Nullstellen von Funktionen höheren Grades

Nullstellen von Funktionen höheren Grads – benötigtes Vorwissen

Um die Nullstellen von Funktionen höheren Grads bestimmen zu können, solltest du natürlich wissen, was eine Nullstelle ist. Es handelt sich dabei um einen Schnittpunkt einer Funktion mit der $x$-Achse. Weiterhin ist der Grad einer Funktion von Bedeutung. Zur Erinnerung:

Die Funktionen mit dem Grad null bis drei kennst du sicherlich schon, diese haben nämlich besondere Namen:

$n = 0$: konstante Funktion, zum Beispiel $f(x) = 3$

$n = 1$: lineare Funktion, zum Beispiel $f(x) = 2x$

$n = 2$: quadratische Funktion, zum Beispiel $f(x)= –x^{2} + 4$

$n = 3$: kubische Funktion, zum Beispiel $f(x) = 0,5x^{3}~–~2x + 1$

Weiterhin solltest du die Möglichkeiten zur Berechnung von Nullstellen kennen. Insbesondere von Bedeutung sind die pq-Formel bzw. die Mitternachtsformel.

Nullstellen von Polynomfunktionen

Um Nullstellen von Funktionen zu berechnen, muss in jedem Fall die Gleichung $f(x) = 0$ betrachtet werden. Also sucht man nach den Lösungen dieser Gleichung. Diese bilden im zugehörigen Funktionsgraphen von $f(x)$ die Schnittpunkte mit der $x$-Achse.

Nullstellen linearer Funktionen bestimmen

Um die Nullstellen linearer Funktionen zu bestimmen, setzt man den Funktionsterm gleich $0$ und löst die Gleichung dann mithilfe von Äquivalenzumformungen nach $x$ auf. Schauen wir uns das kurz an einem Beispiel mit der Funktion $f(x) = –2x + 4$ an:

$\begin{array}{rccccl} –2x & + & 4 & = & 0 & \vert –4 \\ –2x & & & = & –4 & \vert :(–2) \\ x & & & = & 2 & \end{array}$

Also liegt die Nullstelle dieser Funktion bei $x = 2$. Das heißt, dass der Graph der Funktion die $x$-Achse bei $x=2$ schneidet.

Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen

Um die Nullstellen quadratischer Funktionen zu bestimmen, setzt man den Funktionsterm ebenfalls $= 0$, doch in der Regel ist es nicht so einfach, die Gleichung dann mithilfe von Äquivalenzumformungen umzuformen. Die Berechnungsweise der Nullstellen verändert sich je nach Form der quadratischen Gleichung. Die $pq$- bzw. die Mitternachtsformel funktioniert dabei immer, ist aber nicht immer die einfachste Möglichkeit.

Fall: $f(x) = ax^{2} + bx$

In dem Fall, dass es sich um eine quadratische Funktion der Form $f(x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x$ handelt, ist es möglich, die Gleichung mittels Äquivalenzumformungen zu lösen, allerdings muss man sich einen Satz der Mathematik zunutze machen. Dies ist der Satz vom Nullprodukt.

Wir nutzen diesen Satz insofern, dass wir den Funktionsterm faktorisieren und so ein Produkt erstellen, bei dem wir die einzelnen Faktoren betrachten können. Schauen wir uns das kurz an einem Beispiel mit der Funktion $f(x) = 3x^{2}~+~6x$ an:

$\begin{array}{rccccccl} & & 3x^{2} & + & 6x & = & 0 & \\ x & \cdot & (3x & + & 6) & = & 0 & \\ \end{array}$

Nun haben wir ein Produkt, das aus den beiden Faktoren $x$ und $3x + 6$ besteht. Wir betrachten nun beide Faktoren getrennt, also lösen wir die Gleichungen $x = 0$ und $3x + 6 = 0$. Die erste Gleichung muss nicht mehr weiter umgeformt werden, wir erhalten die erste Nullstelle $x_{1} = 0$. Die zweite Gleichung ergibt:

$\begin{array}{rccccl} 3x & + & 6 & = & 0 & \vert –6 \\ 3x & & & = & –6 & \vert :3 \\ x & & & = & –2 & \\ \end{array}$

Also liegt die zweite Nullstelle dieser Funktion bei $x = –2$. Der Funktionsgraph der quadratischen Funktion schneidet die $x$-Achse also insgesamt zweimal.

Übrigens: Im Fall einer quadratischen Funktion der Form $f(x)=ax^{2}+bx$ ist die erste Nullstelle immer $0$.

Fall: allgemeine Form

Ein weiterer Fall ist der, dass es sich um eine quadratische Funktion in der allgemeinen Form $f(x) = ax^{2} + bx + c$ handelt. Hier ist, bis auf die Möglichkeit der quadratischen Ergänzung zur Scheitelpunktform, keine Äquivalenzumformung möglich. Man muss die $pq$- oder die Mitternachtsformel anwenden.

Schauen wir uns das kurz an einem Beispiel mit der Funktion $f(x) = 3x^{2} + 9x~–~12$ an, zuerst mit der Mitternachtsformel:

$x_{1,2} = \dfrac{–9~\pm~\sqrt{9^{2}~–~4 \cdot 3 \cdot (–12)}}{2 \cdot 3} = \dfrac{–9~\pm~\sqrt{81~+~144}}{6} = \dfrac{–9~\pm~\sqrt{225}}{6} = \dfrac{–9~\pm~15}{6}$

Damit haben wir die beiden Nullstellen $x_{1} = \frac{–9 + 15}{6} = \frac{6}{6} = 1$ und $x_{2} = \frac{–9~–~15}{6} = \frac{–24}{6} = –4$.

Nun wollen wir das Gleiche noch einmal mit der $pq$-Formel berechnen. Dafür müssen wir die Gleichung zuerst so umformen, dass der Faktor vor dem $x^{2}$ zu $1$ wird. Dafür setzen wir den Funktionsterm gleich null und dividieren die Gleichung durch $3$.

$0 = 3x^{2} + 9x~–~12 \Leftrightarrow 0 = x^{2} + 3x~–~4$

Nun können wir die $pq$-Formel anwenden:

$x_{1,2} = –\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}~+~4} = –\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{16}{4}} = –\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4}} = –\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{5}{2}$

Damit haben wir noch einmal die beiden Nullstellen $x_{1} = –\frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 1$ und $x_{2} = –\frac{3}{2}~–~\frac{5}{2} = –4$ berechnet. Nun wollen wir uns mit Funktionen höheren Grads beschäftigen.

Nullstellen kubischer Funktionen bestimmen – Ausklammern und Nullprodukt

Wenn wir die Nullstellen kubischer Funktionen bestimmen möchten, helfen Äquivalenzumformungen nicht direkt weiter, auch die $pq$- oder die Mitternachtsformel sind hier zunächst nicht anwendbar. Allerdings verwendet man einen kleinen Trick, der den vorhin schon angesprochenen Satz vom Nullprodukt ausnutzt. Dieser sagt implizit aus, dass man jede Funktion als Produkt ihrer Nullstellen (wenn die Funktion denn Nullstellen hat) darstellen kann. Diese Form nennt man die Linearfaktorform. Das bedeutet gleichzeitig auch, dass, wenn wir entweder eine Nullstelle gegeben haben oder einen linearen Term ausklammern können, wir so die kubische Funktion in ein Produkt umwandeln können, auf das wir den Satz vom Nullprodukt anwenden können.

Das schauen wir uns mal bei einem Beispiel an, nämlich bei der Funktion $f(x) = –2x^{3}~–~2x^{2} + 24x$. Bei dieser Funktion ist es möglich, durch Ausklammern die Nullstellen zu bestimmen:

$\begin{array}{rccccccccl} 0 & = & & & –2x^{3} & – & 2x^{2} & + & 24x & \vert :(–2) \\ 0 & = & & & x^{3} & + & x^{2} & – & 12x & \\ 0 & = & x & \cdot & (x^{2} & + & x & – & 12) & \\ \end{array}$

Nun haben wir ein Produkt und können die Faktoren wieder getrennt betrachten. Damit haben wir bereits die erste Nullstelle $x_{1} = 0$. Die anderen beiden Nullstellen erhalten wir aus der Gleichung $0 = x^{2} + x~–~12$. Da dies nun eine quadratische Gleichung ist, können wir die obigen Möglichkeiten anwenden. Mit der $pq$-Formel erhalten wir:

$x_{2,3} = –\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} + 12} = –\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{48}{4}} = –\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{49}{4}} = –\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{7}{2}$

Damit erhalten wir die anderen beiden Nullstellen $x_{2} = –\frac{1}{2} + \frac{7}{2} = 3$ und $x_{3} = –\frac{1}{2}~–~\frac{7}{2} = –4$.

Nullstellen kubischer Funktionen bestimmen – Polynomdivision

Was aber, wenn man keine Nullstellen gegeben hat und man auch nicht so einfach ein $x$ ausklammern kann? Dann müssen wir durch Ausprobieren eine Nullstelle finden und diese als Linearfaktor ausklammern. Wir schauen uns das am Beispiel ${f(x) = 2x^{3} + 8x^{2} + 2x~–~12}$ an. Wir setzen also ein paar einfache Werte für $x$ ein und schauen, ob $0$ herauskommt. Zuerst $x = –1$:

$2 \cdot (–1)^{3} + 8 \cdot (–1)^{2} + 2 \cdot (–1)~–~12 = –2 + 8~–~2~–~12 = –8 \neq 0$

Das war leider nichts. Probieren wir nun $x = 1$:

$2 \cdot 1^{3} + 8 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1~–~12 = 2 + 8 + 2~–~12 = 0$

Wir haben unsere erste Nullstelle $x_{1} = 1$ gefunden. Diese können wir nun als Linearfaktor ausklammern. Die Nullstelle verrät uns, dass wir den Term $(x~–~1)$ ausklammern können, da dieser als Gleichung $x~–~1 = 0$ die Nullstelle $x_{1} = 1$ ergibt. Also wollen wir nun wissen, welchen Term wir mit $(x~–~1)$ multiplizieren müssen, um auf unsere Funktion $f(x) = 2x^{3} + 8x^{2} + 2x~–~12$ zu kommen. Im Umkehrschluss müssen wir also $2x^{3} + 8x^{2} + 2x~–~12$ durch $(x~–~1)$ dividieren. Das machen wir mit der Polynomdivision:

$\begin{array}{rcccccccl} & 2x^{3} & + & 8x^{2} & + & 2x & – & 12 & = (x – 1) \cdot (2x^{2} + 10x + 12) \\ – & (2x^{3} & – & 2x^{2}) & & & & & \\ & & & 10x^{2} & + & 2x & – & 12 & \\ & & – & (10x^{2} & – & 10x) & & & \\ & & & & & 12x & – & 12 & \\ & & & & – & (12x & – & 12) & \\ \end{array}$

Nun müssen wir also nur noch die Gleichung $0 = 2x^{2} + 10x + 12$ lösen. Mit der Mitternachtsformel erhalten wir die anderen beiden Nullstellen $x_{2} = \frac{–10 – 2}{4} = \frac{–12}{4} = –3$ und $x_{3} = \frac{–10~+~2}{4} = \frac{–8}{4} = –2$.

Wir betrachten die Nullstellen am Funktionsgraphen:

Nullstellen höhergradiger Funktionen bestimmen – Polynomdivision

Auf ähnliche Weise können wir die Nullstellen aller höhergradigen Funktionen bestimmen. Wir müssen nur so viele Nullstellen finden, dass wir durch Polynomdivision ein Produkt mit einem quadratischen Term erhalten. Für diesen haben wir dann genügend Möglichkeiten, die Nullstellen zu bestimmen. Schauen wir uns das noch einmal an einer anderen Funktion an, nämlich an ${f(x) = x^{5} + 4x^{4} – 12x^{3} – 34x^{2} + 11x + 30}$. Wir probieren erst einmal einige Werte aus, um Nullstellen zu finden. Um aus diesem Funktionsterm vom Grad $5$ ein Produkt mit einem quadratischen Term zu machen, brauchen wir drei Nullstellen.

$f(1) = 1^{5} + 4 \cdot 1^{4}~–~12 \cdot 1^{3}~–~34 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 + 30 = 1 + 4~–~12~–~34 + 11 + 30 = 5~–~36 + 41 = 0$

$f(2) = 2^{5} + 4 \cdot 2^{4}~–~12 \cdot 2^{3}~–~34 \cdot 2^{2} + 11 \cdot 2 + 30 = 32 + 64~–~96~–~136 + 22 + 30 = 96~–~96~–~136 + 52 \neq 0$

$f(–1) = (–1)^{5} + 4 \cdot (–1)^{4}~–~12 \cdot (–1)^{3}~–~34 \cdot (–1)^{2} + 11 \cdot (–1) + 30 = –1 + 4~+~12~–~34~–~11 + 30 = 3~–~22 + 19 = 0$

$f(–2) = (–2)^{5} + 4 \cdot (–2)^{4}~–~12 \cdot (–2)^{3}~–~34 \cdot (–2)^{2} + 11 \cdot (–2) + 30 = –32 + 64 + 96~–~136~–~22 + 30 = 32~–~40 + 8 = 0$

Damit haben wir drei Nullstellen gefunden, $x_{1} = 1$, $x_{2} = –1$ und $x_{3} = –2$. Also können wir die Linearfaktoren $(x~–~1)$, $(x + 1)$ und $(x + 2)$ ausklammern. Dies machen wir Schritt für Schritt mit der Polynomdivision:

$\begin{array}{rccccccccccl} & x^{5} & + & 4x^{4} & – & 12x^{3} & – & 34x^{2} & + & 11x & + & 30 = (x – 1) \cdot (x^{4} + 5x^{3}~–~7x^{2}~–~41x~–~30) \\ – & (x^{5} & – & x^{4}) & & & & & & & & \\ & & & 5x^{4} & – & 12x^{3} & – & 34x^{2} & + & 11x & + & 30 \\ & & – & (5x^{4} & – & 5x^{3}) & & & & & & \\ & & & & & –7x^{3} & – & 34x^{2} & + & 11x & + & 30 \\ & & & & – & (–7x^{3} & + & 7x^{2}) & & & & \\ & & & & & & & –41x^{2} & + & 11x & + & 30 \\ & & & & & & – & (–41x^{2} & + & 41x) & & \\ & & & & & & & & & –30x & + & 30 \\ & & & & & & & & – & (–30x & + & 30) \\ \end{array}$

Nun machen wir weiter und faktorisieren den nächsten Linearfaktor, indem wir ${x^{4} + 5x^{3}~–~7x^{2}~–~41x~–~30}$ durch $(x + 1)$ dividieren:

$\begin{array}{rccccccccl} & x^{4} & + & 5x^{3} & – & 7x^{2} & – & 41x & – & 30 = (x + 1) \cdot (x^{3} + 4x^{2}~–~11x~–~30) \\ – & (x^{4} & + & x^{3}) & & & & & & \\ & & & 4x^{3} & – & 7x^{2} & – & 41x & – & 30 \\ & & – & (4x^{3} & + & 4x^{2}) & & & & \\ & & & & & –11x^{2} & – & 41x & – & 30 \\ & & & & – & (–11x^{2} & – & 11x) & & \\ & & & & & & & –30x & – & 30 \\ & & & & & & – & (–30x & – & 30) \\ \end{array}$

Und zuletzt führen wir noch eine Polynomdivision mit $(x + 2)$ durch:

$\begin{array}{rccccccl} & x^{3} & + & 4x^{2} & – & 11x & – & 30 = (x + 2) \cdot (x^{2} + 2x~–~15) \\ – & (x^{3} & + & 2x^{2}) & & & & \\ & & & 2x^{2} & – & 11x & – & 30 \\ & & – & (2x^{2} & + & 4x) & & \\ & & & & & –15x & – & 30 \\ & & & & – & (–15x & – & 30) \\ \end{array}$

Nun haben wir unsere faktorisierte Version des Funktionsterms ${(x~–~1)(x + 1)(x + 2)(x^{2} + 2x~–~15)}$ und können uns bei der Suche nach den letzten beiden Nullstellen auf den quadratischen Teil des Terms konzentrieren. Mit der $pq$-Formel erhalten wir:

$x_{4,5} = –\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^{2} + 15} = –1 \pm \sqrt{16} = –1 \pm 4$

Und damit erhalten wir die letzten beiden Nullstellen $x_{4} = –1 + 4 = –3$ und $x_5 = –1~–~4 = –5$.

Nullstellen höhergradiger Funktionen bestimmen – Substitution

In besonderen Fällen ist eine weitere Option möglich, nämlich die Substitution. Dabei definierst du einen Term als eine einfache Variable, um die Funktion auf Nullstellen zu untersuchen, und setzt dann am Ende den Term wieder ein, um alle Nullstellen zu finden. Diese Vorgehensweise ist allerdings nur bei besonderen Funktionen Erfolg versprechend – beispielsweise bei solchen, die nur Potenzen mit geradem Exponenten enthalten.

Wir schauen uns das am Beispiel $f(x) = –5x^{4} + 6x^{2}~–~1$ an. Da es sich hier um eine biquadratische Funktion handelt, können wir eine neue Variable definieren, und zwar $z = x^{2}$. Durch Substitution formen wir damit den Funktionsterm zu $f(z) = –5z^{2} + 6z~–~1$ um. Wenn wir für $z$ wiederum $x^{2}$ einsetzen, erhalten wir wieder unsere ursprüngliche Funktionsgleichung. Durch diese Substitution haben wir nun eine quadratische Funktionsgleichung, die wir mittels Mitternachtsformel oder $pq$-Formel lösen können:

$z_{1,2} = \dfrac{–6 \pm \sqrt{6^{2}~–~4 \cdot (–5) \cdot (–1)}}{2 \cdot (–5)} = \dfrac{–6 \pm \sqrt{36~–~20}}{–10} = \dfrac{6 \pm 4}{10}$

Damit erhalten wir die beiden Nullstellen $z_{1} = \frac{6 + 4}{10} = 1$ und $z_{2} = \frac{6~–~4}{10} = \frac{1}{5}$. Nun sind das aber ja die Nullstellen von $f(z)$. Wir wollen aber die Nullstellen von $f(x)$ ermitteln. Also müssen wir wieder zurücksubstituieren und erhalten die Gleichungen:

$x^{2} = 1$ und $x^{2} = \frac{1}{5}$

Damit können wir dann die Nullstellen von $f(x)$ bestimmen:

$x_{1} = \sqrt{1} = 1$

$x_{2} = –\sqrt{1} = –1$

$x_{3} = \sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$

$x_{4} = –\sqrt{\dfrac{1}{5}} = – \dfrac{1}{\sqrt{5}}$

Wir veranschaulichen uns die Nullstellen noch einmal am Funktionsgraphen:

Nullstellen von Funktionen höheren Grads – Zusammenfassung

Häufig gestellte Fragen zum Thema Nullstellen von Funktionen