Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen
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Grundlagen zum Thema Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, das Globalverhalten ganzrationaler Funktionen anhand der höchsten Potenz von x einzuschätzen.
Zunächst lernst du, warum die höchste Potenz einer ganzrationalen Funktionen einen so großen Einfluss auf das Globalverhalten, also das Verhalten im Unendlichen, hat.
Anschließend wird erörtert, was passiert, wenn der Exponent der höchsten Potenz gerade oder ungerade ist. Abschließend erfährst du, wie sich das Vorzeichen des Koeffizienten vor der höchsten Potenz auswirkt.
Lerne etwas über eine Reise in die Unendlichkeit, die unter verschiedenen Vorzeichen stehen kann.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie ganzrationale Funktion, Potenz, Exponent, Koeffizient, Globalverhalten und Kurvendiskussion.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine ganzrationale Funktion ist und wie der Funktionsgraph einer ganzrationalen Funktion im Allgemeinen aussieht. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zum Rechnen mit Potenzen haben und schonmal von einer Kurvendiskussion gehört haben.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Schritte der Kurvendiskussion zu lernen und auch das Globalverhalten gebrochen rationaler Funktionen zu betrachten.
Transkript Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen
Unendlichkeit ist ziemlich schwer einzuschätzen. Oh! Ein Fahrstuhl. Na dann mal einsteigen, und ab ins Unendliche! Dabei sehen wir uns das „Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen“ an. Kurz zur Wiederholung: Eine Funktion ist „ganzrational“, wenn ihr Funktionsterm eine Summe aus Potenzen von „x“ ist, deren Exponenten „n“ natürliche Zahlen sind, wobei auch die „Null“ möglich ist. Hier ein Beispiel: Einzelne Koeffizienten können dabei auch „gleich Null“ sein, wie in dieser Funktion „a-Drei“, und ein Funktionsterm wie dieser kann auch in faktorisierter Form vorliegen, also umgeformt, zum Beispiel so. Bei der „Kurvendiskussion“ geht es nun darum, den Verlauf des Funktionsgraphen anhand einer Untersuchung der Funktionsgleichung zu erschließen. Um zu bestimmen, wie ein Graph für sehr, sehr große und sehr, sehr kleine „x-Werte“ verläuft, müssen die Funktionswerte einer Funktion für ebensolche Werte untersucht werden. Einfach gesagt: Man setzt „positiv unendlich“ und „negativ unendlich“ in die Funktionsgleichung ein und schaut, was passiert. Das ist mit „Verhalten im Unendlichen gemeint“ – und wird oft auch „Globalverhalten“ genannt. Mit „unendlich“ lässt sich allerdings schlecht rechnen. Also machen wir es mal nicht zu verkopft und setzen einfach mal Zehntausend ein, und zwar in diese Funktion. Das Ergebnis ist „Einmal Zehn hoch Sechzehn“, gerundet auf drei Stellen hinter dem Komma. Das ist eine Eins mit sechzehn Nullen – positiv und ziemlich groß. Auffällig ist, dass „Zehntausend hoch vier“, also der erste Summand des Funktionsterms, für sich alleine genommen schon genau „Einmal Zehn hoch Sechzehn“ ist. Die ganzen anderen Summanden haben also bei diesem großen „x-Wert“ so gut wie gar keinen Einfluss auf das Ergebnis. Das liegt daran, dass die Potenzen ja nichts anderes sind als „x mit sich selbst multipliziert“. Betrachten wir nur die ersten beiden Summanden, wird klar, dass das zusätzliche „Mal x“ des ersten Summanden auf jeden Fall viel größer sein wird, als der „Faktor Drei“ des zweiten, selbst wenn dieser Dreißig, Dreihundert oder Dreitausend wäre. Denn „x“ geht ja gegen unendlich ist und somit immer größer als eine beliebige feste Zahl. Dasselbe gilt erst recht im Vergleich mit den restlichen Summanden. Bei ganzrationalen Funktionen reicht es deshalb aus, nur den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten. Das sehen wir auch, wenn wir Minus-Zehntausend einsetzen. Das Ergebnis bleibt gleich, da das Minuszeichen durch den geraden Exponenten „x hoch vier“ herausfällt. Diese Funktion liefert also sowohl für sehr große als auch für sehr kleine „x“ enorm große Funktionswerte. Damit können wir sagen: Die Funktionswerte von „F von x“ streben für „x gleich positiv-unendlich“, und „x gleich negativ-unendlich“ jeweils gegen „positiv-unendlich“. Anders ist es bei dieser Funktion: Auch hier betrachten wir nur den Summanden mit der höchsten Potenz, „Drei x hoch drei“. Allerdings ist hier der Exponent ungerade. Das führt dazu, dass die Funktion für sehr große „x“ zwar ebenfalls gegen „positiv-unendlich“ strebt, für negative „x“ allerdings gegen „negativ-unendlich“, da das Minuszeichen hier beim Potenzieren nicht herausfällt. Es ist also für das Verhalten im „negativ“ Unendlichen entscheidend, ob der höchste Exponent von „x“ gerade oder ungerade ist. Jetzt noch ein letztes Beispiel: Hier ist „x hoch fünf“ die höchste Potenz und damit ungerade. Durch den negativen Koeffizienten „Minus-einhalb“ wird nun aber das Vorzeichen aller Funktionswerte, die „x hoch fünf“ liefert, umgedreht. Das heißt, dass die Funktion für „x gegen positiv-unendlich“ zwar betragsmäßig sehr große, aber eben negative Funktionswerte liefert, und stattdessen für „x gegen negativ-unendlich“ gegen „positiv-unendlich“ strebt. Obwohl wir nur den Summanden mit der höchsten Potenz von „x“ betrachten, dürfen wir dessen Koeffizienten, oder genauer gesagt dessen Vorzeichen, also nicht außer Acht lassen. Fassen wir diese Überlegungen noch einmal zusammen. Dazu nutzen wir eine Tabelle zur Übersicht, die für alle „ganzrationalen Funktionen“ gilt. Wir sehen uns an, ob der Exponent „n“ der höchsten Potenz von „x“ gerade oder ungerade ist. Außerdem, ob der Koeffizient „a-n“ vor der höchsten Potenz größer oder kleiner Null, also positiv oder negativ, ist. Ist „n“ gerade und „a-n“ größer Null, wird die Funktion sowohl für sehr große als auch sehr kleine „x“ gegen „positiv unendlich“ streben. Bei „n“ gerade und „a-n“ kleiner Null wird es hingegen in beide Richtungen gegen „negativ unendlich“ gehen. Ist „n“ ungerade, wird sich das Verhalten der Funktion für große und kleine „x“ unterscheiden und dabei das Vorzeichen von „x“ beibehalten, oder eben beidseitig umkehren, wenn „a-n“ negativ ist. Bevor man eine Reise in die Unendlichkeit unternimmt, sollte man also alle Vorzeichen genau im Auge behalten, um keine böse Überraschung zu erleben.
Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen Übung
-
Beschreibe, wie sich das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen untersuchen lässt.
TippsBeispiel: $f(x)=x^4 + \dfrac{9}{4}x^2-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2} $
Der Summand mit der höchsten Potenz ist $x^4$. Es gilt:- Der Exponent ist gerade: $x=4$
- Der Koeffizient ist positiv: $x^4=+1x^4$
Den Graphen von $f(x)$ sehen wir hier:
LösungDas Verhalten im Unendlichen:
Das Verhalten eines Funktionsgraphen für $x=+\infty$ und $x=-\infty$ wird auch Globalverhalten genannt.
Um zu bestimmen, wie ein Graph für sehr große oder sehr kleine $x$-Werte verläuft, können wir testweise sehr große $x$-Werte, z.B. $x=10\,000$, und sehr kleine $x$-Werte, z.B. $x=-10\,000$, einsetzen und die entsprechenden Funktionswerte bestimmen.Ganzrationale Funktionen:
Bei ganzrationalen Funktionen reicht es aus, den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten. Dabei ist es entscheidend, ob der Exponent der höchsten Potenz gerade oder ungerade ist. Auch das Vorzeichen des Koeffizienten vor der höchsten Potenz ist relevant für das Verhalten im Unendlichen.Beispiel: $f(x)=x^4 + \dfrac{9}{4}x^2-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2} $
Der Summand mit der höchsten Potenz ist $x^4$. Es gilt:- Der Exponent ist gerade: $x=4$
- Der Koeffizient ist positiv: $x^4=+1x^4$
Für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$.
Für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$. -
Bestimme das Verhalten der gegebenen Funktion im Unendlichen durch Testeinsetzung.
TippsSetze für die Testeinsetzung für jedes $x$ in der Funktionsgleichung $10\,000$ bzw. $-10\,000$ ein.
Beachte: $(-1)^4=+1$
In diesem Beispiel werden die Funktionswerte der Funktion $f(x)$ für $x \to -\infty$ und $x \to \infty$ sehr groß. Was bedeutet das für das Globalverhalten von $f(x)$?
LösungUntersuchung des Verhalten im Unendlichen:
Um das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen zu untersuchen, können wir testweise sehr große $x$-Werte, z.B. $x=10\,000$, und sehr kleine $x$-Werte, z.B. $x=-10\,000$, einsetzen.Untersuchung der gegebenen Funktion:
Für $\displaystyle f(x)=x^4 + \frac{9}{4}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$ setzen wir ein:$\mathbf{x=10\,000}$
$\displaystyle f(10\,000)=10\,000^4+ \frac{9}{4} \cdot10\,000^2-\frac{3}{4}\cdot 10\,000 +\frac{1}{2}=1,000 \cdot 10^{16}$
Wir können damit auf das Verhalten im positiven Unendlichen schlussfolgern:
Für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$$\mathbf{x=-10\,000}$
$\displaystyle f(-10\,000)=(-10\,000)^4+ \frac{9}{4} \cdot (-10\,000)^2-\frac{3}{4}\cdot (-10\,000) +\frac{1}{2}=1,000 \cdot 10^{16}$
Wir können damit auf das Verhalten im negativen Unendlichen schlussfolgern:
Für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$Allgemeine Betrachtung:
Allgemein reicht es bei ganzrationalen Funktionen aus, den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten. Dabei ist es für das Verhalten im Unendlichen entscheidend, ob der Exponent der höchsten Potenz gerade oder ungerade und ob das Vorzeichen des Koeffizienten positiv oder negativ ist.
In unserem Beispiel ist der Exponent gerade und der Koeffizient positiv, daher gilt:
- Für $x \to +\infty$: $\quad f(x)\to +\infty$
- Für $x \to -\infty$: $\quad f(x)\to +\infty$
-
Entscheide, welche Elemente des Funktionsterms ausschlaggebend für das Verhalten der Funktion im Unendlichen sind.
TippsBeispiel: Verhalten im Unendlichen der Funktion $g(x)$
Um das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen zu untersuchen, reicht es aus, den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten.
LösungDas Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. Dabei müssen wir den Exponenten und den Koeffizienten, also den Vorfaktor dieses Summanden, untersuchen. Genauer untersuchen wir:
- Ist der Exponent gerade oder ungerade?
- Ist der Koeffizient positiv oder negativ?
Achtung: Die höchste Potenz muss nicht zwingend vorne stehen!- $f(x)= -1,5 x^5 +3 x^4 -6 \quad$ entscheidender Summand: $-1{,}5x^5$
- $f(x)= \frac{2}{3} x^8 -9 x^7 -\frac{1}{8} x^5 +2 x^2 -8 \quad$ entscheidender Summand: $\frac{2}{3} x^8$
- $f(x)= \frac{1}{2} x+5 x^2 -4 x^3 +2 \quad$ entscheidender Summand: $-4x^3$
- $f(x)= -4 +3 x \quad$ entscheidender Summand: $+3x$
Für das Verhalten im Unendlichen gilt dann:
- $f(x)= -1,5 x^5 +3 x^4 -6$
$\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$- $f(x)= \frac{2}{3} x^8 -9 x^7 -\frac{1}{8} x^5 +2 x^2 -8 $
$\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$- $f(x)= \frac{1}{2} x+5 x^2 -4 x^3 +2$
$\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$- $f(x)= -4 +3 x $
$\qquad x \to +\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$ -
Untersuche das Verhalten der Funktionen im Unendlichen.
TippsBesitzt der Teil mit der höchsten Potenz einen geraden Exponenten $n$ und einen positiven Koeffizienten, dann geht die Funktion $f$ sowohl für $x \to -\infty$ als auch für $x \to \infty$ gegen $+ \infty$.
Beispiel: $\displaystyle f(x)=-5x^4+\frac{1}{3}x$
Der Summand mit der höchsten Potenz ist $-5x^4$.
Der Exponent ist $4$, also gerade.
Der Koeffizient ist $-5$, also negativ.$\Rightarrow \quad$ für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$
$\quad$ und für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$LösungUm das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen zu untersuchen, reicht es aus, den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten. Dabei ist es entscheidend, ob der Exponent der höchsten Potenz gerade oder ungerade ist. Auch das Vorzeichen des Koeffizienten vor der höchsten Potenz ist relevant für das Verhalten im Unendlichen. Allgemein gilt:
- Ist der Exponent gerade und der Koeffizient positiv so gilt:
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$- Ist der Exponent ungerade und der Koeffizient positiv so gilt:
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$- Ist der Exponent gerade und der Koeffizient negativ so gilt:
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$- Ist der Exponent ungerade und der Koeffizient negativ so gilt:
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$$\,$
Wir betrachten die gegebenen Funktionen:
Funktion 1: $f(x)=4x^8-3x^2+5$
Der Summand mit der höchsten Potenz ist $4x^8$.
Der Exponent ist $8$, also gerade, der Koeffizient ist $4$, also positiv.
$\Rightarrow$ Für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$ und für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$.Funktion 2: $\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^5+3x^4-\frac{3}{4}x$
Der Summand mit der höchsten Potenz ist $\displaystyle -\frac{1}{2}x^5$.
Der Exponent ist $5$, also ungerade, der Koeffizient ist $\displaystyle -\frac{1}{2}$, also negativ.
$\Rightarrow$ Für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$ und für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$.Funktion 3: $\displaystyle f(x)=-x^2+\frac{1}{2}x-4$
Der Summand mit der höchsten Potenz ist $-x^2$.
Der Exponent ist $2$, also gerade, der Koeffizient ist $-1$, also negativ. Daher gilt:
$\Rightarrow$ Für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$ und für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$.Funktion 4: $\displaystyle f(x)=\frac{3}{8}x^9-\frac{1}{4}x^8-3x^2-2$
Der Summand mit der höchsten Potenz ist $\displaystyle \frac{3}{8}x^9$.
Der Exponent ist $9$, also ungerade, der Koeffizient ist $\displaystyle \frac{3}{8}$, also positiv. Daher gilt:
$\Rightarrow$ Für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$ und für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$. -
Entscheide, ob es sich bei der Funktion um ganzrationale Funktionen handelt.
TippsUnter einer ganzrationalen Funktion versteht man eine Funktion der Form
$f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ a_{n-2}x^{n-2}+...+a_0x^0$
Diese Funktion ist keine ganzrationale Funktion: $f(x)=\dfrac{1}{x}$
LösungUnter einer ganzrationalen Funktion versteht man eine Funktion der Form
$f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ a_{n-2}x^{n-2}+...+a_0x^0$
mit $n \in \mathbb{N}_0$. Der Funktionsterm ist eine Summe aus Potenzen von $x$. Dabei können einzelne Koeffizienten auch gleich $0$ sein.
Wir betrachten die gegebenen Funktionen und ordnen zu:
Ganzrationale Funktionen: Funktionen, die aus einer Summe von Potenzen bestehen, sind ganzrationale Funktionen, wie z.B.:
- $f(x)=2x^4 + 3x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}$
- $f(x)=-9x^5+3x^3-1,2x^9$
- $f(x)=3x+1$
- $f(x)=(2x-4)\bigg(\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{4}\bigg)(4x^2+1)$
$f(x)=2x^4-6x^3+\dfrac{18}{4}x^2 -\dfrac{6}{4}x+1$
Keine ganzrationalen Funktionen:
- $f(x)=3x^2+\sqrt{x} \quad$... da $\sqrt{x}$ nicht als $x^n$ mit $n \in \mathbb{N}_0$ geschrieben werden kann.
- $f(x)=\dfrac{3x^2+4x-2}{x^2-x} \quad$... da $x$ im Nenner vorkommt und nicht gekürzt werden kann.
-
Überprüfe die Aussagen zum Globalverhalten der gegebenen Funktion.
TippsUm die einzelnen Summanden betrachten zu können, müsstest du die Klammern ausmultiplizieren. Es reicht jedoch, sich den Summanden mit der höchsten Potenz herzuleiten.
Um das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen zu untersuchen, reicht es aus, den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten. Dabei gilt:
- Ist der Exponent gerade und der Koeffizient positiv, so gilt:
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$- Ist der Exponent ungerade und der Koeffizient positiv, so gilt:
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$- Ist der Exponent gerade und der Koeffizient negativ, so gilt:
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$- Ist der Exponent ungerade und der Koeffizient negativ, so gilt:
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$Der Exponent der höchsten Potenz ist ungerade.
$f(x)=-3x \cdot (x+3) \cdot (x-5)^2 \cdot(3-x) \\ = 3x^5-30x^4+48x^3+270x^2-675x$
LösungUm das Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen zu untersuchen, reicht es aus, den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten. Dabei gilt:
- Ist der Exponent gerade und der Koeffizient positiv, so gilt:
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$- Ist der Exponent ungerade und der Koeffizient positiv, so gilt:
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$- Ist der Exponent gerade und der Koeffizient negativ, so gilt:
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to -\infty$- Ist der Exponent ungerade und der Koeffizient negativ, so gilt:
$\qquad x \to -\infty \Rightarrow \quad f(x)\to +\infty$$\,$
Die gegebene Funktion liegt jedoch in faktorisierter Form vor, bei der die einzelnen Summanden nicht direkt erkennbar sind:
$f(x)=-3x \cdot (x+3) \cdot (x-5)^2 \cdot(3-x) $
Wir könnten nun alle Klammern ausmultiplizieren, um die Summanden betrachten zu können. Da uns jedoch nur der Summand mit der höchsten Potenz interessiert, ist dies nicht nötig. Wir können uns diesen auch so herleiten:
Die höchste Potenz ergibt sich beim Multiplizieren der Faktoren $-3x \cdot x \cdot x^2 \cdot (-x) = 3x^5$
Der Summand mit der höchsten Potenz ist also $3x^5$.Wir betrachten damit die gegebenen Aussagen:
Die höchste Potenz ist $x^2$.
Diese Aussage ist falsch. Die höchste Potenz ist $x^5$.Der Koeffizient der höchsten Potenz ist positiv.
Diese Aussage ist richtig. Der Koeffizient ist $3$, also positiv.Der Faktor $-3x$ hat keinen Einfluss auf das Verhalten der Funktion im Unendlichen.
Diese Aussage ist falsch. Der Faktor $-3x$ wird beim Berechnen des Summanden mit der höchsten Potenz verwendet und ist somit entscheidend für das Verhalten der Funktion im Unendlichen.Für $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$.
Diese Aussage ist richtig, da der Exponent der höchsten Potenz ungerade und ihr Koeffizient positiv ist.Das Verhalten der Funktion für $x \to +\infty$ und $x \to -\infty$ ist gleich.
Diese Aussage ist falsch, denn da der Koeffizient positiv und der Exponent ungerade ist, können wir schlussfolgern: $x \to +\infty$ gilt $f(x)\to +\infty$ und für $x \to -\infty$ gilt $f(x)\to -\infty$Hinweis 1: Möchtest du die Klammern des Funktionsterms doch komplett ausmultiplizieren, so lautet das Ergebnis:
$f(x)=-3x \cdot (x+3) \cdot (x-5)^2 \cdot(3-x) = 3x^5-30x^4+48x^3+270x^2-675x$Hinweis 2: Wenn du nur das Verhalten der Funktion im Unendlichen untersuchen möchtest, so kannst du dies auch durch eine Testeinsetzung ermitteln.
Ganzrationale Funktionen – Definition und Beispiele
Einführung in die Kurvendiskussion
Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen
Symmetrie von Funktionsgraphen
Achsensymmetrie und Punktsymmetrie nachweisen
Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen
Nullstellen durch Substitution bestimmen
Nullstellen von Funktionen höheren Grades
Extrempunkte bestimmen – Beispiele
Zweite Ableitung und Wendepunkte
Kurvendiskussion für quadratische Funktionen
8.905
sofaheld-Level
6.601
vorgefertigte
Vokabeln
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