Symmetrie von Funktionsgraphen

Symmetrie von Funktionsgraphen Übung

• Gib die Art der Symmetrie der Funktionsgraphen an.

  Tipps

  Achsensymmetrie bedeutet, dass der Graph beim Spiegeln an einer Spiegelachse gleich bleibt.

  Überlege, was das Spiegelungszentrum des Graphen ist: Sieht es auf der linken und rechten Seite von diesem Zentrum genau gleich aus?

  Lösung

  Es gibt verschiedene Arten von Symmetrien. Sie unterscheiden sich darin, ob an einer Achse oder an einem Punkt gespiegelt wird.

  Funktionsgraph 1:

  Dieser Graph hat die $y$-Achse als Symmetrieachse. Das heißt, die rechte Seite des Funktionsgraphen ist die Spiegelung der linken Seite. Der Graph ist also achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

  Funktionsgraph 2:

  Die rechte Seite dieses Graphen ist ebenfalls gespiegelt zur linken Seite. Allerdings ist die Symmetrieachse nicht die $y$-Achse, sondern die Gerade $x = -2$. Damit ist der Graph achsensymmetrisch zu der Achse $x = -2$.

  Funktionsgraph 3:

  Im Gegensatz zu den vorherigen beiden Graphen können wir diesen Graphen nicht durch Spiegelung an einer Achse erhalten: Dieser Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Jeder Punkt auf dem Graphen kann durch eine Linie durch den Koordinatenursprung auf die andere Seite gespiegelt werden. Das heißt, der Graph sieht genauso aus, wenn wir ihn um $180^\circ$ drehen.

  Funktionsgraph 4:

  Dieser Graph ist ebenfalls punktsymmetrisch. Doch diesmal liegt das Spiegelungszentrum nicht am Koordinatenursprung: Der Graph ist punktsymmetrisch mit dem Spiegelzentrum $(-2|1)$.

• Beschreibe das Vorgehen zur Überprüfung der Achsensymmetrie zur $y$-Achse.

  Tipps

  Bei einer achsensymmetrischen Funktion sind die $y$-Werte immer paarweise gleich, wenn die $x$-Werte die Gegenzahlen zueinander sind.

  $x$ und $-x$ sollten bei einer achsensymmetrischen Funktion jeweils zum selben $y$-Wert führen.

  Das Quadrat einer negativen Zahl ist gleich dem Quadrat des Betrages.

  Beispiel:

  $(-3)^2 = 3^2 = 9$

  Lösung

  Um Achsensymmetrie zur $y$-Achse zu überprüfen, müssen wir kontrollieren, ob $f(x) = f(-x)$ ist.

  Dafür setzen wir $-x$ in $f$ ein:

  $f(-x) = \dfrac{1}{2}\cdot (-x)^2 - 2 $

  Da Minus mal Minus Plus gibt, ist $(-x)^2 = (-x)\cdot (-x) = x^2$. Wir erhalten:

  $f(-x) = \dfrac{1}{2} \cdot x^2 - 2$

  $\implies f(-x) = f(x)$

  Wir haben damit gezeigt, dass die Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.

• Entscheide, welche Art von Symmetrie die Funktionsgraphen aufweisen.

  Tipps

  Überlege, ob du durch Festhalten an einem Punkt und Drehen den gleichen Graphen erhalten kannst.

  Ein Funktionsgraph ist punktsymmetrisch, wenn der Graph nach dem Drehen um einen Punkt um $180^\circ$ wieder in seine Ausgangsposition kommt.

  Ein Funktionsgraph ist nicht symmetrisch, wenn er weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch ist.

  Lösung

  Achsensymmetrische Funktionsgraphen:

  • Funktionsgraph 1: Diese Funktion ist eine Parabel. Wenn wir uns eine Achse durch $x = -1$ vorstellen, dann sehen wir, dass die rechte Seite die Spiegelung der linken Seite ist.
  • Funktionsgraph 2: Bei dieser Funktion handelt es sich um eine Funktion vierten Grades. Wir können sehen, dass der Hochpunkt genau auf der $y$-Achse liegt. Diese ist die Spiegelungsachse.
  • Funktionsgraph 3: Hier gibt es keinen Schnittpunkt mit der $y$-Achse. Aber nehmen wir die $y$-Achse als Spiegelungsachse, können wir wieder sehen, dass die rechte Seite die Spiegelung der linken ist. Das lässt sich auch daran erkennen, dass die Nullstellen Gegenzahlen zueinander sind.

  Punktsymmetrische Funktionsgraphen:

  • Funktionsgraph 4: Es handelt sich hier um eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung geht. Geraden sind immer punktsymmetrisch. Denn bei einer Drehung um $180^\circ$ erhalten wir erneut die Ausgangsstellung der Geraden.
  • Funktionsgraph 5: Diese Funktion ist eine Funktion dritten Grades, die durch den Koordinatenursprung geht. Jeder Punkt auf dem Funktionsgraphen kann durch eine Linie durch den Ursprung auf die andere Seite gespiegelt werden.
  • Funktionsgraph 6: Bei dieser Funktion hilft es, den Funktionsgraphen gedanklich um $180^\circ$ zu drehen. Der Funktionsteil im ersten Quadranten ist die Spiegelung des Teils im dritten Quadranten und umgekehrt.

• Überprüfe, ob die Funktionen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung oder achsensymmetrisch zur $y$-Achse sind.

  Tipps

  Bei einer punktsymmetrischen Funktion sind die $y$-Werte immer paarweise Gegenzahlen zueinander, wenn die $x$-Werte die Gegenzahlen zueinander sind.

  Das Quadrat einer negativen Zahl ist gleich dem Quadrat des Betrages.

  Beispiel:

  $(-3)^2 = 3^2 = 9$

  Lösung

  Da wir nur die Funktionsgleichungen gegeben haben, müssen wir rechnerisch überprüfen, ob die Funktion symmetrisch ist.
  Dafür setzen wir zuerst $-x$ in die Funktionsgleichung ein und schauen, ob die resultierende Gleichung $f(x)$ oder $-f(x)$ oder keinem von beiden entspricht.

  Funktion 1:

  Wir setzen $-x$ in $f$ ein:

  $f(-x) = (-x)^3 + 2\cdot (-x)^2 - 4\cdot (-x) + 2$

  Durch Vereinfachen erhalten wir die Funktion:

  $f(-x) = -x^3 + 2\cdot x^2 + 4\cdot x +2$

  Wir ziehen ein Minus vor:

  $f(-x) = -(x^3 - 2\cdot x^2 - 4\cdot x - 2)$

  Wir sehen, dass die Funktion weder punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung noch achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Denn:

  $f(-x) \neq -f(x) \quad $ und $\quad f(-x) \neq f(x)$

  Funktion 2:

  Wir setzen wieder $-x$ in $f$ ein:

  $f(-x) = -\dfrac{1}{2}(-x)^6 + \dfrac{9}{10}(-x)^4 - 5(-x)^2 + \dfrac{7}{2}$

  Durch Vereinfachen erhalten wir die Funktion:

  $f(-x) = -\dfrac{1}{2}x^6 + \dfrac{9}{10}x^4 - 5x^2 + \dfrac{7}{2}$

  Damit sehen wir direkt:

  $f(-x) = f(x)$

  Das heißt, die Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

• Bestimme die symmetrischen Funktionsgraphen.

  Tipps

  Überlege, ob der Funktionsgraph an einer Achse oder an einem Punkt gespiegelt wird.

  Alle Graphen, die weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch sind, bezeichnen wir hier als nicht symmetrisch.

  Beispiel:

  Die Exponentialfunktion ist weder punktsymmetrisch noch achsensymmetrisch.

  Lösung

  Um zu ermitteln, ob ein Graph symmetrisch, also entweder achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch, ist, müssen wir entweder eine Achse finden, an der der Graph gespiegelt wird, oder einen Punkt, an dem jeder Punkt auf dem Graphen gespiegelt werden kann.

  Funktionsgraph 1:

  Selbst wenn hier der linke und der rechte Teil auf einer Linie zu liegen scheinen, können wir für den mittleren Teil weder eine Achse noch einen Punkt finden. Deswegen ist dieser Graph nicht symmetrisch. $\rightarrow$ falsch

  Funktionsgraph 2:

  In diesem Fall können wir den Punkt $(-2|1)$ als das Spiegelungszentrum nehmen. Wenn wir an diesem Punkt festhalten und den Graphen um $180^\circ$ drehen, dann erhalten wir wieder den gleichen Graphen. Also ist dieser Graph punktsymmetrisch. $\rightarrow$ korrekt

  Funktionsgraph 3:

  Wir können weder eine Achse zum Spiegeln noch einen Punkt zum Spiegeln finden. Der Graph ist also nicht symmetrisch. $\rightarrow$ falsch

  Funktionsgraph 4:

  Hier können wir die Achse $x = -2$ durch das Spiegelungszentrum ziehen und sehen, dass die rechte Seite die Spiegelung der linken Seite ist. Das heißt, dass der Graph achsensymmetrisch ist. $\rightarrow$ korrekt

• Untersuche die Symmetrie der Graphen anhand der Funktionsgleichung.

  Tipps

  Für eine zur $y$-Achse achsensymmetrische Funktion gilt:

  $f(-x) = f(x)$

  Für eine zum Koordinatenursprung punktsymmetrische Funktion gilt:

  $f(x) = -f(-x)$

  Eine Funktion, die weder achsensymmetrisch zur $y$-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, kann trotzdem achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch sein: Überlege, ob eine Funktion verschoben sein könnte und deswegen nicht mehr auf dem Ursprung liegt. Diese Funktion könnte trotzdem symmetrisch sein.

  Geraden sind immer punktsymmetrisch.

  Lösung

  Funktion 1:

  Die Funktion $f(x) = \frac{3}{10}x^6 - \frac{5}{2}x^4 + 5x^2 + 5$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Das können wir nachweisen, indem wir $-x$ in die Funktion $f$ einsetzen:

  $\begin{array}{ll} f(-x) &= \dfrac{3}{10}(-x)^6 - \dfrac{5}{2}(-x)^4 + 5(-x)^2 + 5 \\ & \\ &= \dfrac{3}{10}x^6 - \dfrac{5}{2}x^4 + 5x^2 + 5 \\ & \\ &= f(x) \end{array}$

  Bei geraden Hochzahlen $n$ gilt immer:

  $(-x)^n = x^n$

  Funktion 2:

  $f(x) = -\frac{1}{2}x^5 + \frac{3}{2}x^3$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Denn:

  $\begin{array}{ll} f(-x) &= -\dfrac{1}{2}(-x)^5 + \dfrac{3}{2}(-x)^3 \\ & \\ &= \dfrac{1}{2}x^5 - \dfrac{3}{2}x^3 \\ & \\ &= -\left(-\dfrac{1}{2}x^5 + \dfrac{3}{2}x^3\right) \\ & \\ &= -f(x) \end{array}$

  Wenn wir das Minuszeichen auf die andere Seite holen, dann erhalten wir die Bedingung der Punktsymmetrie zum Ursprung:

  $f(x) = -f(-x)$

  Funktion 3:

  Bei dieser Funktion scheitern beide Bedingungen $f(x) = f(-x)$ und $f(x) = -f(-x)$:

  $\begin{array}{ll} f(-x) &= \dfrac{1}{6}(-x) + 3 \\ & \\ &= -\dfrac{1}{6}x + 3 \\ & \\ &\neq f(x) \quad \mathrm{und} \quad \neq -f(x) \end{array}$

  Das heißt, die Funktion ist weder achsensymmetrisch zur $y$-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
  Es handelt sich hier jedoch um eine Funktion ersten Grades, also um eine Gerade. Eine Gerade der Form ${f(x) = m\cdot x + b}$ gibt mit $m$ immer die Steigung und mit $b$ immer die Verschiebung auf der $y$-Achse an. Hier ist $b = 3$. Lassen wir die Verschiebung weg (diese neue Funktion nennen wir $\hat{f}$ mit $\hat{f}(x) = \frac{1}{6}x$) und setzen dann $-x$ in $\hat{f}$ ein, erhalten wir:

  $\hat{f}(-x) = \dfrac{1}{6}(-x) = -\dfrac{1}{6}x = -\hat{f}(x)$

  Diese neue Funktion ist also punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Das bedeutet, unsere ursprüngliche Funktion ist ebenfalls punktsymmetrisch, aber nicht zum Koordinatenursprung, sondern $3$ nach oben verschoben. Also ist $f$ punktsymmetrisch zum Punkt $(0|3)$.

  Funktion 4:

  Die Funktion $f(x) = \frac{7}{4}x^4 -2x^3 - 3x^2$ ist weder achsensymmetrisch zur $y$-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Wir setzen wieder $-x$ in $f$ ein, um dies nachzuweisen:

  $\begin{array}{ll} f(-x) &= \dfrac{7}{4}(-x)^4 -2(-x)^3 - 3(-x)^2 \\ & \\ &= \dfrac{7}{4}x^4 +2x^3 - 3x^2 \\ & \\ &\neq f(x) \quad \mathrm{und} \quad \neq -f(x) \end{array}$

  Außerdem können wir durch Verschieben oder Drehen kein Spiegelungszentrum finden. Das heißt, die Funktion ist nicht symmetrisch.