Sinus, Cosinus und Tangens – Längenbestimmung im Dreieck

Sinus, Cosinus und Tangens – Längenbestimmung im Dreieck Übung

• Nenne die trigonometrischen Sätze.

  Tipps

  Der Sinus und der Cosinus machen Gebrauch von der Hypotenuse, die jeweils immer im Nenner des Bruches steht.

  Der Tangens benötigt keine Hypotenuse. Er stellt die Gegenkathete in ein Verhältnis zur Ankathete. Zur Berechnung wird die Gegenkathete durch die Ankathete dividiert.

  Lösung

  Die trigonometrischen Sätze helfen dir, die Seiten und Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen. Es gibt drei verschiedene trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus und Tangens.

  Mit deren Hilfe können wir Aussagen über Seitenverhältnisse treffen. Eine entscheidende Rolle spielen dabei Winkel: Je nachdem, aus welcher Perspektive wir das Dreieck betrachten, verändert sich nämlich die Benennung der Katheten. Dies sind die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, welche am rechten Winkel anliegen. Die Kathete, welche an dem Winkel $\alpha$ anliegt, wird Ankathete genannt. Diejenige Kathete, welche diesem Winkel gegenüber liegt, nennt man Gegenkathete. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse.

  Mit diesen Voraussetzungen können wir die trigonometrischen Sätze formulieren.

  Der Sinus wird durch das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse ausgedrückt. Mathematisch ausgedrückt schreiben wir:

  • $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Der Cosinus beschreibt das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse. Wir schreiben:

  • $\cos( \alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

  Der Tangens benötigt keine Hypotenuse. Er definiert sich durch das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete:

  • $\tan( \alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

• Berechne die Höhe der Freiheitsstatue.

  Tipps

  Die Benennung von An- und Gegenkathete hängt vom jeweiligen Winkel ab, aus dessen Perspektive das Dreieck betrachtet wird.

  Sowohl der Sinus als auch der Cosinus verwenden die Hypotenuse, wenn sie Seiten des Dreieckes in Beziehung setzen.

  Lösung

  Rechtwinklige Dreiecke sind spezielle Dreiecke. Sie zeichnet aus, dass einer der drei Innenwinkel $90^\circ$ beträgt.

  Mithilfe der trigonometrischen Sätze lassen sich die verschiedenen Seiten und Winkel in einem rechtwinkigen Dreieck berechnen. Um sich besser orientieren zu können, werden den Seiten Namen gegeben. Es gibt:

  • die Ankathete,
  • die Gegenkathete und
  • die Hypotenuse.

  Dabei kannst du dir merken, dass die Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse genannt wird. Diese Seite ist in allen rechtwinkligen Dreiecken die längste.

  Bei der Benennung der Katheten ist allerdings Vorsicht geboten. Diese hängt nämlich von der Perspektive ab, welche man einnimmt. Mit der Perspektive ist einer der beiden Winkel außer dem rechten gemeint:

  • Die Kathete, welche dem Ausgangswinkel anliegt, wird Ankathete genannt.
  • Die Kathete, welche diesem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete.

  In dem abgebildeten Dreieck ist die Ankathete zu $\alpha$ lila, die Gegenkathete grün. Ebenso ist die Ankathete grün und die Gegenkathete lila, wenn man vom Winkel $\beta$ ausgeht. Dieser läge dann dort, wo sich die grüne Kathete und die gelbe Hypotenuse schneiden.

  Mit diesem Wissen können wir uns nun fragen, ob der Sinus, Cosinus oder Tangens zur Berechnung der Höhe der Freiheitsstatue verwendet werden kann.

  Da wir die Ankathete, die am Winkel $\alpha= 10,5^\circ$ anliegt, mit eine Länge von $500$ Meter kennen und uns die Länge der Gegenkathete (Freiheitsstatue) interessiert, verwenden wir den Tangens, welcher eben diese beiden Seiten in Relation setzt. Wir rechnen folgendermaßen:

  \begin{align} \tan(\alpha) & = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\\ \tan(10,5^\circ) & = \frac{h}{500}\\ h & = \tan(10,5^\circ) \cdot 500\\ & \approx 92,7 \end{align}

  Kevin weiß nun, wie hoch die Freiheitsstatue ist! Sie bemisst $92,7$ Meter.

• Berechne die Entfernung zum Eiffelturm.

  Tipps

  Die drei trigonometrischen Sätze, welche verwendet werden dürfen, sind:

  • $\sin(\alpha)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • $\cos (\alpha)= \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • $\tan(\alpha)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

  Überlege dir, aus welcher Perspektive das Dreieck benannt wird. Diese wird durch den dir bekannten Winkel $\alpha$ bestimmt.

  Lösung

  Die trigonometrischen Sätze sind variabel anwendbar. Wenn man einen Winkel und eine Seite des rechtwinkligen Dreieckes kennt, kann man mit deren Hilfe die übrigen Seiten und Winkel berechnen.

  Diese Eigenschaft der trigonometrischen Sätze kann Kevin für sich verwenden. Er möchte nämlich die Entfernung zum Eiffelturm berechnen.

  Er weiß, dass der Eiffelturm $324$ Meter hoch ist und er die Spitze des Turmes unter einem Winkel von $65,2^\circ$ betrachtet. Ihm sind also

  • die Länge der Gegenkathete
  • sowie die Größe des Winkels $\alpha$, welcher An- und Gegenkathete definiert, bekannt
  • und er sucht die Länge der Ankathete.

  Der einzige trigonometrische Satz, der hier in Frage kommt, ist $\tan(\alpha)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$. Die gegebenen Angaben können nun in diese Formel eingesetzt werden. Es ergibt sich folgende Gleichung, die nach der Ankathete $A$ umgestellt werden muss:

  \begin{align} \tan(65,2^\circ) & =\frac{324}{A} &|&~~ \cdot A\\ \tan(65,2^\circ) \cdot A &= 324 &|& ~~ : \tan(65,2^\circ)\\ A &= \frac{324}{\tan(65,2^\circ)} \approx 150 &~~ \end{align}

  Die Entfernung beträgt also ungefähr $150$ Meter.

• Berechne die Höhe der Bäume in Kevins Garten.

  Tipps

  Überlege dir, dass du die Situation in Kevins Garten durch ein rechtwinkliges Dreieck modellieren kannst. Welche Seiten sind gegeben, welche möchtest du ermitteln?

  Lösung

  Kevin kann mithilfe der trigonometrischen Sätze die Höhe der Bäume berechnen. Dabei entspricht der Höhe eines Baumes die Gegenkathete des rechtwinkligen Dreiecks, die Entfernung entspricht der Ankathete. Der Winkel $\alpha$, welcher die Verteilung der beiden Katheten bestimmt, variiert in Hinblick auf die verschiedenen Bäume.

  Schauen wir uns anhand des Apfelbaumes, der $15$ Meter entfernt steht und unter einem Winkel von $\alpha=18,43^\circ$ von Kevin betrachtet wird, einmal an, wie sich die Höhe berechnen lässt:

  \begin{align} \tan(\alpha) & = \frac{h}{\text{Ankathete}} &~~\\ \tan(18,43) & = \frac{h}{15} &| \cdot 15\\ \tan(18,43) \cdot 15 &= h & ~~\\ h &\approx 5 & ~~ \end{align}

  Die Höhe des Apfelbaumes beträgt also $5$ Meter. Die Höhe der anderen Bäume lässt sich auf dieselbe Weise berechnen.

  Dies ist die Reihenfolge der Bäume, beginnend mit dem kleinsten Baum:

  1. Der Kirschbaum ist etwa $3$ Meter hoch.
  2. Der Apfelbaum hat eine Höhe von ungefähr $5$ Metern.
  3. Der nächste Baum ist genau $15$ Meter hoch.
  4. Der nächstgrößere Baum misst ungefähr $17,82$ Meter.
  5. Die Tanne besitzt eine Höhe von $19$ Metern.

• Gib wieder, was du über rechtwinklige Dreiecke gelernt hast.

  Tipps

  Die trigonometrischen Sätze beinhalten Sinus, Cosinus und Tangens.

  Diese drei sogenannten Winkelfunktionen stellen die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreieckes in ein Verhältnis zueinander.

  Lösung

  Rechtwinklige Dreiecke sind besondere Dreiecke. Sie zeichnet aus, dass einer der drei Innenwinkel $90^\circ$ groß ist. Dieser Winkel heißt dann rechter Winkel.

  Für solche Dreiecke sind die trigonometrischen Sätze hilfreich. Mit diesen können die Seiten und Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet werden. Um sie anwenden zu können, ist es zunächst einmal wichtig, die jeweiligen Bezeichnungen zu kennen:

  • Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist stets die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.
  • Die Ankathete liegt dem Winkel $\alpha$, aus dessen Perspektive das Dreieck betrachtet wird, an.
  • Entsprechend liegt die Gegenkathete dem Winkel $\alpha$ gegenüber.

  Zu beachten ist allerdings, dass es in einem rechtwinkligen Dreieck stets zwei mögliche Betrachtungswinkel gibt (der rechte Winkel zählt nicht mit). Je nachdem, aus welcher Perspektive du auf das Dreieck schaust, müssen die Ankathete und die Gegenkathete vertauscht werden.

  Du hast diese drei trigonometrischen Sätze kennengelernt:

  • $\sin(\alpha)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • $\cos (\alpha)= \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • $\tan(\alpha)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

• Ermittle die unbekannten Seitenlängen sowie den dritten Winkel.

  Tipps

  Beachte, dass die obige Abbildung nicht den Seiten und Winkelverhältnissen entspricht.

  Es gibt zahlreiche Varianten, die drei Seiten und Winkel zu berechnen. Hilfreich könnte dir der Satz der Pythagoras, welcher hier abgebildet ist, sein. Dabei entsprechen $a$ und $b$ den beiden Katheten. Die Hypotenuse wird durch $c$ repräsentiert.

  Lösung

  Sobald in einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite sowie ein Winkel, der nicht $90^\circ$ beträgt, bekannt ist, können wir auch das Geheimnis der anderen Seiten und Winkel lüften. Dabei gibt es verschiedene Vorgehensweisen. Du kannst zum Beispiel mit den dir bekannten trigonometrischen Sätzen eine weitere Seite berechnen, um dann die letzte Seite mit dem Satz des Pythagoras zu berechnen. Alternativ kannst mithilfe des Innenwinkelsummensatzes ($\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$) zunächst den dritten, unbekannten Winkel berechnen. Wie du siehst, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Hilfreich ist es in jedem Fall, mehrere Werkzeuge parat zu haben, wie den Satz des Pythagoras oder den Innenwinkelsummensatz.

  Wir wollen im Folgenden so vorgehen:

  1. Zuerst berechnen wir $b$,
  2. dann berechnen wir $a$
  3. und schließlich $\alpha$.

  Um $b$ zu ermitteln, können wir den Cosinus verwenden, welcher die Ankathete in ein Verhältnis zur Hypotenuse setzt. Sowohl der Winkel $\alpha=37^\circ$ als auch die Hypotenuse $c=5~m$ sind uns bekannt.

  \begin{align} \cos (\beta) & = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\\ \cos (37^\circ) & = \frac{b}{5} \\ b & = \cos(37^\circ) \cdot 5 \approx 4 \end{align}

  Der kürzeste Weg, um nun $a$ zu berechnen, ist der Satz des Pythagoras. Wir setzen dafür $c=5$ als Hypotenuse ein:

  \begin{align} a^2+b^2 & =c^2\\ a^2 + 4^2 & = 5^2\\ a^2 & = 5^2-4^2\\ a^2 & =9 ~~~~~~~~\Rightarrow a = 3 \end{align}

  Wir haben nun die Seiten des rechtwinkligen Dreieckes berechnet. Diese lautet $a=3$, $b=4$ und $c=5$. Den Winkel $\alpha$ können wir nun auf verschiedene Weise berechnen. Wählen wir den Tangens:

  \begin{align} \tan (\alpha) & = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\\ \tan (\alpha) & = \frac43\\ \alpha & \approx 53^\circ \end{align}

  Die Winkel $\alpha$ liegt bei ungefähr $53^\circ$. Dies hätte man auch über den Innenwinkelsummensatz berechnen können, der für alle Dreiecke festlegt, dass $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ ist.