlen steht das Komma hinter der Einerstelle. Dort wird es normalerweise nicht hingeschrieben, also musst du es dir hinzudenken.

  $403\,000\,000\,000\,000=403\,000\,000\,000\,000,0$

  Das Komma wird jetzt so weit nach links verschoben, dass es zwischen der ersten und der zweiten Ziffer der Zahl auftaucht. Zähle nun, wie oft du es verschoben hast. Diese Zahl nimmst du als Exponenten für die Zehnerpotenz in der wissenschaftlichen Schreibweise. In unserem Beispiel erhalten wir $4,03$. Mit jedem Schritt haben wir in Gedanken durch $10$ geteilt. Um zur ursprünglichen Zahl zurückzugelangen, müssen wir wieder ebenso oft mit der $10$ multiplizieren.
  Hier musste das Komma $14$ Schritte überwinden. Dann ist es $14$ Stellen nach links gewandert. Also muss in der wissenschaftlichen Schreibweise $10^{14}$ ergänzt werden:

  $403\,000\,000\,000\,000=4,03\cdot10^{14}$

  Genauso ergeben sich:

  $403\,000=4,03\cdot10^{5}$

  $1\,736\,000\,000\,000\,000=1,736\cdot10^{15}$ und $17\,360\,000=1,736\cdot10^{7}$

  Bei sehr kleinen Zahlen muss das Komma bis zum Zwischenraum nach der ersten Ziffer $\neq0$ nach rechts verschoben werden.

  Bei $0,000\,040\,3$ sind das $5$ Stellen. Dann steht da nämlich $4,03$. Um zur ursprünglichen Zahl zurückzugelangen, müssen wir wieder ebenso oft durch die $10$ dividieren. Also taucht die $5$ wieder als Exponent der Zehnerpotenz in der wissenschaftlichen Schreibweise auf, diesmal aber mit negativem Vorzeichen, weil wir ja dividieren:

  $0,000\,040\,3=4,03\cdot10^{-5}$

  Genauso ergibt sich:

  $0,000\,000\,173\,6=1,736\cdot10^{-7}$

  Bei der Umrechnung von der wissenschaftlichen Schreibweise in Dezimalschreibweise musst du den Exponenten der Zehnerpotenz beachten: Er gibt die Zahl der Stellen an, um die du verschieben musst. Ist der Exponent positiv, musst du das Komma nach rechts verschieben. Ist er negativ, nach links.

  Bei $4,9\cdot10^{6}$ ist der Exponent positiv. Das Komma muss $6$ Stellen nach rechts verschoben werden:

  $4,9\cdot10^{6}=4\,900\,000,0=4\,900\,000$

  Bei $4,9\cdot10^{-6}$ ist der Exponent negativ. Das Komma muss $6$ Stellen nach links verschoben werden:

  $4,9\cdot10^{-6}=0,000\,004\,9$

  Bei $4,9\cdot10^{14}$ ist der Exponent positiv. Das Komma muss $14$ Stellen nach rechts verschoben werden:

  $4,9\cdot10^{14}=490\,000\,000\,000\,000$

• Fasse dein Wissen über Zehnerpotenzen zusammen.

  Tipps

  Bei positivem Exponenten einer Zehnerpotenz multipliziert man Zehnen. Bei negativem Exponenten dividiert man durch Zehnen.

  Lösung

  • Bei jeder Zehnerpotenz $10^{a}$ ist $10$ die Basis und $a$ der Exponent.

  Diese Aussage ist wahr, denn sie entspricht den Definitionen von Basis und Exponent.

  • Wenn der Exponent $a$ einer Zehnerpotenz $10^{a}$ positiv ist, ist die Dezimalzahl größer als $1$.

  Diese Aussage ist wahr: Bei positivem Exponenten multipliziert man $a$-mal mit der $10$. Also ist die Zahl größer als $1$.

  • Wenn der Exponent $a$ einer Zehnerpotenz $10^{a}$ negativ ist, ist die Dezimalzahl kleiner als $1$.

  Diese Aussage ist wahr. Denn bei negativem Exponenten dividiert man $a$-mal durch die $10$. Also ist die Zahl kleiner als $1$.

  • Die Zehnerpotenz $10^{3}$ ist gleich der Dezimalzahl $1\,000$.

  Dieser Satz ist wahr. Der Exponent ist nämlich positiv, die Zehnen werden also multipliziert: $10^{3}=1\cdot10\cdot10\cdot10=1\,000$.

  • Die Zehnerpotenz $10^{-3}$ ist gleich der Dezimalzahl $0,001$.

  Dieser Satz ist ebenfalls wahr: Weil der Exponent negativ ist, werden die Zehnen folglich dividiert: $10^{-3}=\frac{1}{10~ \cdot ~10~ \cdot ~10}=\frac{1}{1\,000}=0,001$.

• Ermittle die Dezimalschreibweise der gegebenen Zahlen.

  Tipps

  Ein negativer Exponent bedeutet, dass du das Komma nach links verschieben musst.
  Ein positiver Exponent bedeutet, dass du das Komma nach rechts verschieben musst.

  Achte genau darauf, um wie viele Stellen du das Komma verschieben musst: Das sagt dir der Exponent in der Zehnerpotenz.

  Lösung

  Der Exponent der Zehnerpotenz in der wissenschaftlichen Schreibweise sagt dir, in welche Richtung und um wie viele Stellen das Komma verschoben werden muss:
  Ein negativer Exponent bedeutet, dass du das Komma nach links verschiebst, ein positiver Exponent, dass du das Komma nach rechts verschiebst.

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  Bei $4,64\cdot10^{-2}$ findest du als Exponenten ${-2}$. Also verschiebst du das Komma bei der $4,64$ um $2$ Stellen nach links:

  $4,64\cdot10^{-2}=0,046\,4$

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  Bei $2,73\cdot10^{2}$ findest du als Exponenten $2$. Demnach verschiebst du das Komma bei der $2,73$ um $2$ Stellen nach rechts:

  $2,73\cdot10^{2}=273$

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  Bei $1,6\cdot10^{4}$ findest du als Exponenten $4$. Darum verschiebst du das Komma bei der $1,6$ um $4$ Stellen nach rechts:

  $1,6\cdot10^{4}=16\,000$

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  Bei $7,812\cdot10^{2}$ findest du als Exponenten $2$. Demzufolge verschiebst du das Komma bei der $7,812$ um $2$ Stellen nach rechts:

  $7,812\cdot10^{2}=781,2$.

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  Bei $6\cdot10^{-3}$ findest du als Exponenten ${-3}$. Deshalb verschiebst du das Komma bei der $6$ um ${-3}$ Stellen nach rechts:

  $6\cdot10^{-3}=0,006$