Termumformungen mit mehreren Variablen

Termumformungen mit mehreren Variablen Übung

• Beschreibe was Terme, Termumformungen und äquivalente Terme sind.

  Tipps

  $3x + 4$ oder auch $2x^2 + 7y$ sind Beispiele für Terme.

  Das Adjektiv äquivalent ist auf die lateinischen Wörter aequus = gleich und valere = wert sein zurückzuführen.

  Lösung

  Terme sind sinnvolle Ausdrücke, welche Zahlen, Variablen und Rechenzeichen enthalten können. Beispielsweise ist $4x + 10$ oder auch $2 \cdot (2x + 5)$ ein Term.

  Man nennt zwei Terme äquivalent, wenn durch Einsetzen von Zahlen für die Variablen der gleichen Wert entsteht. Wenn wir also $x = 2$ in die beiden Terme $4x + 10$ und $2 \cdot (2x + 5)$ einsetzen, erhalten wir $4 \cdot 2 + 10 = 18$ und $2 \cdot (2 \cdot 2 + 5) = 18$. Diese beiden Terme sind somit wertgleich.

  Bei einer Termumformung wird ein Term durch gültige Rechenregeln so umgeformt, dass sich der Wert des Termes nicht verändert. Wir können das Distributivgesetz auf den Term $2 \cdot (2x + 5)$ anwenden, um so den Term umzuformen, ohne den Wert zu verändern:

  $2 \cdot (2x + 5) = 2 \cdot 2x + 2 \cdot 5 = 4x + 10$.

• Vereinfache die Terme so weit wie möglich.

  Tipps

  Terme mit gleichen Einheiten kannst du zusammenfassen.

  Gleichartige Terme sind Terme mit gleichen Variablen und Exponenten. Diese kann man zusammenfassen.

  Lösung

  Terme mit mehreren Variablen können nur dann durch Addition und Subtraktion zusammengefasst werden, wenn sie die gleichen Variablen und Exponenten enthalten. Die Koeffizienten werden addiert oder subtrahiert und Variablen verändern sich nicht.

  In der ersten Aufgabe erkennen wir schnell, welche Terme wir zusammenfassen können, denn die Einheit von Längen beträgt hier ${cm}$ und die Einheit der Flächen beträgt ${cm}^2$. Wir addieren bzw. subtrahieren die Koeffizienten und die Einheiten bleiben gleich:

  $8~{cm}+3~{cm}^2+4~{cm}^2-2~{cm}=3~{cm}^2+4~{cm}^2 + 8~{cm}-2~{cm} =7~{cm}^2+6~{cm}$.

  In der zweiten Aufgabe sind keine Einheiten gegeben, wir dürfen aber gleichartige Terme zusammenfassen:

  $3x^2+2y-x^2+5y^2+y =3x^2-x^2 +2y+y +5y^2=2x^2+5y^2+3y$.

  Entsprechend fassen wir auch die nächsten Terme zusammen.

• Ordne die äquivalenten Terme einander zu.

  Tipps

  Achte beim Addieren und Subtrahieren darauf, dass die Variablen und Exponenten übereinstimmen müssen. Die Koeffizienten werden dann addiert oder subtrahiert.

  Wende das Distributivgesetz an. Es lautet $a \cdot (b+c)=ab+ac$.

  Terme können immer multipliziert oder dividiert werden. Dabei werden die Koeffizienten und die Variablen multipliziert oder dividiert.

  Es gilt $xy=yx$. Dies ist das Kommutativgesetz. Dieses Gesetz gilt auch für die Addition, jedoch weder für die Subtraktion noch für die Division.

  Lösung

  Löse zu Beginn erstmal alle Klammern auf, falls welche vorhanden sind. Um einen Überblick zu erhalten, kannst du die Terme dann gemäß der mathematischen Form sortieren, d.h. dass die einzelnen Terme nach den Exponenten und Variablen geordnet werden. Außerdem sollen die Koeffizienten immer vor der Variablen stehen. Anschließend werden die Terme mit gleichen Variablen und Exponenten addiert bzw. subtrahiert:

  $2x^2 -3xy +2x^2 -6xy = 2x^2 +2x^2 -3xy -6xy=4x^2-9xy$,

  $2x(3y-x)+2x^2-6xy = 6xy-2x^2+2x^2-6xy= -2x^2+2x^2 +6xy-6xy =0$,

  $13(6-2x)+(4-x)x=78-26x+4x-x^2=-x^2 -26x+4x 78=-x^2-22x+78$,

  $(2x+3y)(x-2y)=2x^2-4xy+3xy-6y^2=2x^2-6y^2-4xy+3xy =2x^2-6y^2-xy$.

• Fasse die Terme zusammen.

  Tipps

  Achte auf die Vorzeichen der Koeffizienten. Manche sind bereits angegeben, andere wiederum nicht.

  Terme dürfen nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn die Variablen und Exponenten übereinstimmen. Die Koeffizienten werden dann addiert bzw. subtrahiert.

  Terme dürfen immer multipliziert oder dividiert werden. Die Koeffizienten und die Variablen werden dann multipliziert bzw. dividiert.

  Das Distributivgesetz lautet $a\cdot (b+c)=ab+ac$.

  Lösung

  In jedem der folgenden Beispiele musst du das Distibutivgesetz anwenden: $a(b+c)=ab+ac$.

  Multipliziere erst einmal die Klammern aus. Danach kannst du die Terme sortieren. Beachte, dass du Terme nur dann addieren oder subtrahieren darfst, wenn diese sowohl in der Variablen und dem Exponenten übereinstimmen:

  $\begin{align*} 2x(3-4y)+4x-2x^2+3xy&=6x-8xy+4x-2x^2+3xy\\ &=-2x^2+6x+4x-8xy+3xy\\ &=-2x^2+10x-5xy. \end{align*}$

  Terme können beliebig miteinander multipliziert oder dividiert werden:

  $\begin{align*} 3~cm \cdot 5~cm+12(3~cm^2-2~cm)+8~cm&=15~cm^2+36~cm^2-24~cm+8~cm\\ &=51~cm^2-16~cm.\end{align*}$

  Multipliziere die Klammern aus und sortiere sie anschließend:

  $\begin{align*} 3z(2x-3y)+4x(3y-3x+4z)&=6xz-9yz+12xy-12x^2+16xz\\ &=-12x^2+12xy+22xz-9yz.\end{align*}$

• Gib an, was beim Umformen von Termen zu beachten ist.

  Tipps

  Wie kann man den Term x$^2$ + 3y + y vereinfachen?

  Was muss man bei der Multiplikation von Termen mit unterschiedlichen Variablen beachten? Erläutere das Vorgehen am Beispiel: 3x $\cdot$ 2y = 6xy .

  Lösung

  Was gibt es bei der Umformung von Termen mit mehreren Variablen zu beachten?

  1. Man kann nur Terme mit Variablen addieren oder subtrahieren, wenn sie die gleichen Variablen und Exponenten enthalten. Dabei addiert bzw. subtrahiert man nur die Koeffizienten und die Variablen verändern sich nicht. Zum Beispiel kann 5x$^2$+3x$^2$ zusammengefasst werden zu 8x$^2$.
  2. Terme mit mehreren Variablen können immer multipliziert oder dividiert werden. Die Koeffizienten und die Variablen werden dabei multipliziert bzw. dividiert. Beispielsweise ergibt 3x $\cdot$ 2y = 6xy.

  Beachte beim Vereinfachen die mathematische Form, d.h. dass die einzelnen Terme nach den Exponenten und Variablen geordnet werden. Außerdem sollen die Koeffizienten immer vor der Variablen stehen.

• Berechne den Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur.

  Tipps

  Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreises lautet $A=\pi \cdot r^2$.

  Beachte, dass es sich hier um einen Halbkreis handelt.

  Der Durchmesser des Halbkreises beträgt 5 cm. Wie groß ist dann der Radius $r$?

  Terme, in welchen die Variablen und die Exponenten übereinstimmen, können addiert oder subtrahiert werden.

  Der gesamte Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur setzt sich aus drei Flächeninhalten zusammen.

  Lösung

  Die Figur setzt sich aus einem Rechteck (blau), einem Dreieck (orange) und einem Halbkreis (grün) zusammen. Der Flächeninhalt des Dreieckes ist gegeben ($A = 3,9 cm^2$).

  Die Fläche des Rechtecks berechnen wir durch die Multiplikation der Seitenlängen: $A_{blau} = 5~cm \cdot 3~cm=15~cm^2$.

  Wir wissen, dass der Flächeninhalt eines Kreises mit der Formel $A=\pi \cdot r^2$ berechnet werden kann. Da hier nun ein halber Kreis dargestellt ist, teilen wir die Formel durch 2: $A_{grün} = \frac{\pi}{2} \cdot (2,5~cm)^2≈9,8~cm^2$.

  Den gesamten Flächeninhalt erhalten wir durch die Addition der drei Terme: $A_{Gesamt} = A + A_{blau} + A_{grün} = 3,9~cm^2+15~cm^2+9,8~cm^2=28,7~cm^2$.