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Nullstellen von Funktionen höheren Grades

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Nullstellen von Funktionen höheren Grades
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Grundlagen zum Thema Nullstellen von Funktionen höheren Grades

Nullstellen von Funktionen höheren Grads – benötigtes Vorwissen

Um die Nullstellen von Funktionen höheren Grads bestimmen zu können, solltest du natürlich wissen, was eine Nullstelle ist. Es handelt sich dabei um einen Schnittpunkt einer Funktion mit der xx-Achse. Weiterhin ist der Grad einer Funktion von Bedeutung. Zur Erinnerung:

Die sogenannten Polynomfunktionen haben einen Grad, der bestimmt werden kann. Polynomfunktionen sehen so aus:

f(x)=anxn+an1xn1++a0f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n–1}x^{n–1} + … + a_{0}

Dabei gilt an0a_n \neq 0 und nn ist der Grad dieser Funktion. Also ist der Grad der Funktion immer der Exponent der höchsten xx-Potenz einer Potenzfunktion.

Die Funktionen mit dem Grad null bis drei kennst du sicherlich schon, diese haben nämlich besondere Namen:

n=0n = 0: konstante Funktion, zum Beispiel f(x)=3f(x) = 3

n=1n = 1: lineare Funktion, zum Beispiel f(x)=2xf(x) = 2x

n=2n = 2: quadratische Funktion, zum Beispiel f(x)=x2+4f(x)= –x^{2} + 4

n=3n = 3: kubische Funktion, zum Beispiel f(x)=0,5x3 – 2x+1f(x) = 0,5x^{3}~–~2x + 1

Weiterhin solltest du die Möglichkeiten zur Berechnung von Nullstellen kennen. Insbesondere von Bedeutung sind die pq-Formel bzw. die Mitternachtsformel.

Mit der pqpq-Formel löst man Gleichungen der Form 0=x2+px+q0 = x^{2} + px + q. Sie lautet:

x1,2=p2±(p2)2 – qx_{1,2} = –\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^{2}~–~q}

Mit der Mitternachtsformel oder auch abcabc-Formel löst man Gleichungen der Form 0=ax2+bx+c0 = ax^{2} + bx + c. Sie lautet:

x1,2=b ± b2 – 4ac2ax_{1,2} = \dfrac{–b~\pm~\sqrt{b^{2}~–~4ac}}{2a}

Nullstellen von Polynomfunktionen

Um Nullstellen von Funktionen zu berechnen, muss in jedem Fall die Gleichung f(x)=0f(x) = 0 betrachtet werden. Also sucht man nach den Lösungen dieser Gleichung. Diese bilden im zugehörigen Funktionsgraphen von f(x)f(x) die Schnittpunkte mit der xx-Achse.

Nullstellen linearer Funktionen bestimmen

Um die Nullstellen linearer Funktionen zu bestimmen, setzt man den Funktionsterm gleich 00 und löst die Gleichung dann mithilfe von Äquivalenzumformungen nach xx auf. Schauen wir uns das kurz an einem Beispiel mit der Funktion f(x)=2x+4f(x) = –2x + 4 an:

2x+4=042x=4:(2)x=2\begin{array}{rccccl} –2x & + & 4 & = & 0 & \vert –4 \\ –2x & & & = & –4 & \vert :(–2) \\ x & & & = & 2 & \end{array}

Also liegt die Nullstelle dieser Funktion bei x=2x = 2. Das heißt, dass der Graph der Funktion die xx-Achse bei x=2x=2 schneidet.

Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen

Um die Nullstellen quadratischer Funktionen zu bestimmen, setzt man den Funktionsterm ebenfalls =0= 0, doch in der Regel ist es nicht so einfach, die Gleichung dann mithilfe von Äquivalenzumformungen umzuformen. Die Berechnungsweise der Nullstellen verändert sich je nach Form der quadratischen Gleichung. Die pqpq- bzw. die Mitternachtsformel funktioniert dabei immer, ist aber nicht immer die einfachste Möglichkeit.

Fall: f(x)=ax2+bxf(x) = ax^{2} + bx

In dem Fall, dass es sich um eine quadratische Funktion der Form f(x)=ax2+bxf(x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x handelt, ist es möglich, die Gleichung mittels Äquivalenzumformungen zu lösen, allerdings muss man sich einen Satz der Mathematik zunutze machen. Dies ist der Satz vom Nullprodukt.

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass jedes Produkt genau dann 00 ist, wenn eines seiner Faktoren 00 ist. Mathematisch ausgedrückt:

f1f2fn=0f1=0f2=0fn=0f_{1} \cdot f_{2} \cdot … \cdot f_{n} = 0 \Leftrightarrow f_{1} = 0 \lor f_{2} = 0 \lor … \lor f_{n} = 0

Wir nutzen diesen Satz insofern, dass wir den Funktionsterm faktorisieren und so ein Produkt erstellen, bei dem wir die einzelnen Faktoren betrachten können. Schauen wir uns das kurz an einem Beispiel mit der Funktion f(x)=3x2 + 6xf(x) = 3x^{2}~+~6x an:

3x2+6x=0x(3x+6)=0\begin{array}{rccccccl} & & 3x^{2} & + & 6x & = & 0 & \\ x & \cdot & (3x & + & 6) & = & 0 & \\ \end{array}

Nun haben wir ein Produkt, das aus den beiden Faktoren xx und 3x+63x + 6 besteht. Wir betrachten nun beide Faktoren getrennt, also lösen wir die Gleichungen x=0x = 0 und 3x+6=03x + 6 = 0. Die erste Gleichung muss nicht mehr weiter umgeformt werden, wir erhalten die erste Nullstelle x1=0x_{1} = 0. Die zweite Gleichung ergibt:

3x+6=063x=6:3x=2\begin{array}{rccccl} 3x & + & 6 & = & 0 & \vert –6 \\ 3x & & & = & –6 & \vert :3 \\ x & & & = & –2 & \\ \end{array}

Also liegt die zweite Nullstelle dieser Funktion bei x=2x = –2. Der Funktionsgraph der quadratischen Funktion schneidet die xx-Achse also insgesamt zweimal.

Übrigens: Im Fall einer quadratischen Funktion der Form f(x)=ax2+bxf(x)=ax^{2}+bx ist die erste Nullstelle immer 00.

Fall: allgemeine Form

Ein weiterer Fall ist der, dass es sich um eine quadratische Funktion in der allgemeinen Form f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^{2} + bx + c handelt. Hier ist, bis auf die Möglichkeit der quadratischen Ergänzung zur Scheitelpunktform, keine Äquivalenzumformung möglich. Man muss die pqpq- oder die Mitternachtsformel anwenden.

Schauen wir uns das kurz an einem Beispiel mit der Funktion f(x)=3x2+9x – 12f(x) = 3x^{2} + 9x~–~12 an, zuerst mit der Mitternachtsformel:

x1,2=9 ± 92 – 43(12)23=9 ± 81 + 1446=9 ± 2256=9 ± 156x_{1,2} = \dfrac{–9~\pm~\sqrt{9^{2}~–~4 \cdot 3 \cdot (–12)}}{2 \cdot 3} = \dfrac{–9~\pm~\sqrt{81~+~144}}{6} = \dfrac{–9~\pm~\sqrt{225}}{6} = \dfrac{–9~\pm~15}{6}

Damit haben wir die beiden Nullstellen x1=9+156=66=1x_{1} = \frac{–9 + 15}{6} = \frac{6}{6} = 1 und x2=9 – 156=246=4x_{2} = \frac{–9~–~15}{6} = \frac{–24}{6} = –4.

Nun wollen wir das Gleiche noch einmal mit der pqpq-Formel berechnen. Dafür müssen wir die Gleichung zuerst so umformen, dass der Faktor vor dem x2x^{2} zu 11 wird. Dafür setzen wir den Funktionsterm gleich null und dividieren die Gleichung durch 33.

0=3x2+9x – 120=x2+3x – 40 = 3x^{2} + 9x~–~12 \Leftrightarrow 0 = x^{2} + 3x~–~4

Nun können wir die pqpq-Formel anwenden:

x1,2=32±(32)2 + 4=32±94+164=32±254=32±52x_{1,2} = –\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}~+~4} = –\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{16}{4}} = –\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4}} = –\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{5}{2}

Damit haben wir noch einmal die beiden Nullstellen x1=32+52=1x_{1} = –\frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 1 und x2=32 – 52=4x_{2} = –\frac{3}{2}~–~\frac{5}{2} = –4 berechnet. Nun wollen wir uns mit Funktionen höheren Grads beschäftigen.

Nullstellen kubischer Funktionen bestimmen – Ausklammern und Nullprodukt

Wenn wir die Nullstellen kubischer Funktionen bestimmen möchten, helfen Äquivalenzumformungen nicht direkt weiter, auch die pqpq- oder die Mitternachtsformel sind hier zunächst nicht anwendbar. Allerdings verwendet man einen kleinen Trick, der den vorhin schon angesprochenen Satz vom Nullprodukt ausnutzt. Dieser sagt implizit aus, dass man jede Funktion als Produkt ihrer Nullstellen (wenn die Funktion denn Nullstellen hat) darstellen kann. Diese Form nennt man die Linearfaktorform. Das bedeutet gleichzeitig auch, dass, wenn wir entweder eine Nullstelle gegeben haben oder einen linearen Term ausklammern können, wir so die kubische Funktion in ein Produkt umwandeln können, auf das wir den Satz vom Nullprodukt anwenden können.

Das schauen wir uns mal bei einem Beispiel an, nämlich bei der Funktion f(x)=2x3 – 2x2+24xf(x) = –2x^{3}~–~2x^{2} + 24x. Bei dieser Funktion ist es möglich, durch Ausklammern die Nullstellen zu bestimmen:

0=2x32x2+24x:(2)0=x3+x212x0=x(x2+x12)\begin{array}{rccccccccl} 0 & = & & & –2x^{3} & – & 2x^{2} & + & 24x & \vert :(–2) \\ 0 & = & & & x^{3} & + & x^{2} & – & 12x & \\ 0 & = & x & \cdot & (x^{2} & + & x & – & 12) & \\ \end{array}

Nun haben wir ein Produkt und können die Faktoren wieder getrennt betrachten. Damit haben wir bereits die erste Nullstelle x1=0x_{1} = 0. Die anderen beiden Nullstellen erhalten wir aus der Gleichung 0=x2+x – 120 = x^{2} + x~–~12. Da dies nun eine quadratische Gleichung ist, können wir die obigen Möglichkeiten anwenden. Mit der pqpq-Formel erhalten wir:

x2,3=12±(12)2+12=12±14+484=12±494=12±72x_{2,3} = –\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} + 12} = –\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{48}{4}} = –\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{49}{4}} = –\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{7}{2}

Damit erhalten wir die anderen beiden Nullstellen x2=12+72=3x_{2} = –\frac{1}{2} + \frac{7}{2} = 3 und x3=12 – 72=4x_{3} = –\frac{1}{2}~–~\frac{7}{2} = –4.

Nullstellen kubischer Funktionen bestimmen – Polynomdivision

Was aber, wenn man keine Nullstellen gegeben hat und man auch nicht so einfach ein xx ausklammern kann? Dann müssen wir durch Ausprobieren eine Nullstelle finden und diese als Linearfaktor ausklammern. Wir schauen uns das am Beispiel f(x)=2x3+8x2+2x – 12{f(x) = 2x^{3} + 8x^{2} + 2x~–~12} an. Wir setzen also ein paar einfache Werte für xx ein und schauen, ob 00 herauskommt. Zuerst x=1x = –1:

2(1)3+8(1)2+2(1) – 12=2+8 – 2 – 12=802 \cdot (–1)^{3} + 8 \cdot (–1)^{2} + 2 \cdot (–1)~–~12 = –2 + 8~–~2~–~12 = –8 \neq 0

Das war leider nichts. Probieren wir nun x=1x = 1:

213+812+21 – 12=2+8+2 – 12=02 \cdot 1^{3} + 8 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1~–~12 = 2 + 8 + 2~–~12 = 0

Wir haben unsere erste Nullstelle x1=1x_{1} = 1 gefunden. Diese können wir nun als Linearfaktor ausklammern. Die Nullstelle verrät uns, dass wir den Term (x – 1)(x~–~1) ausklammern können, da dieser als Gleichung x – 1=0x~–~1 = 0 die Nullstelle x1=1x_{1} = 1 ergibt. Also wollen wir nun wissen, welchen Term wir mit (x – 1)(x~–~1) multiplizieren müssen, um auf unsere Funktion f(x)=2x3+8x2+2x – 12f(x) = 2x^{3} + 8x^{2} + 2x~–~12 zu kommen. Im Umkehrschluss müssen wir also 2x3+8x2+2x – 122x^{3} + 8x^{2} + 2x~–~12 durch (x – 1)(x~–~1) dividieren. Das machen wir mit der Polynomdivision:

2x3+8x2+2x12=(x1)(2x2+10x+12)(2x32x2)10x2+2x12(10x210x)12x12(12x12)\begin{array}{rcccccccl} & 2x^{3} & + & 8x^{2} & + & 2x & – & 12 & = (x – 1) \cdot (2x^{2} + 10x + 12) \\ – & (2x^{3} & – & 2x^{2}) & & & & & \\ & & & 10x^{2} & + & 2x & – & 12 & \\ & & – & (10x^{2} & – & 10x) & & & \\ & & & & & 12x & – & 12 & \\ & & & & – & (12x & – & 12) & \\ \end{array}

Nun müssen wir also nur noch die Gleichung 0=2x2+10x+120 = 2x^{2} + 10x + 12 lösen. Mit der Mitternachtsformel erhalten wir die anderen beiden Nullstellen x2=1024=124=3x_{2} = \frac{–10 – 2}{4} = \frac{–12}{4} = –3 und x3=10 + 24=84=2x_{3} = \frac{–10~+~2}{4} = \frac{–8}{4} = –2.

Wir betrachten die Nullstellen am Funktionsgraphen:

Nullstellen des Funktionsgraphen

Nullstellen höhergradiger Funktionen bestimmen – Polynomdivision

Auf ähnliche Weise können wir die Nullstellen aller höhergradigen Funktionen bestimmen. Wir müssen nur so viele Nullstellen finden, dass wir durch Polynomdivision ein Produkt mit einem quadratischen Term erhalten. Für diesen haben wir dann genügend Möglichkeiten, die Nullstellen zu bestimmen. Schauen wir uns das noch einmal an einer anderen Funktion an, nämlich an f(x)=x5+4x412x334x2+11x+30{f(x) = x^{5} + 4x^{4} – 12x^{3} – 34x^{2} + 11x + 30}. Wir probieren erst einmal einige Werte aus, um Nullstellen zu finden. Um aus diesem Funktionsterm vom Grad 55 ein Produkt mit einem quadratischen Term zu machen, brauchen wir drei Nullstellen.

f(1)=15+414 – 1213 – 3412+111+30=1+4 – 12 – 34+11+30=5 – 36+41=0f(1) = 1^{5} + 4 \cdot 1^{4}~–~12 \cdot 1^{3}~–~34 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 + 30 = 1 + 4~–~12~–~34 + 11 + 30 = 5~–~36 + 41 = 0

f(2)=25+424 – 1223 – 3422+112+30=32+64 – 96 – 136+22+30=96 – 96 – 136+520f(2) = 2^{5} + 4 \cdot 2^{4}~–~12 \cdot 2^{3}~–~34 \cdot 2^{2} + 11 \cdot 2 + 30 = 32 + 64~–~96~–~136 + 22 + 30 = 96~–~96~–~136 + 52 \neq 0

f(1)=(1)5+4(1)4 – 12(1)3 – 34(1)2+11(1)+30=1+4 + 12 – 34 – 11+30=3 – 22+19=0f(–1) = (–1)^{5} + 4 \cdot (–1)^{4}~–~12 \cdot (–1)^{3}~–~34 \cdot (–1)^{2} + 11 \cdot (–1) + 30 = –1 + 4~+~12~–~34~–~11 + 30 = 3~–~22 + 19 = 0

f(2)=(2)5+4(2)4 – 12(2)3 – 34(2)2+11(2)+30=32+64+96 – 136 – 22+30=32 – 40+8=0f(–2) = (–2)^{5} + 4 \cdot (–2)^{4}~–~12 \cdot (–2)^{3}~–~34 \cdot (–2)^{2} + 11 \cdot (–2) + 30 = –32 + 64 + 96~–~136~–~22 + 30 = 32~–~40 + 8 = 0

Damit haben wir drei Nullstellen gefunden, x1=1x_{1} = 1, x2=1x_{2} = –1 und x3=2x_{3} = –2. Also können wir die Linearfaktoren (x – 1)(x~–~1), (x+1)(x + 1) und (x+2)(x + 2) ausklammern. Dies machen wir Schritt für Schritt mit der Polynomdivision:

x5+4x412x334x2+11x+30=(x1)(x4+5x3 – 7x2 – 41x – 30)(x5x4)5x412x334x2+11x+30(5x45x3)7x334x2+11x+30(7x3+7x2)41x2+11x+30(41x2+41x)30x+30(30x+30)\begin{array}{rccccccccccl} & x^{5} & + & 4x^{4} & – & 12x^{3} & – & 34x^{2} & + & 11x & + & 30 = (x – 1) \cdot (x^{4} + 5x^{3}~–~7x^{2}~–~41x~–~30) \\ – & (x^{5} & – & x^{4}) & & & & & & & & \\ & & & 5x^{4} & – & 12x^{3} & – & 34x^{2} & + & 11x & + & 30 \\ & & – & (5x^{4} & – & 5x^{3}) & & & & & & \\ & & & & & –7x^{3} & – & 34x^{2} & + & 11x & + & 30 \\ & & & & – & (–7x^{3} & + & 7x^{2}) & & & & \\ & & & & & & & –41x^{2} & + & 11x & + & 30 \\ & & & & & & – & (–41x^{2} & + & 41x) & & \\ & & & & & & & & & –30x & + & 30 \\ & & & & & & & & – & (–30x & + & 30) \\ \end{array}

Nun machen wir weiter und faktorisieren den nächsten Linearfaktor, indem wir x4+5x3 – 7x2 – 41x – 30{x^{4} + 5x^{3}~–~7x^{2}~–~41x~–~30} durch (x+1)(x + 1) dividieren:

x4+5x37x241x30=(x+1)(x3+4x2 – 11x – 30)(x4+x3)4x37x241x30(4x3+4x2)11x241x30(11x211x)30x30(30x30)\begin{array}{rccccccccl} & x^{4} & + & 5x^{3} & – & 7x^{2} & – & 41x & – & 30 = (x + 1) \cdot (x^{3} + 4x^{2}~–~11x~–~30) \\ – & (x^{4} & + & x^{3}) & & & & & & \\ & & & 4x^{3} & – & 7x^{2} & – & 41x & – & 30 \\ & & – & (4x^{3} & + & 4x^{2}) & & & & \\ & & & & & –11x^{2} & – & 41x & – & 30 \\ & & & & – & (–11x^{2} & – & 11x) & & \\ & & & & & & & –30x & – & 30 \\ & & & & & & – & (–30x & – & 30) \\ \end{array}

Und zuletzt führen wir noch eine Polynomdivision mit (x+2)(x + 2) durch:

x3+4x211x30=(x+2)(x2+2x – 15)(x3+2x2)2x211x30(2x2+4x)15x30(15x30)\begin{array}{rccccccl} & x^{3} & + & 4x^{2} & – & 11x & – & 30 = (x + 2) \cdot (x^{2} + 2x~–~15) \\ – & (x^{3} & + & 2x^{2}) & & & & \\ & & & 2x^{2} & – & 11x & – & 30 \\ & & – & (2x^{2} & + & 4x) & & \\ & & & & & –15x & – & 30 \\ & & & & – & (–15x & – & 30) \\ \end{array}

Nun haben wir unsere faktorisierte Version des Funktionsterms (x – 1)(x+1)(x+2)(x2+2x – 15){(x~–~1)(x + 1)(x + 2)(x^{2} + 2x~–~15)} und können uns bei der Suche nach den letzten beiden Nullstellen auf den quadratischen Teil des Terms konzentrieren. Mit der pqpq-Formel erhalten wir:

x4,5=22±(22)2+15=1±16=1±4x_{4,5} = –\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^{2} + 15} = –1 \pm \sqrt{16} = –1 \pm 4

Und damit erhalten wir die letzten beiden Nullstellen x4=1+4=3x_{4} = –1 + 4 = –3 und x5=1 – 4=5x_5 = –1~–~4 = –5.

Nullstellen höhergradiger Funktionen bestimmen – Substitution

In besonderen Fällen ist eine weitere Option möglich, nämlich die Substitution. Dabei definierst du einen Term als eine einfache Variable, um die Funktion auf Nullstellen zu untersuchen, und setzt dann am Ende den Term wieder ein, um alle Nullstellen zu finden. Diese Vorgehensweise ist allerdings nur bei besonderen Funktionen Erfolg versprechend – beispielsweise bei solchen, die nur Potenzen mit geradem Exponenten enthalten.

Wir schauen uns das am Beispiel f(x)=5x4+6x2 – 1f(x) = –5x^{4} + 6x^{2}~–~1 an. Da es sich hier um eine biquadratische Funktion handelt, können wir eine neue Variable definieren, und zwar z=x2z = x^{2}. Durch Substitution formen wir damit den Funktionsterm zu f(z)=5z2+6z – 1f(z) = –5z^{2} + 6z~–~1 um. Wenn wir für zz wiederum x2x^{2} einsetzen, erhalten wir wieder unsere ursprüngliche Funktionsgleichung. Durch diese Substitution haben wir nun eine quadratische Funktionsgleichung, die wir mittels Mitternachtsformel oder pqpq-Formel lösen können:

z1,2=6±62 – 4(5)(1)2(5)=6±36 – 2010=6±410z_{1,2} = \dfrac{–6 \pm \sqrt{6^{2}~–~4 \cdot (–5) \cdot (–1)}}{2 \cdot (–5)} = \dfrac{–6 \pm \sqrt{36~–~20}}{–10} = \dfrac{6 \pm 4}{10}

Damit erhalten wir die beiden Nullstellen z1=6+410=1z_{1} = \frac{6 + 4}{10} = 1 und z2=6 – 410=15z_{2} = \frac{6~–~4}{10} = \frac{1}{5}. Nun sind das aber ja die Nullstellen von f(z)f(z). Wir wollen aber die Nullstellen von f(x)f(x) ermitteln. Also müssen wir wieder zurücksubstituieren und erhalten die Gleichungen:

x2=1x^{2} = 1 und x2=15x^{2} = \frac{1}{5}

Damit können wir dann die Nullstellen von f(x)f(x) bestimmen:

x1=1=1x_{1} = \sqrt{1} = 1

x2=1=1x_{2} = –\sqrt{1} = –1

x3=15=15x_{3} = \sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}

x4=15=15x_{4} = –\sqrt{\dfrac{1}{5}} = – \dfrac{1}{\sqrt{5}}

Wir veranschaulichen uns die Nullstellen noch einmal am Funktionsgraphen:

Nullstellen des Funktionsgraphen

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Nullstellen von Funktionen höheren Grads – Zusammenfassung

Um die Nullstellen von Funktionen höheren Grads zu bestimmen, gibt es verschiedene Ansätze. Grundsätzlich muss der Funktionsterm gleich null gesetzt werden. Dann ist es die Idee, die Gleichung auf lineare bzw. quadratische Gleichungen bzw. Terme zu reduzieren. Denn wie wir diese lösen können, ist bekannt (z. B. pqpq- oder Mitternachtsformel). Folgende Vorgehensweisen sind gegebenenfalls möglich:

  • Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden
  • Polynomdivision
  • Substitution

Haben wir eine Funktion höheren Grads in der Linearfaktordarstellung gegeben oder diese ermittelt, können wir die Nullstellen einfach ablesen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Nullstellen von Funktionen

Transkript Nullstellen von Funktionen höheren Grades

Kennst du das? Die Matheaufgabe vor dir fühlt sich an wie ein riesiges Labyrinth! Überall Sackgassen, Fallen und Hindernisse! Ohne einen guten Plan kommst du hier nicht ans Ziel. Um so einen Plan geht es in diesem Video zur Suche von „Nullstellen von Funktionen höheren Grades“. Was eine Nullstelle ist und wie man nach ihr sucht, weißt du sicher: Dort wo der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet, ist der Funktionswert „F von x“ gleich Null. Man setzt also den Funktionsterm gleich null und versucht, nach „x“ aufzulösen. Erhält man eine Lösung, ist das die Nullstelle „x-Eins“. Es kann auch sein, dass es keine Lösung gibt – dann hat die Funktion keine Nullstelle. Ein Funktionsgraph kann aber auch mehrere Nullstellen haben. Das ist bei Funktionen höheren Grades oft der Fall. „Der Grad“, das ist ein Merkmal von Funktionen, die sich als ein „Polynom“ schreiben lassen, also als eine Summe von Potenzen von „x“. Die höchste Potenz von „x“, die im Funktionsterm vorkommt, bestimmt den Grad. Es gibt „konstante“, „lineare“, „quadratische“, „kubische“ und unendlich viel mehr Funktionen, wobei mit „höheren Graden“ alles ab dem dritten Grad gemeint ist, wie zum Beispiel diese Funktion. Was ist jetzt das Problem beim „gleich Null setzen“? Du kannst diese Gleichung nicht einfach nach „x“ umstellen, und auch eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen, wie diese hier, hilft erstmal nicht weiter. Also, was tun? Es lohnt sich immer, den Funktionsterm genauer unter die Lupe zu nehmen, und nach Möglichkeiten zu suchen, den Term umzuformen. Bei der Nullstellensuche ist das „Ausklammern“ besonders nützlich. HIER kann man ein „x“ ausklammern. Jetzt liegt die Gleichung teilweise „faktorisiert“ vor, also als Produkt von zwei Faktoren. Diese können wir getrennt betrachten, denn sobald ein Faktor „gleich Null“ ist, wird auch das gesamte Produkt „gleich Null“ sein. Damit haben wir schon eine Nullstelle sichtbar gemacht, nämlich „x-Eins gleich Null“. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn wir den zweiten Faktor gleich Null setzen und die Gleichung lösen, wofür wir jetzt die quadratische Lösungsformel nehmen können, oder einen anderen Weg, mit dem du deine quadratischen Gleichungen normalerweise löst. Ausklammern hilft also, eine Faktorisierung zu erreichen, um die einzelnen Faktoren getrennt betrachten zu können. Durch die berechneten Nullstellen können wir das Polynom vollständig als Produkt von „Linearfaktoren“ schreiben, wodurch alle Nullstellen gut sichtbar werden. Ausklammern ist aber leider nicht immer möglich. Oft sind die Aufgaben dann aber so gestellt, dass man eine Nullstelle durch „Probieren“ erraten kann. Dann setzt du am besten einfach mal „Eins“, „Minus-eins“ und weitere kleine Zahlen ein, bis du ein „x“ gefunden hast, bei dem der Funktionsterm den Wert Null annimmt. hier klappt das bei „x gleich Eins“. Ja, auch die größten Mathematiker haben sich nicht geschämt, mal ein bisschen rumzuprobieren! Manchmal ist aber auch schon eine Nullstelle angegeben – also immer wachsam bleiben! Aber was hilft jetzt diese eine Nullstelle? Wir nutzen sie, um die Funktionsgleichung zu faktorisieren und damit auf eine ähnliche Form wie im vorherigen Beispiel zu kommen. Dazu musst du eine „Polynomdivision“ durchführen, also das Polynom der Funktion durch „x minus die Nullstelle“ teilen. Das ist im Prinzip nichts anderes, als „x minus die Nullstelle“ auszuklammern, allerdings muss eben erst ausgerechnet werden, was dann im zweiten Faktor stehenbleibt. Wie die Polynomdivision genau durchgeführt wird, gehen wir jetzt mal nicht im Einzelnen durch. Wichtig ist nur, das Prinzip zu verstehen: Sie dient dazu, den Funktionsterm zu faktorisieren – genau wie das Ausklammern. Anschließend kannst du wieder die einzelnen Faktoren betrachten. Die eine Nullstelle kennen wir schon. Die anderen können wir berechnen, indem wir den übrigen Term gleich Null setzen, und auflösen. Das Ausklammern und die Polynomdivision sind auch die Mittel der Wahl, um Nullstellen von Funktionen vierten, fünften oder höheren Grades zu bestimmen. Dann müssen diese Strategien allerdings solange auf den übrigen Faktor der Funktionsgleichung angewendet werden, bis ein quadratischer Term übrigbleibt, der mit der Lösungsformel gelöst werden kann. Jetzt gibt es noch einen Cheat, den du anwenden kannst – der funktioniert aber nur, wenn im Funktionsterm NUR Potenzen von „x“ vorkommen, deren Exponenten jeweils das Doppelte voneinander sind. Nehmen wir diese Funktion mit „x-hoch-vier“ und „x-Quadrat“ als Beispiel. Hier kannst du eine „Substitution“ durchführen. „Substituieren“, das heißt „ersetzen“ – und zwar ersetzen wir „x-Quadrat“ durch eine neue Variable, „z“. Mit diesem einfachen Trick wird aus einem Polynom vierten Grades ein quadratischer Term, dessen Nullstellen mit der Lösungsformel bestimmt werden können. wobei auch deren „Gegenzahlen“ Nullstellen von „F von x“ sind. Haben wir zum Beispiel die Nullstellen „Neun“ und „neun Viertel“ nach Substitution ermittelt, sind „Drei“ und „drei Halbe“ sowie „Minus-drei“ und „Minus-drei Halbe“ die Nullstellen von „F von x“. Damit kann auch diese Funktion in Form von Linearfaktoren dargestellt werden. Puh, alles aus dem Weg geräumt! Fassen wir unseren Überblick über die Nullstellensuche zusammen: Um die Nullstellen von Funktionen dritten oder höheren Grades zu bestimmen, müssen diese erst vereinfacht werden. Ziel ist es, eine faktorisierte Form zu erreichen, um die Nullstellen der einzelnen Faktoren ermitteln zu können. Das ist durch „Ausklammern“, oder eine „Polynomdivision“ möglich. Eine „Substitution“ kann angewendet werden, wenn die Exponenten im Funktionsterm jeweils das Doppelte voneinander sind. Mit diesen Werkzeugen kommst du endlich ans Ziel, wenn du dich nicht verrechnet hast.

1 Kommentar
  1. Das Video ist ok 👌 🏰

    Von Sumeya ❣️, vor 6 Monaten

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