Binomialverteilung

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Bernoulli-Experimente
• Die Formel von Bernoulli
• Die Binomialverteilung
• Eigenschaften der Binomialverteilung
• Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
• Die Bedeutung der Parameter $p$ und $n$
• Die Sigma-Regeln
• Beispiel

Bernoulli-Experimente

Ein Zufallsexperiment, welches nur zwei Ergebnisse hat, wird Bernoulli-Experiment genannt.

Wenn ein solches Experiment mehrmals hintereinander unter den gleichen Voraussetzungen durchgeführt wird, spricht man von einer Bernoulli-Kette. Dabei bedeutet „unter den gleichen Voraussetzungen“, dass sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern. Es handelt sich hierbei um ein mehrstufiges Zufallsexperiment.

Die beiden Ergebnisse können als „Treffer“ $T$ oder „Nicht-Treffer“ $\bar T$ bezeichnet werden. Die Wahrscheinlichkeit

• für einen Treffer wird durch $P(T)=p$ beschrieben,
• die Wahrscheinlichkeit für einen Nicht-Treffer durch $P(\bar T)=1-p$.

Ein mehrstufiges Zufallsexperiment kann mithilfe eines Baumdiagramms dargestellt werden.

Mithilfe der Pfadregeln können die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse berechnet werden:

• $A$: „Es gibt drei Treffer.“: $P(A)=p^3$
• $B$: „Es gibt zwei Treffer.“: $P(B)=3 \cdot p^2 \cdot (1-p)$, denn es gibt insgesamt drei Pfade, auf denen zwei Treffer liegen.
• $C$: „Es gibt einen Treffer.“: $P(C)=3 \cdot p \cdot (1-p)^2$. Es gibt auch drei Pfade, die einen Treffer beinhalten.
• $D$: „Es gibt keinen Treffer.“: $P(D)=(1-p)^3$

Wie du siehst, kann aus den jeweiligen Termen die Anzahl der Treffer sowie der Nicht-Treffer abgelesen werden. Diese stehen jeweils im Exponenten der einzelnen Faktoren.

Wie viele Möglichkeiten existieren, beispielsweise ein oder zwei Treffer zu bekommen, kannst du mithilfe der Kombinatorik bestimmen. Zur Berechnung wird der Binomialkoeffizient verwendet:

$\displaystyle \binom{n}{k}$

Die Formel von Bernoulli

Mit diesem Binomialkoeffizienten kann die Formel von Bernoulli aufgestellt werden:

$\quad~~\large{P(X=k)=B_{n;p}(k)=\displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}}$

Dabei steht

• $X$ als Zufallsgröße für die Anzahl der Treffer,
• $n$ für die Länge der Bernoullikette,
• $p$ für die Trefferwahrscheinlichkeit und
• $k$ für die Anzahl der Treffer.

Der Binomialkoeffizient

$\displaystyle \binom{n}{k}$

gibt also die Anzahl aller möglichen Pfade der Länge $n$ an, die $k$ Treffer enthalten.

Die Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dabei wird jedem $k$ (Anzahl der Treffer) die Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ durch die Formel von Bernoulli zugeordnet:

$\quad~~~P(X=k)=B_{n;p}(k)=\displaystyle \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

Da die Anzahl der Treffer natürliche Zahlen sind, spricht man von einer diskreten Verteilung. Die Zufallsgröße $X$ heißt binomial verteilt.

Hier siehst du die Binomialverteilung für $p=0{,}2$ und $n=10$.

Eigenschaften der Binomialverteilung

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

• Der Erwartungswert der Binomialverteilung ist gegeben durch

$\quad~~~\mu=n\cdot p$.

• Die Varianz der Binomialverteilung ist

$\quad~~~\sigma^2=\mu\cdot (1-p)=n\cdot p\cdot (1-p)$ und

• die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz

$\quad~~~\sigma=\sqrt{\mu\cdot (1-p)}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.

Die Bedeutung der Parameter $p$ und $n$

• In Abhängigkeit von der Trefferwahrscheinlichkeit verschiebt sich der Erwartungswert:
  Für $0 \leq p < 0{,}5$ liegt der Erwartungswert weiter links und für $0{,}5 < p \leq 1$ weiter rechts.
• Die Binomialverteilung ist symmetrisch für $p=0{,}5$. Der Erwartungswert liegt dann genau in der Mitte.
• In Abhängigkeit von der Länge der Bernoulli-Kette $n$ verändert sich die Binomialverteilung: Für immer größer werdende $n$ wird die Verteilung immer flacher.
• Wenn $n$ immer größer wird und schließlich gegen $\infty$ geht, erhältst du die Normalverteilung.

Die Sigma-Regeln

Welche Aussagen kannst du über die Wahrscheinlichkeitsverteilung treffen, wenn du den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ einer Binomialverteilung kennst? Hierfür gibt es die Sigma-Regeln. Diese geben Abschätzungen für Intervallwahrscheinlichkeiten an.

• 1-$\sigma$ - Regel: $P(\mu-1\cdot \sigma\le X \le \mu+1\cdot\sigma)\approx 0{,}680$
• 2-$\sigma$ - Regel: $P(\mu-2\cdot \sigma\le X \le \mu+2\cdot\sigma)\approx 0{,}955$
• 3-$\sigma$ - Regel: $P(\mu-3\cdot \sigma\le X \le \mu+3\cdot\sigma)\approx 0{,}997$

Beispiel

In einer Urne befinden sich fünf Kugeln, eine rote und vier blaue. Es wird $10$ mal eine Kugel mit Zurücklegen aus dieser Urne gezogen.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. Dann ist $p=0{,}2$ und $n=10$.

• Der Erwartungswert ist $\mu=10\cdot 0{,}2=2$ und
• die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{10\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8}=\sqrt{1{,}6}\approx 1{,}26$.

Die zugehörige Binomialverteilung siehst du hier

Du kannst den Erwartungswert erkennen, dies ist der höchste Balken. Der Erwartungswert liegt ziemlich weit links, weil $0 \leq p = 0{,}2 < 0{,}5$ ist.