Trigonometrischer Pythagoras
Der trigonometrische Pythagoras verbindet den Satz des Pythagoras mit trigonometrischen Gleichungen. Du lernst, wie $\sin2(\alpha) + \cos2(\alpha) = 1$ bewiesen wird. Interessiert? Mehr dazu im Text!
- Trigonometrischer Pythagoras – benötigtes Vorwissen
- Was ist der trigonometrische Pythagoras?
- Beweis des trigonometrischen Pythagoras
- Trigonometrischer Pythagoras im Einheitskreis
- Weiterführendes Beispiel – der trigonometrische Pythagoras im Raum
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Trigonometrischer Pythagoras
in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Lerntext zum Thema Trigonometrischer Pythagoras
Trigonometrischer Pythagoras – benötigtes Vorwissen
Für das Verständnis des trigonometrischen Pythagoras sollte der Satz des Pythagoras vertraut sein. Zur Erinnerung:
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden Katheten ist.
Es gilt also: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$, mit $c$ als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks
Außerdem müssen die trigonometrischen Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken bekannt sein. Kurz zusammengefasst:
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt:
$\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\cos(\alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\tan(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Zuletzt solltest du auch über den Einheitskreis Bescheid wissen:
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius $1$, der seinen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems hat. Aufgrund dieser Eigenschaften können anhand des Einheitskreises die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen $\sin (x)$ und $\cos (x)$ bestimmt werden.
Was ist der trigonometrische Pythagoras?
Der trigonometrische Pythagoras ist eine Bezeichnung für eine häufig verwendete Gleichung, die den Satz des Pythagoras mit den trigonometrischen Gleichungen verbindet. Die Gleichung lautet:
$\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 1$
Dabei ist $\sin^{2} (\alpha) = (\sin(\alpha))^{2}$ und $\cos^{2}(\alpha) = (\cos(\alpha))^{2}$.
Beweis des trigonometrischen Pythagoras
Zu zeigen |
---|
$\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 1$ |
Wir schauen uns ein allgemeines rechtwinkliges Dreieck an.
In diesem Dreieck gelten aufgrund seines rechten Winkels sowohl der Satz des Pythagoras als auch die drei trigonometrischen Gleichungen. Um den trigonometrischen Pythagoras zu beweisen, schauen wir uns den Term links vom Gleichheitszeichen an und versuchen, diesen so weit umzuformen, dass wir den Term rechts vom Gleichheitszeichen erhalten. Zunächst können wir diesen Schritt gehen:
$\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = (\sin(\alpha))^{2} + (\cos(\alpha))^{2}$
Nun nutzen wir die trigonometrischen Gleichungen, um weiter umzuformen. $\sin(\alpha)$ ist das Gleiche wie die Division von Gegenkathete durch Hypotenuse. Ebenso ist $\cos(\alpha)$ das Gleiche wie die Division von Ankathete durch Hypotenuse, also können wir die entsprechenden Brüche in die Gleichung einsetzen.
$(\sin(\alpha))^{2} + (\cos(\alpha))^{2} = \left(\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)^{2} + \left(\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)^{2}$
Einfachheitshalber setzen wir nun die Bezeichnungen der Dreiecksseiten ein. Die Gegenkathete von $\alpha$ ist $a$, die Ankathete ist $b$ und die Hypotenuse ist $c$.
$\left(\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)^{2} + \left(\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)^{2} = \left(\dfrac{a}{c}\right)^{2} + \left(\dfrac{b}{c}\right)^{2}$
Die Klammern können nun aufgelöst werden nach dem Potenzgesetz für Brüche. Zur Erinnerung:
Beim Potenzieren von Brüchen gilt: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{m} = \dfrac{a^{m}}{b^{m}}$
Wir lösen die Klammern also wie folgt auf:
$\left(\dfrac{a}{c}\right)^{2} + \left(\dfrac{b}{c}\right)^{2} = \dfrac{a^{2}}{c^{2}} + \dfrac{b^{2}}{c^{2}}$
Da die Brüche den gleichen Nenner haben, können sie problemlos addiert werden. Wir erhalten:
$\dfrac{a^{2}}{c^{2}} + \dfrac{b^{2}}{c^{2}} = \dfrac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$
Nun können wir den Term ohne weitere Informationen nicht weiter umformen. Allerdings fällt auf, dass hier, ähnlich wie beim Satz des Pythagoras, alle drei Seiten des Dreiecks im Quadrat vorhanden sind. Der Satz des Pythagoras besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse, also der Seite $c$, gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten $a$ und $b$ ist. Das können wir nutzen. Es gilt also:
$\dfrac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \dfrac{c^{2}}{c^{2}} = \dfrac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$
Im Zähler und im Nenner steht der gleiche Term, der entsprechende Bruch hat also den Wert $1$:
$\dfrac{c^{2}}{c^{2}} = \dfrac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = 1$
Das entspricht der rechten Seite der Gleichung, deren Gültigkeit wir zeigen wollten. Damit ist der trigonometrische Pythagoras bewiesen: $\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 1$.
Trigonometrischer Pythagoras im Einheitskreis
Mithilfe des Einheitskreises kann der trigonometrische Pythagoras auch grafisch hergeleitet werden. In diesem können nämlich beliebig viele rechtwinklige Dreiecke eingezeichnet werden, die $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$ als Kathetenlängen haben.
Das liegt an der Eigenschaft, dass die Hypotenuse dieser rechtwinkligen Dreiecke immer dem Radius des Einheitskreises und damit einer Länge von $1$ entspricht. Dadurch vereinfachen sich die trigonometrischen Gleichungen folgendermaßen:
$\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{1} = \text{Gegenkathete}$
$\cos(\alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{\text{Ankathete}}{1} = \text{Ankathete}$
Somit kann der trigonometrische Pythagoras wie folgt grafisch veranschaulicht werden:
Da der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Flächeninhalte der Quadrate mit den Seitenlängen der Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck dem Flächeninhalt des Quadrats mit der Hypotenuse als Seitenlänge entsprechen, ist hiermit erneut die Gültigkeit des trigonometrischen Pythagoras gezeigt.
Weiterführendes Beispiel – der trigonometrische Pythagoras im Raum
Der trigonometrische Pythagoras kann auch im dreidimensionalen Raum angewandt und gezeigt werden. Dazu schauen wir uns folgenden Quader an:
Da es sich um einen Quader handelt, gelten unter anderem folgende Beziehungen zwischen den Seiten:
$\overline{AB} = \overline{CD} = \overline{EH} = \overline{FG}$
$\overline{AD} = \overline{BC} = \overline{HG} = \overline{EF}$
In diesem Quader sind bereits drei rechtwinklige Dreiecke eingezeichnet, die jeweils aus $\color{#F3DB00}{\text{einer Seite des Quaders}}$, $\color{#66D8FF}{\text{einer Flächendiagonale}}$ und derselben $\color{#FF0000}{\text{Raumdiagonale}}$ bestehen.
In jedem der drei Dreiecke stellt die Raumdiagonale die Hypotenuse dar. Wir schauen uns die Winkel an, die den Scheitelpunkt A haben.
Wir stellen in diesem Fall eine ähnliche Behauptung auf und möchten ihre Gültigkeit zeigen:
$\cos^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\beta) + \cos^{2}(\gamma) = 1$
Diese Gleichung kann erst einmal wieder wie folgt umgeformt werden:
$\cos^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\beta) + \cos^{2}(\gamma) = (\cos(\alpha))^{2} + (\cos(\beta))^{2} + (\cos({\gamma}))^{2}$
Je nach Dreieck unterscheiden sich die Ankatheten, die Hypotenuse bleibt jedoch stets die Raumdiagonale $\overline{AF}$.
$(\cos({\alpha}))^{2} + (\cos({\beta}))^{2} + (\cos({\gamma}))^{2} = \left(\dfrac{\overline{AH}}{\overline{AF}}\right)^{2} + \left(\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AF}}\right)^{2} + \left(\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AF}}\right)^{2} = \dfrac{\overline{AH}^{2}}{\overline{AF}^{2}} + \dfrac{\overline{AB}^{2}}{\overline{AF}^{2}} + \dfrac{\overline{AD}^{2}}{\overline{AF}^{2}}$
Da auch hier der Nenner wieder gleich ist, können die Brüche addiert werden.
$\dfrac{\overline{AH}^{2}}{\overline{AF}^{2}} + \dfrac{\overline{AB}^{2}}{\overline{AF}^{2}} + \dfrac{\overline{AD}^{2}}{\overline{AF}^{2}} = \dfrac{\overline{AH}^{2} + \overline{AB}^{2} + \overline{AD}^{2}}{\overline{AF}^{2}}$
Wir können mit dem Satz des Pythagoras Folgendes aussagen:
$\overline{AF}^{2} = \overline{AH}^{2} + \overline{FH}^{2}$
Außerdem gilt:
$\overline{FH}^{2} = \overline{EH}^{2} + \overline{EF}^{2}$
Nach den Eigenschaften des Quaders und den daraus resultierenden obigen Seitenbeziehungen gilt mit $\overline{EH}^{2} = \overline{AB}^{2}$ und $\overline{EF}^{2} = \overline{AD}^{2}$:
$\overline{FH}^{2} = \overline{AB}^{2} + \overline{AD}^{2}$
Damit können wir sagen, dass:
$\overline{AF}^{2} = \overline{AH}^{2} + \overline{AB}^{2} + \overline{AD}^{2}$
Wenn wir das nun in unseren ursprünglichen Bruch einsetzen, erhalten wir:
$\dfrac{\overline{AH}^{2} + \overline{AB}^{2} + \overline{AD}^{2}}{\overline{AF}^{2}} = \dfrac{\overline{AH}^{2} + \overline{AB}^{2} + \overline{AD}^{2}}{\overline{AH}^{2} + \overline{AB}^{2} + \overline{AD}^{2}} = 1$
Damit ist die Aussage bewiesen. Übrigens gilt immer, dass das Quadrat der Raumdiagonalen eines Quaders der Summe der Quadrate der Breite, Länge und Tiefe des Quaders entspricht.
Trigonometrischer Pythagoras – Zusammenfassung
Der trigonometrische Pythagoras ist, wie der Name schon vermuten lässt, eine Kombination aus den trigonometrischen Gleichungen und dem Satz des Pythagoras. Er vermittelt folgende allgemeingültige Gleichung:
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: $\sin^{2}(\alpha) + \cos^{2}(\alpha) = 1$
Die Gleichung kann sowohl algebraisch als auch grafisch mittels des Einheitskreises gezeigt werden.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Trigonometrischer Pythagoras
Trigonometrie – Einführung
Sinus – Definition
Cosinus und Tangens – Definition
Trigonometrische Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
Sinus, Cosinus und Tangens – Anwendungsaufgaben
Hypotenuse berechnen
Sinus und Cosinus am Einheitskreis
Tangens am Einheitskreis
Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels
Sinus, Cosinus und Tangens – Längenbestimmung im Dreieck
Flächenformel des regelmäßigen n-Ecks
Trigonometrischer Pythagoras
Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Beispiele
8.876
sofaheld-Level
6.601
vorgefertigte
Vokabeln
7.856
Lernvideos
37.641
Übungen
33.758
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrkräften
Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Primzahlen
- Geometrische Lagebeziehungen
- Was ist eine Ecke?
- Rechteck
- Was ist eine Gleichung?
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Quadrat
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Was Ist Eine Viertelstunde
- Prisma
- Mitternachtsformel
- Äquivalenzumformung
- Grundrechenarten Begriffe
- Größer Kleiner Zeichen
- Dreiecksarten
- Aufbau von Dreiecken
- Quader
- Satz Des Pythagoras
- Dreieck Grundschule
- Erste Binomische Formel
- Kreis
- Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Volumen Kugel
- Zahlen In Worten Schreiben
- Meter
- Orthogonalität
- Schriftlich Multiplizieren
- Brüche gleichnamig machen
- Brüche Multiplizieren
- Potenzgesetze
- Distributivgesetz
- Flächeninhalt Dreieck
- Rationale Zahlen
- Volumen Berechnen
- Brüche Addieren
- Kongruenz
- Exponentialfunktion
- Exponentialfunktion Beispiel