Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen

Nullstellen einer Funktion 3. Grades berechnen

Du kennst sicher schon die quadratischen Funktionen. Aber weißt du auch, was eine Funktion 3. Grades ist? Das kannst du dir leicht überlegen:
Eine quadratische Funktion heißt quadratisch, weil im zugehörigen Funktionsterm $x^2$ als höchste Potenz der Variablen $x$ vorkommt. Bei einer Funktion 3. Grades kommt hingegen $x^3$ als höchste Potenz von $x$ vor.

Beispiel einer Funktion 3. Grades

Ein Beispiel für eine Funktion 3. Grades siehst du hier:

$h(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$

Ähnlich wie bei den quadratischen Funktionen können wir auch bei einer solchen Funktion nach charakteristischen Punkten suchen – insbesondere nach den Nullstellen der Funktion.

Allerdings gibt es für Funktionen 3. Grades keine Lösungsformel, wie du sie für quadratische Funktionen in Form der $pq$-Formel oder der Mitternachtsformel kennst.
Funktionen 3. Grades müssen in der Regel erst vereinfacht werden, bevor die Nullstellen berechnet werden können.

In diesem Text sehen wir uns drei Möglichkeiten an, wie die Nullstellen einer Funktion 3. Grades berechnet werden können.

Die genannten drei Methoden sehen wir uns im Folgenden an. Zuerst gehen wir aber noch auf die allgemeine Form von Funktionen 3. Grades ein.

Allgemeine Form einer Funktion 3. Grades

Wir betrachten ganzrationale Funktionen, also Funktionen, deren Funktionsterm ein Polynom mit der Variable $x$ ist. Damit können wir Funktionen 3. Grades in folgender Form allgemein darstellen:

$f(x)=a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$

Die Koeffizienten $a_3$, $a_2$, $a_1$ und $a_0$ sind dabei in der Regel reelle Zahlen, wobei einzelne Koeffizienten auch gleich $0$ sein können, wodurch die entsprechende Potenz von $x$ herausfällt.

Der Koeffizient $a_0$ wird konstantes Glied genannt (manchmal auch absolutes Glied). Formal ist $a_0$ mit der Potenz $x^0$ verknüpft, allerdings gilt $x^0 = 1$ und damit $a_0 \cdot x^0 = a_0$.

Um die Nullstellen einer Funktionen 3. Grades zu berechnen, setzen wir den Funktionsterm, also das gesamte Polynom, gleich $0$ und lösen nach $x$ auf. Alle Lösungen für $x$, die wir auf diese Weise erhalten, sind Nullstellen von $f(x)$. Es muss also gelten:

$a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$ für $x = x_\text{Nullstelle}$

Eine Funktionen 3. Grades wird auch kubische Funktion genannt. Eine kubische Funktion kann bis zu drei Nullstellen haben, d. h. der zugehörige Funktionsgraph kann die $x$-Achse einmal, zweimal oder dreimal schneiden. Jede kubische Funktion hat mindestens eine Nullstelle.
Wie die Nullstellen berechnet werden können, sehen wir uns nun an.

Nullstellen berechnen durch Ausklammern

Wir haben folgende Funktion gegeben:

$f(x) = 4x^3 + 3x^2 - x$

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir den Funktionsterm gleich $0$:

$4x^3 + 3x^2 - x = 0$

Diese Rechnung verdeutlicht, wie wir durch einfaches Ausklammern von $x$ den Funktionsterm so vereinfachen können, dass die Gleichung lösbar wird:

$x \cdot (4x^2 + 3x - 1) = 0$

Die erste Nullstelle ist nun offensichtlich. Denn der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt immer dann den Wert $0$ annimmt, wenn einer der Faktoren gleich $0$ ist. In diesem Fall heißt das: Wenn $x = 0$ ist, muss auch das Produkt $x \cdot (4x^2 + 3x - 1) = 0$ sein.
Die erste Nullstelle ist also: $x_1 = 0$

Der Satz vom Nullprodukt verdeutlicht außerdem, dass auch die Nullstellen des Faktors $(4x^2 + 3x - 1)$ Nullstellen des gesamten Polynoms und damit der Funktion $f(x)$ sein müssen.
Bei diesem Faktor handelt es sich um einen quadratischen Term, d. h. wir können nun eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden, um folgende Gleichung zu lösen:

$4x^2 + 3x - 1 = 0$

Wir wählen die Mitternachtsformel:

$x_{2,3}= \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8} = \dfrac{-3 \pm 5}{8} = \dfrac{-3}{~\,8} \pm \dfrac{5}{8}$

Also können wir berechnen:

$x_2 = \dfrac{-3}{~\,8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$

$x_3 = \dfrac{-3}{~\,8} - \dfrac{5}{8} = -\dfrac{8}{8} = -1$

Die kubische Funktion $f(x)$ hat also drei Nullstellen: $x_1 = 0$, $x_2 = \dfrac{1}{4}$ und $x_3 = -1$.

Beispiel – Ausklammern bei einer Funktion 3. Grades

Sehen wir uns noch folgendes Beispiel an:

$g(x)=-x^3 +x$

Wir setzen den Funktionsterm gleich $0$:

$-x^3 +x = 0$

Auch hier können wir wieder ein $x$ ausklammern. Noch deutlicher werden die Lösungen allerdings, wenn wir stattdessen $-x$ ausklammern:

$-x \cdot (x^2 - 1) = 0$

Der erste Faktor des Produkts liefert uns wieder die Nullstelle $x_1 = 0$. Den zweiten Faktor können wir mithilfe der dritten binomischen Formel umformen bzw. faktorisieren:

$-x \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) = 0$

Liegt ein Polynom in so einer faktorisierten Form vor, in der $x$ nur noch als lineare Potenz $\left( x^1 \right)$ vorkommt, spricht man von Linearfaktoren.
In dieser Form können wir nun auch die beiden anderen Nullstellen direkt sehen. Es muss $x_2 = 1$ und $x_3 = -1$ gelten, denn dann sind jeweils der zweite und dritte Faktor des Produkts gleich $0$.
(Das sind auch die Nullstellen, die wir durch Lösen der Gleichung $x^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{1} = \pm 1$ erhalten hätten.)

Eine Linearfaktorzerlegung kann nicht nur durch Ausklammern, sondern auch durch andere Methoden erreicht werden, wie wir im Folgenden zeigen.

Nullstellen berechnen durch Polynomdivision

Wir haben nun folgende Funktion gegeben:

$h(x)=x^3 + 6x^2 +11x + 6$

Ein Ausklammern von $x$ ist hier nicht möglich. Trotzdem müssen wir das Polynom irgendwie vereinfachen, um eine Lösung für die Gleichung zur Berechnung der Nullstellen zu finden:

$x^3 + 6x^2 +11x + 6 = 0$

Wir können eine Linearfaktorzerlegung erreichen, indem wir eine Polynomdivision durchführen. Dazu müssen wir das Polynom durch einen bereits bekannten Linearfaktor teilen.
Ein Linearfaktor hat die Form $(x - x_1)$, wobei $x_1$ eine Nullstelle des Polynoms ist.
Allerding ist allerdings uns noch gar keine Nullstelle bekannt. Wir müssen erst eine finden, um eine Polynomdivision durchführen zu können.

1. Schritt der Polynomdivision: Nullstelle erraten

Manchmal ist eine erste Nullstelle angegeben oder erschließt sich aus dem Zusammenhang der jeweiligen Aufgabe. Häufig müssen wir aber einfach eine Nullstelle erraten.
Dabei raten wir am besten nicht einfach so drauf los, sondern versuchen, systematisch vorzugehen. In der Regel ist es schlau, erstmal möglichst kleine, ganze Zahlen einzusetzen, also $1$ und $-1$, $2$ und $-2$ und so weiter.

Wir beginnen also bei der gegebenen Funktion mit $x = 1$:

$h(1) = 1^3 + 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 + 6 = 1 + 6 + 11 + 6 = 24 \neq 0$

$1$ ist demnach keine Nullstelle der Funktion $h(x)$. Testen wir als nächstes $x = -1$:

$h(-1) = (-1)^3 + 6 \cdot (-1)\,^2 +11 \cdot (-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$

Damit haben wir die erste Nullstelle der Funktion gefunden:
$x_1 = -1$

2. Schritt der Polynomdivision: Durchführung und Lösung

Die gefundene Nullstelle $x_1$ können wir jetzt nutzen, um eine Polynomdivision durchzuführen. Dazu teilen wir den Funktionsterm durch den Linearfaktor $(x - x_1)$, den wir mit der Nullstelle $x_1 = -1$ bilden können. Dieser lautet:

$(x - x_1) = (x - (-1)) = (x +1)$

Wir rechnen also:

$(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) : (x +1) =\,?$

Das Ergebnis der Polynomdivision ist:

$\quad (x^3+6x^2+11x + 6) : (x+1) = x^2+5x+6$
$\underline{-(x^3+x^2)}$
$\qquad \quad ~ 5x^2+11x+6$
$\qquad ~ \underline{-(5x^2+5x)}$
$\qquad \qquad \qquad ~ 6x+6$
$\qquad \qquad \quad \underline{-(6x+6)}$
$\qquad \qquad \qquad \qquad ~ 0$

Das Ergebnis $x^2+5x+6$ ist ein quadratischer Term. Diesen setzen wir jetzt gleich $0$, um die fehlenden Nullstellen von $h(x)$ zu berechnen:

$x^2+5x+6 = 0$

Hier können wir nun die $pq$-Formel anwenden:

$x_{2,3} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{ \left( \dfrac{5}{2} \right)^2 - 6} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{ \dfrac{25}{4} - \dfrac{6\,\cdot\,4}{4}} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{ \dfrac{1}{4}} = \dfrac{5}{2} \pm \dfrac{1}{2}$

Damit können wir berechnen:

$x_2 = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{4}{2} = -2$

$x_3 = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{6}{2} = -3$

Mit diesen Nullstellen können wir nun auch den Term $x^2+5x+6$ in Linearfaktoren zerlegen. Es gilt:

$x^2+5x+6 = (x + 2) \cdot (x + 3)$

Damit ist unsere Linearfaktorzerlegung von $h(x)$ vollständig. Wir erhalten:

$h(x)=x^3 + 6x^2 +11x + 6 = (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (x + 3)$

Du kannst die Probe durchführen und die rechte Seite ausmultiplizieren. Dann kommst du genau wieder auf das Polynom 3. Grades der linken Seite.
Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch den Faktor $(x + 1)$ teilen, erhalten wir außerdem wieder die Gleichung unserer Polynomdivision:

$x^3 + 6x^2 +11x + 6 = (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) \quad \big\vert~: (x+1)$

$(x^3+6x^2+11x + 6) : (x+1) = (x + 2) \cdot (x + 3)$
$(x^3+6x^2+11x + 6) : (x+1) = x^2+5x+6$

Das verdeutlicht noch einmal, wie uns die Polynomdivision bei der Linearfaktorzerlegung geholfen hat.

Zur Überprüfung der Nullstellen der Funktion dritten Grades können wir uns auch den Funktionsgraphen ansehen:

Die drei Nullstellen $x_1 = -1$, $x_2 = -2$ und $x_3 = -3$ sind hier zu sehen. Allerdings muss nicht jede Funktion 3. Grades zwingend genau drei Nullstellen haben.
Stell dir vor, die gezeigte Funktion wäre so weit nach oben (in positive $y$-Richtung) verschoben, dass der untere Bogen die $x$-Achse nicht mehr schneiden würde. Dann gäbe es nur eine Nullstelle. Würde der Tiefpunkt des Bogens die $x$-Achse genau in berühren, gäbe es genau zwei Nullstellen.

Beispiel – Polynomdivision bei einer Funktion dritten Grades

Sehen wir uns noch ein Beispiel an:

$p(x) = 2x^3 - x^2 - 18x + 9$

Zuerst setzten wir wieder den Funktionsterm gleich $0$ und versuchen, eine erste Nullstelle zu erraten:

$2x^3 - x^2 - 18x + 9 = 0$

Hier sind allerdings weder die $x$-Werte $1$ noch $-1$ Nullstellen des Polynoms:

$p(1) = 2 \cdot 1^3 - 1^2 - 18 \cdot 1 + 9 = 2 - 1 - 18 + 9 = -8 \neq 0$
$p(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - (-1)^2 - 18 \cdot (-1) + 9 = -2 - 1 + 18 + 9 = 24 \neq 0$

Damit wir nicht ewig weiter einsetzen müssen, wenden wir einen Kniff an:
Wir betrachten das konstante Glied $a_0 = 9$ des Polynoms. Das konstante Glied ist nämlich immer ein Vielfaches einer Nullstelle. Da in unserem Fall das konstante Glied $9$ in die Faktoren $3 \cdot 3$ zerlegt werden kann, muss $x_1 = 3$ eine Nullstelle der Funktion $p(x)$ sein. Das überprüfen wir:

$p(3) = 2 \cdot 3^3 - 3^2 - 18 \cdot 3 + 9 = 54 - 9 - 54 + 9 = 0$

Tatsächlich! Damit haben wir die erste Nullstelle $x_1 = 3$ gefunden und können den entsprechenden Linearfaktor bilden:

$(x - x_1) = (x - 3)$

Mit diesem Linearfaktor führen wir nun eine Polynomdivision durch:

$\quad (2x^3 - x^2 - 18x + 9) : (x-3) = 2x^2+5x-3$
$\underline{-(2x^3-6x^2)}$
$\qquad \qquad 5x^2-18x+9$
$\qquad \quad \underline{-(5x^2-15x)}$
$\qquad \qquad \qquad -3x+9$
$\qquad \qquad \quad \underline{-(-3x+9)}$
$\qquad \qquad \qquad \qquad ~ 0$

Das Ergebnis $2x^2+5x-3$ ist auch hier wieder ein quadratischer Term, den wir gleich $0$ setzen und mit einer Lösungsformel lösen können:

$2x^2+5x-3 = 0$

Diesmal wenden wir die Mitternachtsformel an:

$x_{2,3}= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \dfrac{-5 \pm 7}{4} = \dfrac{-5}{~\,4} \pm \dfrac{7}{4}$

Also können wir berechnen:

$x_2 = \dfrac{-5}{~\,4} + \dfrac{7}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$

$x_3 = \dfrac{-5}{~\,4} - \dfrac{7}{4} = -\dfrac{12}{4} = -3$

Die Funktion $p(x)$ hat also wiederum drei Nullstellen: $x_1 = 3$, $x_2 = \frac{1}{2}$ und $x_3 = -3$.

Die vollständige Linearfaktorzerlegung von $p(x)$ sieht damit folgendermaßen aus:

$p(x) = 2x^3 - x^2 - 18x + 9 = (x - 3) \cdot \left( x - \dfrac{1}{2} \right) \cdot (x + 3)$

Nullstellen berechnen durch Substitution

Eine dritte Möglichkeit der Vereinfachung von Funktionstermen ist die Substitution. Diese Methode hilft allerdings nur bei bestimmten Polynomen bei der Nullstellensuche weiter. Folgende Voraussetzung muss erfüllt sein:

Betrachten wir ein Beispiel:

$q(x) = x^4 - 13x^2 + 36$

Hier gibt es kein $x^3$ und kein $x^1$ (die Koeffizienten $a_3$ und $a_1$ sind gleich $0$). Als Potenzen von $x$ treten nur $x^4$ und $x^2$ auf. Der Exponent $4$ ist genau das Doppelte des Exponenten $2$. Also ist eine Substitution möglich.

1. Schritt der Substitution: Substituieren

Der Sinn der Substitution ist nun, die großen Potenzen des Funktionsterms durch kleinere zu ersetzen, also zu substituieren.
Das geht mit folgendem Kniff: Wir führen eine neue Variable ein (wir nennen sie $z$). Mit dieser Variable ersetzen wir $x$ im Funktionsterm. Es soll gelten:

$z = x^2$

Setzen wir also $z$ in die Funktion $q(x)$ ein, erhalten wir:

$q(z) = z^2 - 13z + 36$

Damit haben wir aus der Funktion 4. Grades eine quadratische Funktion gemacht, deren Nullstellen wir nun mithilfe der $pq$-Formel bestimmen können:

$z^2 - 13z + 36 = 0$

$z_{1,2} = -\left( -\dfrac{13}{2} \right) \pm \sqrt{ \left( -\dfrac{13}{2} \right)^2 - 36} = \dfrac{13}{2} \pm \sqrt{ \dfrac{169}{4} - \dfrac{36\,\cdot\,4}{4}} = \dfrac{13}{2} \pm \sqrt{ \dfrac{25}{4}} = \dfrac{13}{2} \pm \dfrac{5}{2}$

Also können wir berechnen:

$z_1 = \dfrac{13}{2} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{18}{2} = 9$

$z_2 = \dfrac{13}{2} - \dfrac{5}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$

Das sind nun allerdings nicht die gesuchten Nullstellen der Funktion $q(x)$, sondern von $q(z)$. Wir müssen die Substitution wieder rückgängig machen, um die $x$-Werte der korrekten Nullstellen zu erhalten.

2. Schritt der Substitution: Resubstituieren

Mithilfe einer sogenannten Resubstitution machen wir die Substitution wieder rückgängig. Da wir mit $z = x^2$ substituiert haben, muss im Umkehrschluss gelten:

$x = \pm \sqrt{z}$

Wir ziehen also von den Stellen $z_1$ und $z_2$ jeweils die Wurzel, um die tatsächlichen Nullstellen der Funktion $q(x)$ zu erhalten:

$x_1 = \sqrt{z_1} = \sqrt{9} = 3$
$x_2 = \sqrt{z_2} = \sqrt{4} = 2$

Dabei dürfen wir aber nicht vergessen, auch mögliche negative Lösungen zu berücksichtigen (die durch das Quadrieren verloren gegangen sind):

$x_3 = -\sqrt{z_1} = -\sqrt{9} = -3$
$x_4 = -\sqrt{z_2} = -\sqrt{4} = -2$

Die Funktion $q(x)$ hat also vier Nullstellen: $x_1 = 3$, $x_2 = 2$, $x_3 = -3$ und $x_4 = -2$.

Vier Nullstellen sind möglich, da es sich um eine Funktion 4. Grades handelt.

Beispiel – Substitution bei einer Funktion höheren Grades

Sehen wir uns noch eine Beispiel einer Funktion höheren Grades an:

$r(x) = x^6 - 6x^3 - 16$

Es treten nur die Potenzen $x^6$ und $x^3$ auf. Damit ist auch hier eine Substitution hilfreich, nämlich mit folgender Variablen $z$:

$z = x^3$

Wenn wir diese Variable in $r(x)$ einsetzen, erhalten wir:

$r(z) = z^2 - 6z - 16$

Setzen wir diesen Funktionsterm nun gleich $0$, können wir wieder die $pq$-Formel anwenden:

$z^2 - 6z - 16 = 0$

$z_{1,2} = -\left( -\dfrac{6}{2} \right) \pm \sqrt{ \left( -\dfrac{6}{2} \right)^2 - (-16)} = 3 \pm \sqrt{9 + 16} = 3 \pm 5$

Damit erhalten wir:

$z_1 = 3 + 5 = 8$

$z_2 = 3 - 5 = -2$

Jetzt führen wir die Resubstitution durch:

$x_1 = \sqrt[3]{z_1} = \sqrt[3]{8} = 2$

$x_2 = \sqrt[3]{z_2} = \sqrt[3]{-2} = -\sqrt[3]{2}$

Nullstellen berechnen bei einer Funktion höheren Grades

Bei der Methode der Substitution haben wir uns ganzrationale Funktionen angesehen, die einen Grad größer als 3 haben. Generell spricht man ab dem Grad 3 von Funktionen höheren Grades.
Bei manchen Funktionen höheren Grades – insbesondere bei solchen, die nicht für eine Substitution geeignet sind – muss mehrfach eine Polynomdivision durchgeführt werden, bis eine quadratische Lösungsformel zur Berechnung der Nullstellen angewendet werden kann.

Durch jede Polynomdivision (bei der durch einen Linearfaktor geteilt wird), verringert sich der Grad eines gegebenen Polynoms um 1. Um mehrere Polynomdivisionen hintereinander durchführen zu können, müssen allerdings auch mehrere Nullstellen bekannt sein, um durch mehrere entsprechende Linearfaktoren teilen zu können.

Eine Polynom 5. Grades der Form $a_5x^5 + a_4x^4 +a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$ muss beispielsweise durch drei Linearfaktoren geteilt werden, um es auf einen quadratischen Term reduzieren zu können:

$(a_5x^5 + a_4x^4 +a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0) : (x - x_1) = b_4x^4 + b_3x^3 + b_2x^2 + b_1x + b_0$
$(b_4x^4 + b_3x^3 + b_2x^2 + b_x + b_0) : (x - x_2) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$
$(c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0) : (x - x_3) = \underbrace{d_2x^2 + d_1x + d_0}_{\text{lösbar}}$

Es müssen also in diesem Fall drei Nullstellen $\left(x_1, x_2, x_3 \right)$ bereits bekannt sein oder erraten werden.

Bei gebrochen rationalen Funktionen höheren Grades helfen im Prinzip die gleichen Methoden bei der Nullstellensuche, die wir hier gezeigt haben. Dabei reicht es aus, das Polynom im Zähler einer gebrochen rationalen Funktion zu betrachten – denn Nullstellen des Zählers sind auch Nullstellen der gesamten Funktion.
Allerdings ist zu beachten, dass eventuelle Nullstellen des Polynoms im Nenner sogenannte Definitionslücken der Funktion sind. Wenn eine gefundene Nullstelle des Zählerpolynoms also auch eine Nullstelle des Nennerpolynoms ist, dann ist dies keine Nullstelle der gesamten, gebrochen rationalen Funktion (da es sich dann um eine Definitionslücke handelt).

Nullstellen von Funktionen höheren Grades berechnen – Übungen

Anhand der folgenden zwei Übungsaufgaben kannst du das Berechnen der Nullstellen einer Funktion höheren Grades noch einmal selbst üben.

Ausblick – das lernst du nach Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen

Nachdem du gelernt hast, wie Nullstellen durch Polynomdivision bestimmt werden, erforsche weitere Aspekte der Kurvendiskussion, wie zum Beispiel das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen oder die Symmetrie von Funktionsgraphen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Nullstellen einer Funktion 3. Grades berechnen