Die Hypotenuse berechnen ist ganz einfach! Sie ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Du kannst die Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras, der Sinus-Formel oder der Cosinus-Formel berechnen. Interessiert? Finde alle Methoden und Beispiele im folgenden Text!
Bei der ersten Variante, die Hypotenuse zu berechnen, nutzt du den Satz des Pythagoras. Dieser lautet:
$a^2+b^2=c^2$
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in rechtwinkligen Dreiecken der Flächeninhalt der beiden Kathetenquadrate zusammen genauso groß ist wie der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.
Du kannst den Satz des Pythagoras nutzen, um die Länge der Hypotenuse zu berechnen, wenn du die beiden Kathetenlängen (also die beiden anderen Seitenlängen im Dreieck) kennst.
Beispiel: Berechnung der Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras
Die beiden Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck haben die Längen $a=3~\text{cm}$ und ${b=4~\text{cm}}$.
Die Lösung $c=-5$ beim Ziehen der Quadratwurzel kann vernachlässigt werden, da es sich um Längen handelt.
Hypotenuse mit der Formel für den Sinus berechnen
Der Sinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von der Gegenkathete zur Hypotenuse:
$\text{Sinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Um die Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, kannst du also auch eine Winkelgröße und die Länge der entsprechenden Gegenkathete nutzen, wenn diese bekannt sind.
Beispiel: Berechnung der Hypotenuse mit dem Sinus
Wir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $\alpha=45^\circ$. Die Gegenkathete ist $4~\text{cm}$ lang.
Setze für die Berechnung der Hypotenuse zunächst die Werte in die Formel ein und stelle sie anschließend um.
Hypotenuse mit der Formel für den Cosinus berechnen
Der Cosinus eines Winkels ist das Längenverhältnis von der Ankathete zur Hypotenuse.
$\text{Cosinus eines Winkels} = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Um die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, musst du die Größe eines Winkels und die dazugehörige Ankathete kennen.
Beispiel: Berechnung der Hypotenuse mit dem Cosinus
Wir betrachten ein weiteres rechtwinkliges Dreieck. Bei diesem Dreieck beträgt der Winkel ${\alpha=30^\circ}$. Die Ankathete des Dreiecks ist $6~\text{cm}$ lang.
Setze die Werte zunächst in die Formel ein und stelle sie anschließend um.
Du kannst die Hypotenuse auf drei Arten berechnen, mit dem Satz des Pythagoras und indem du die Formel für den Sinus oder die Formel für den Cosinus umstellst.
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