Terme aufstellen – Anwendung

Terme aufstellen – Anwendung Übung

• Stelle den gesuchten Term für Matteos Taco-Produktion auf.

  Tipps

  Wenn du wissen möchtest, mit wie vielen Personen du eine Pizza aus $8$ Stücken teilen kannst, wenn jede Person $2$ Stücke bekommen soll, so rechnest du $\frac{8}{2}$.

  Er hat pro Ration, die er zubereitet, $10$ Tacos weniger, als er ursprünglich zubereitet hat. Der Begriff „weniger“ ist ein Signalwort für eine Differenz.

  Es gilt:

  $\dfrac{x}{5}=\dfrac{1}{5}\cdot x$

  Lösung

  Mithilfe des Terms möchte Matteo wissen, wie viele Personen er mit seiner Ration versorgen kann. Die Anzahl $t$ der Tacos pro Ration ist unbekannt. Bei jeder Zubereitung gehen ihm allerdings $10$ Tacos kaputt, er hat also $10$ Tacos weniger. Diese müssen von der Anzahl der Tacos pro Ration subtrahiert werden:

  $t-10$

  Zudem begrenzt Matteo die Anzahl der Tacos pro Person auf $3$. Der bisherige Ausdruck muss also durch $3$ dividiert werden zu:

  $\dfrac{t-10}{3}$

  Alternativ kann man auch Folgendes schreiben:

  $\dfrac{1}{3}(t-10)$

  Diese beiden Terme sind demnach richtig.

  Es folgt nun eine beispielhafte Rechnung. Wir nehmen $t=190$ an und bestimmen wie folgt das Resultat der beiden aufgestellten Terme:

  $\dfrac{t-10}{3}=\dfrac{190-10}{3}=\dfrac{180}{3}=60$

  $\dfrac{1}{3}(t-10)=\dfrac{1}{3}(190-10)=\dfrac{1}{3} \cdot 180=60$

  Das heißt, wenn Matteo pro Ration $190$ Tacos zubereitet, kann er damit $60$ Personen versorgen.

  Die folgenden Formeln sind demnach falsch:

  $\dfrac{10-t}{3}$ und $\dfrac{t+10}{3}$

• Vervollständige die gegebene Tabelle und bestimme den zugehörigen Term.

  Tipps

  Verdoppeln heißt, dass man mit $2$ multiplizieren muss.

  Man kann durch Potenzen die mehrfache Multiplikation eines Faktors mit sich selbst verkürzt darstellen. Es gilt zum Beispiel:

  • $2\cdot 2\cdot 2=2^3$

  Sieh dir ein Beispiel an: Du hast $5\,€$ und verdreifachst diesen Betrag jeden Tag.

  1. Tag: $~5\cdot 3^1=5\cdot 3=15$
  2. Tag: $~5\cdot 3^2=5\cdot 3\cdot 3=5\cdot 9=45$

  Lösung

  Man soll herausfinden, wie wertvoll Matteos Taco-Laden in einer beliebigen Woche $x$ sein wird. Um einen Term aufstellen zu können, benötigt man das Wissen über den Anfangswert. Dieser wird hier als $10\,000\,€$ angenommen. Man weiß, dass sich der Betrag jede Woche verdoppeln soll. Verdopplungen lassen sich durch die Multiplikation mit $2$ realisieren. Da sich der Betrag jede Woche erneut verdoppeln soll, ist es sinnvoll, dieses durch Potenzen darzustellen. Der Anfangswert bleibt immer derselbe und wird durch die Anzahl der Verdopplungen verändert.

  In Woche $1$ verdoppelt sich der Anfangswert zu:

  • $10\,000\cdot 2=10\,000\cdot 2^1$

  In Woche $2$ verdoppelt sich der resultierende Wert erneut. Es folgt:

  • $10\,000\cdot 2\cdot 2=10\,000\cdot 2^2$

  Erkennst du das Muster? Die Potenzen helfen dir, die Anzahl der Wochen festzulegen. Demnach gilt für Woche $3$:

  • $10\,000\cdot 2\cdot 2\cdot 2 =10\,000\cdot 2^3$

  Alles zusammen liefert uns folgenden allgemeinen Term für Woche $x$:

  • $10\,000\cdot 2^x$

• Bestimme das Ergebnis der Terme für die gegebenen Werte.

  Tipps

  Achte beim Einsetzen auf die Vorzeichen.

  Beachte die Klammern sowie die "Punkt- vor Strichrechnung".

  Sieh dir folgenden Term an:

  • $3\cdot (x-3)$

  Für $x_1=1$ folgt:

  • $3\cdot (1-3)=3\cdot (-2)=-6$

  Für $x_2=-2$ erhält man:

  • $3\cdot ((-2)-3)=3\cdot (-5)=-15$

  Lösung

  Um die Aufgabe zu lösen, setzt man die gegebenen Werte für $x$ jeweils in die Terme ein und berechnet anschließend den Wert des Terms.

  Term 1: $~2x+3$

  Für $x=1$ liefert dieser Term folgende Rechnung:

  • $2x+3=2\cdot 1+3=2+3=5$

  Nun setzen wir $x=-2$ ein und erhalten:

  • $2x+3=2\cdot (-2)+3=(-4)+3=-1$

  Für $x=0,5$ erhalten wir das Ergebnis:

  • $2x+3=2\cdot 0,5+3=1+3=4$

  Zuletzt setzen wir noch $x=-1$ ein und berechnen den Wert wie folgt:

  • $2x+3=2\cdot (-1)+3=(-2)+3=1$

  Term 2: $~\frac{(x-2)}{4}$

  Für $x=1$ liefert dieser Term folgende Rechnung:

  • $\frac{(x-2)}{4}=\frac{(1-2)}{4}=\frac{-1}{4}=-0,\!25$

  Nun setzen wir $x=-2$ ein und erhalten:

  • $\frac{(x-2)}{4}=\frac{((-2)-2)}{4}=\frac{-4}{4}=-1$

  Für $x=0,5$ erhalten wir das Ergebnis:

  • $\frac{(x-2)}{4}=\frac{(0,5-2)}{4}=\frac{-1,5}{4}=-0,\!375$

  Zuletzt setzen wir noch $x=-1$ ein und berechnen den Wert wie folgt:

  • $\frac{(x-2)}{4}=\frac{((-1)-2)}{4}=\frac{-3}{4}=-0,\!75$

  Term 3: $-2(x+1)$

  Für $x=1$ liefert dieser Term folgende Rechnung:

  • $-2(x+1)=-2(1+1)=(-2)\cdot 2=-4$

  Nun setzen wir $x=-2$ ein und erhalten:

  • $-2(x+1)=-2((-2)+1)=(-2)\cdot (-1)=2$

  Für $x=0,5$ erhalten wir das Ergebnis:

  • $-2(x+1)=-2(0,\!5+1)=(-2)\cdot 1,\!5=-3$

  Zuletzt setzen wir noch $x=-1$ ein und berechnen den Wert wie folgt:

  • $-2(x+1)=-2((-1)+1)=-2\cdot 0=0$

  Term 4: $5\cdot (2x-1)$

  Für $x=1$ liefert dieser Term folgende Rechnung:

  • $5\cdot (2x-1)=5\cdot (2\cdot 1-1)=5\cdot (2-1)=5\cdot (1)=5$

  Nun setzen wir $x=-2$ ein und erhalten:

  • $5\cdot (2x-1)=5\cdot (2\cdot (-2)-1)=5\cdot (-4-1)=5\cdot (-5)=-25$

  Für $x=0,\!5$ erhalten wir das Ergebnis:

  • $5\cdot (2x-1)=5\cdot (2\cdot 0,\!5-1)=5\cdot (1-1)=5\cdot (0)=0$

  Zuletzt setzen wir noch $x=-1$ ein und berechnen den Wert wie folgt:

  • $5\cdot (2x-1)=5\cdot (2\cdot (-1)-1)=5\cdot (-2-1)=5\cdot (-3)=-15$

• Ermittle die zutreffenden Terme.

  Tipps

  Vater Peter schafft $3$-Mal so viele Tacos wie Manuela.

  Hier ist es wichtig zu bedenken, dass Manuela $4$ Tacos mehr isst als Sina ($x$) und Peter $3$-Mal so viel wie Manuela.

  Hier einige Schlüsselbegriffe und ihre mögliche Bedeutung:

  • "mehr" signalisiert eine Addition $+$
  • "weniger" signalisiert eine Subtraktion $-$

  Lösung

  Beim Aufstellen der gesuchten Terme bezeichnen wir die Anzahl der Tacos, die Sina isst, mit der Variablen $x$. Dann erhalten wir die folgenden Terme.

  Aussage 1: Hannes isst doppelt so viele Tacos wie seine Schwester Sina.

  Hier wird die Anzahl der Tacos, die Hannes isst, in Abhängigkeit von der Anzahl der Tacos, die Sina isst, gesucht. Das Signalwort „doppelt“ liefert uns den Faktor $2$. Der gesuchte Term lautet also:

  • $2x$

  Wenn Sina also $5$ Tacos essen würde, würden wir für die Anzahl der Tacos, die Hannes isst, folgende Rechnung erhalten:

  • $2\cdot x=2\cdot 5=10$

  $10$ Tacos sind doppelt so viele Tacos wie $5$ Tacos. Der Term ist also richtig.

  Aussage 2: Sinas gute Freundin Manuela isst $4$ Tacos mehr als Sina.

  Das Signalwort "mehr" liefert uns die Rechenoperation $+$. Der Term lautet dann wie folgt:

  • $x+4$

  Deutlicher wird es, wenn man sich wieder ein Beispiel anschaut. Sina isst wieder $x=5$ Tacos und es folgt:

  • $x+4=5+4=9$

  Manuela isst $9$ Tacos und damit genau $4$ Tacos mehr als Sina.

  Aussage 3: Vater Peter schafft $3$-Mal so viele Tacos wie Manuela.

  Hier muss man beachten, dass Vater Peter $3$-Mal so viele Tacos wie Manuela schafft. Die Variable $x$ steht aber für die Anzahl der Tacos, die Sina schafft. Man nimmt hier also den Term für die Anzahl an Tacos, die Manuela isst und multipliziert diesen mit $3$:

  • $3(x+4)$

  Wir betrachten das Beispiel $x=5$ und erhalten:

  • $3(5+4)=3\cdot 9=27$

  Manuela isst dann $9$ Tacos und Vater Peter sogar ganze $27$. Er isst somit $3$-Mal so viele Tacos wie Manuela.

  Aussage 4: Mutter Lucy schafft $5$ Tacos weniger als Vater Peter.

  Hier muss man beachten, dass Mutter Lucy $5$ Tacos weniger als Vater Peter schafft. Man muss also die $5$ von Vater Peters Term subtrahieren:

  • $3(x+4)-5$

  Das Beispiel $x=5$ liefert folgende Rechnung:

  • $3(5+4)-5=3\cdot 9-5=27-5=22$

  Mutter Lucy isst mit $22$ Tacos genau $5$ Tacos weniger als Vater Peter mit $27$ Tacos.

• Gib den Term für die Berechnung der Einnahmen in Abhängigkeit von der Anzahl verkaufter Tacos an.

  Tipps

  Beachte die Schlüsselwörter „pro" und „plus". Diese helfen dir bei der Erstellung des Terms.

  Das Wort „pro" kann dabei ein Schlüsselbegriff für die Multiplikation oder Division sein und muss dem dazugehörigen Kontext angepasst werden.

  Das Wort „plus" ist ein Signalwort für die Addition.

  Sieh dir einmal folgendes Beispiel an:

  „Pro Tor bekommst du von mir $5\,€$". Dabei steht $x$ für die Anzahl der Tore.

  Der dazugehörige Term lautet:

  • $5\cdot x$

  Sieh dir einmal folgendes Beispiel an:

  Ich gebe dir $5\,$€ zu deinen $x$-Euro "dazu".

  Der dazugehörige Term lautet:

  • $x+5$

  Lösung

  Wenn man einen Term aufstellt, ist es wichtig zu überlegen, was bereits bekannt ist und was gesucht wird. Anhand dieses Wissens lassen sich dann die Aussagen als Terme mit Zahlen und Variablen darstellen.

  Laut Aufgabenstellung wissen wir, dass Matteo pro Taco $2,\!50\,€$ verlangt. Zudem möchte er pro Lieferung eine einmalige Pauschale in Höhe von $200\,€$. Matteo benötigt einen Term für die Berechnung der Einnahmen in Abhängigkeit von der Anzahl der verkauften Tacos.

  Die Anzahl der Tacos ist unbekannt und wird mit der Variablen $t$ beschrieben. Pro Taco verlangt Matteo $2,\!50\,€$. Das Schlüsselwort dabei lautet „pro“, das bedeutet, dass man $2,\!50\,€$ mit $t$ für jeden Taco multiplizieren muss. Man erhält dann:

  • $2,\!50\cdot t$

  Das Ganze lässt sich auch ohne Multiplikationszeichen darstellen und sieht dann wie folgt aus:

  • $2,\!50t$

  Damit kann man herausfinden, wie viel Geld man mit einer beliebigen Anzahl an Tacos verdient. Jetzt fehlt noch die Pauschale in Höhe von $200\,€$. Diese kommt zusätzlich zum bisherigen Term dazu. Es wird also addiert. Dann resultiert folgender vollständiger Term:

  • $2,\!50t +200$

• Leite den gesuchten Term her.

  Tipps

  Das Signalwort "Differenz" führt uns zu folgenden Beispiel:

  "Die Differenz aus $10$ und $x$ ist:

  • $10-x$

  Sieh dir einmal folgendes Beispiel an:

  Gesucht ist das Doppelte der $5$:

  • $2\cdot 5$

  Lösung

  Besonders bei stark verschachtelten Termen kann es hilfreich sein, den Ausdruck in kleinere Abschnitte zu zerlegen. Genauso gehen wir nun im Folgenden vor:

  Gesucht ist das Doppelte ...

  Den ersten Hinweis erhält man durch das Signalwort „Doppelte“. Das führt uns zur Multiplikation eines Ausdruckes mit der $2$:

  • $2\cdot$

  ... einer Differenz aus dem Dreifachen einer Zahl $x$ und der $5$.

  Es folgen nun die Signalwörter „Differenz“ und „Dreifaches“. Somit benötigen wir eine Subtraktion, wobei der Subtrahend das Dreifache von $x$ und der Minuend $5$ ist:

  • $3 \cdot x-5$

  Gesucht ist das Doppelte einer Differenz aus dem Dreifachen einer Zahl $x$ und der $5$.

  Nun kann man diese beiden Terme zusammensetzen und erhält den fertigen Term:

  • $2\cdot (3\cdot x-5)$