Binomialverteilung – Parameter n bestimmen

Binomialverteilung – Parameter n bestimmen Übung

• Gib an, wie $n$ ermittelt werden kann.

  Tipps

  Welche Parameter der Binomialverteilung sind gegeben?
  Für welches Ereignis ist die Wahrscheinlichkeit gegeben?

  Erinnere dich an die Funktion der kumulierten Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung: Wir nutzen sie, um weiterzurechnen.

  Lösung

  In dieser Aufgabe sortieren wir die Schritte zum Bestimmen von $n$ in einem gegebenen Kontext.

  Als Erstes müssen wir die wichtigen Angaben aus dem Text nutzen und hierdurch $p$, $k$ und die Formel zum Berechnen der Wahrscheinlichkeit bestimmen.

  Jede zehnte Ziehung aus dem Gücksspielautomaten greift ein Kuscheltier:

  $p = 0,\!1$

  Es sollen mindestens drei Treffer erzielt werden:

  $k\geq 3$

  Die Treffer sollen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens neunzig Prozent erreicht werden:

  $P(X\geq 3) \geq 0,\!9$

  Damit wir diese Informationen nutzen können, müssen wir die Formel für die Wahrscheinlichkeit umstellen. Hierdurch können wir die Funktion für kumulierte Wahrscheinlichkeiten verwenden. Da in unserem Fall mindestens drei Treffer erzielt werden sollen, nutzen wir folgende Gegenwahrscheinlichkeit:

  $P(X \geq 3) = 1 - P(X\leq 2)$

  $\begin{array}{llll} P(X\geq 3) & \geq & 0,\!9 & \\ 1-P(X\leq 2)&\geq & 0,\!9& \vert + P(X\leq 2) \\ 1 & \geq & 0,\!9 + P(X\leq 2) & \vert {-}0,\!9\\ 0,\!1&\geq& P(X\leq 2) \\ \end{array}$

  Weil wir $P(X\leq 2)$ nicht nach $n$ umstellen können, probieren wir systematisch verschiedene Werte für $n$ mithilfe unseres Taschenrechners aus (Taschenrechnerbefehl: binomCdf($n,p,k$)):

  $\begin{array}{c|c} n & P(X\leq 2)\\ \hline 40& 0,\!2228\\ 50& 0,\!1117\\ 51& 0,\!1039\\ 52& 0,\!0966\\ \end{array}$

  Auf Dauer ist es zeitsparend, wenn du nicht jeden Wert einzeln in den Taschenrechner eingibst, sondern dir die Werte in einer Tabelle beziehungsweise Funktion anzeigen lässt, sodass du nur noch den entsprechenden kritischen Wert suchen musst.

  Diesen kritischen Wert stellen wir anschließend heraus. Der kritische Wert ist das $n$, welches erstmals die errechnete Wahrscheinlichkeit unterschreitet.

  Bei unserem Beispiel geschieht dies bei $n=52$. Der Wert $0,\!1$ wird hier das erste Mal unterschritten.

  Unser Ergebnis ist also $n=52$.

  Damit können wir nun einen Antwortsatz formulieren. Er könnte lauten:

  Es sind mindestens $52$ Versuche nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von über neunzig Prozent mindestens drei Treffer zu landen.

  Hinweis:

  Wir können tatsächlich von einer Wahrscheinlichkeit von über 90 Prozent sprechen, da unser Gegenereignis die Gegenwahrscheinlichkeit unterschreitet:

  $P(X\leq 2) = 0,\!0966 \lt 0,\!1 \quad \Rightarrow \quad P(X \geq 3) \gt 0,\!9$

  Wenn du die Antwort hier entsprechend der Aufgabenstellung mit „mindestens 90 Prozent“ formulierst, dann ist das natürlich auch richtig.

• Vervollständige die Berechnung.

  Tipps

  Lies den Text genau und setze ein:

  • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
  • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.
  • Wie hoch soll die Wahrscheinlichkeit für $P(X\geq 1)$ sein?

  Was ist die Gegenwahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer?

  $P($„mindestens $1$ Treffer“$) = 1- P($„$0$ Treffer“$)$

  Lösung

  In dieser Aufgabe vervollständigen wir die Berechnung von $n$. Wir wollen die Anzahl der Versuche bestimmen, die notwendig sind, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens neunzig Prozent mindestens einen Treffer zu landen.

  Jede zehnte Ziehung aus dem Gücksspielautomaten greift ein Kuscheltier:

  $p = 0,\!1$

  Es soll mindestens ein Treffer erzielt werden:

  $k\geq 1$

  Die Treffer sollen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens neunzig Prozent erreicht werden:

  $P(X\geq 1) \geq 0,\!9$

  Damit wir diese Informationen nutzen können, müssen wir die Formel für die Wahrscheinlichkeit umstellen und die Bernoulli-Formel verwenden, um $n$ zu ermitteln. Das funktioniert immer, wenn mindestens ein Treffer erzielt werden soll. Wir nutzen die Gegenwahrscheinlichkeit:

  ${P(X\geq 1) = 1 - P(X=0)}$

  $\begin{array}{llll} P(X\geq 1) & \geq & 0,\!9 & \\ 1-P(X=0) & \geq &0,\!9& \vert +P(X=0) - 0,\!9 \\ 0,\!1 & \geq & P(X=0) & \\ 0,\!1&\geq & \displaystyle \binom{n}{0} \cdot 0,\!1^{0} \cdot 0,\!9^{n} \\ 0,\!1&\geq & 1 \cdot 1 \cdot 0,\!9^{n} & \\ 0,\!1&\geq & 0,\!9^{n} & \vert \log_{0,9}{(~)}\\ \log_{0,9}({0,\!1})&\leq& n \\ 21,\!85&\leq& n \end{array}$

  Wir schreiben die Wahrscheinlichkeit mithilfe des Gegenereignisses um. Das Gegenereignis zu $P($„mindestens $1$ Treffer“$)$ ist $P($„$0$ Treffer“$)$. Ziehen wir $P($„$0$ Treffer“$)$ von $1$ ab, ergibt sich unsere Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer.

  Durch das Umformen der entstandenen Gleichung kommen wir zu der Erkenntnis, dass $0,\!1 \geq P(X=0)$ sein muss. Mit der Wahrscheinlichkeit für $P($„$0$ Treffer“$) =P(X=0)$ können wir dann schon etwas mehr anfangen. Wir können sie mitmilfe der Bernoulli-Formel ausschreiben:

  $P ( X = k)= \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1- p)^{n-k}$

  $P(X=0)=\displaystyle \binom{n}{0} \cdot 0,\!1^{0} \cdot 0,\!9^{n}$

  In dieser Formel ergeben die beiden nachfolgenden Faktoren $1$ und können deshalb weggelassen werden:

  • $\displaystyle \binom{n}{0} = 1$
  • $0,\!1^{0}=1$

  Es entsteht also folgende Gleichung:

  $0,\!1 \geq 0,\!9^{n}$

  Jetzt müssen wir überlegen, wie wir das $n$ aus dem Exponenten herausbekommen. Das klappt mit dem Logarithmus zur Basis $0,\!9$:

  $\log_{0,9}{(~)}$

  Durch das Logarithmieren mit einer Basis kleiner $1$ dreht sich das $\geq$ zu einem $\leq$ um:

  $\begin{array}{rrcll} & 0,\!1 &\geq& 0,\!9^{n} & \vert \log_{0,9}{(~)} \\ \Leftrightarrow & \log_{0,9}{0,\!1} &\leq& n \end{array}$

  Anschließend müssen wir den Logarithmus mit dem Taschenrechner berechnen:

  $\log_{0,9}({0,\!1}) \approx 21,\!85 \leq n$

  Weil unsere Frage war, wie viele Versuche wir mindestens durchführen müssen, und weil wir keine halben Versuche starten können, müssen wir zum Schluss unser errechnetes $n$ aufrunden:

  $n = 22$

  Bei $22$ Versuchen landen wir also mit einer Wahrscheinlichkeit von über neunzig Prozent mindestens einen Treffer.

  Hinweis:

  Wir können tatsächlich von einer Wahrscheinlichkeit von über 90 Prozent sprechen, da wir für $n$ aufgerundet haben.

  Wenn du die Antwort hier entsprechend der Aufgabenstellung mit „mindestens 90 Prozent“ formulierst, dann ist das natürlich auch richtig.

• Berechne die Mindestanzahl $n$.

  Tipps

  Lies den Text genau und nutze die Parameter für deine Rechnung:

  • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
  • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.
  • Wie hoch soll die Wahrscheinlichkeit für $P(X\geq 1)$ sein?

  Überlege, wie die Gegenwahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer definiert wird.
  Forme die Gleichung so weit wie möglich um.

  Nutze die Bernoulli-Formel, um $n$ zu ermitteln. Du kannst sie einsetzen, wenn du die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferanzahl berechnen möchtest:

  $P ( X = k)= \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1- p)^{n-k}$

  Lösung

  In dieser Aufgabe berechnen wir die Mindestanzahl $n$. Wir wollen die Anzahl der Versuche bestimmen, die notwendig sind, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens siebzig Prozent mindestens ein fehlerfreies Produkt zu finden.

  Die Firma behauptet, sechzig Prozent ihrer Produkte sind fehlerfrei:

  $p = 0,\!6$

  Es soll mindestens ein Treffer erzielt werden:

  $k\geq 1$

  Der Treffer soll mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens siebzig Prozent erreicht werden:

  $P(X\geq 1) \geq 0,\!7$

  Damit wir diese Informationen nutzen können, müssen wir die Formel für die Wahrscheinlichkeit umstellen und anschließend die Bernoulli-Formel verwenden, um $n$ zu ermitteln. Das funktioniert immer, wenn mindestens ein Treffer erzielt werden soll.

  Wir nutzen das Gegenereignis:

  $P(X\geq 1) = 1-P(X=0)$

  $\begin{array}{llll} P(X\geq 1) & \geq & 0,\!7 & \\ 1-P(X=0)& \geq &0,\!7 & \vert +P(X=0) -0,\!7 \\ 0,\!3 & \geq & P(X=0) & \\ 0,\!3&\geq & \displaystyle \binom{n}{0} \cdot 0,\!6^{0} \cdot 0,\!4^{n} \\ 0,\!3&\geq & 1 \cdot 1 \cdot 0,\!4^{n} & \\ 0,\!3&\geq & 0,\!4^{n} & \vert \log_{0,4}{()}\\ \log_{0,4}({0,\!3})&\leq& n \\ 1,\!32&\leq& n \end{array}$

  Wir schreiben die Wahrscheinlichkeit mithilfe des Gegenereignisses um. Das Gegenereignis zu $P($„mindestens $1$ Treffer“$)$ ist $P($„$0$ Treffer“$)$. Ziehen wir $P($„$0$ Treffer“$)$ von $1$ ab, ergibt sich unsere Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer.

  Durch das Umformen der entstandenen Gleichung kommen wir zu der Erkenntnis, dass $0,\!3 \geq P(X=0)$ sein muss. Die Wahrscheinlichkeit für $P($„$0$ Treffer“$) =P(X=0)$ können wir dank der Bernoulli-Formel ausschreiben:

  $P (X = k)= \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1- p)^{n-k}$

  $P(X=0)=\displaystyle \binom{n}{0} \cdot 0,\!6^{0} \cdot 0,\!4^{n}$

  In dieser Formel ergeben die beiden nachfolgenden Faktoren $1$ und können deshalb weggelassen werden:

  • $\displaystyle \binom{n}{0} = 1$
  • $0,\!6^{0}=1$

  Es entsteht also folgende Gleichung:

  $0,\!3 \geq 0,\!4^{n}$

  Mit dem Logarithmus zur Basis $0,\!4$ bekommen wir $n$ aus dem Exponenten heraus:

  $\log_{0,4}{(~)}$

  Durch das Logarithmieren dreht sich das $\geq$ zu einem $\leq$ um:

  $\begin{array}{rrcll} & 0,\!3 &\geq& 0,\!4^{n} & \vert \log_{0,4}{(~)} \\ \Leftrightarrow & \log_{0,4}{(0,\!3)} &\leq& n \end{array}$

  Anschließend müssen wir den Logarithmus mit dem Taschenrechner berechnen:

  $ \log_{0,4}{(0,\!3)} \approx 1,\!32 \leq n$

  Weil unsere Frage war, wie viele Versuche wir mindestens durchführen müssen, und weil wir keine halben Versuche starten können, müssen wir zum Schluss unser errechnetes $n$ aufrunden:

  $n = 2$

  Bei zwei Versuchen finden wir also mit einer Wahrscheinlichkeit von über siebzig Prozent mindestens ein fehlerfreies Produkt.

  Hinweis:

  Wir können tatsächlich von einer Wahrscheinlichkeit von über 70 Prozent sprechen, da wir für $n$ aufgerundet haben.

  Wenn du die Antwort hier entsprechend der Aufgabenstellung mit „mindestens 70 Prozent“ formulierst, dann ist das natürlich auch richtig.

• Ermittle die passenden Werte für $n$.

  Tipps

  Um herauszufinden, welche Trefferwahrscheinlichkeit es bei einem Zufallsexperiment gibt, zählst du alle Möglichkeiten und setzt sie – wie in dem Beispiel – in einen Bruch ein:

  Bei einem Würfel gibt es insgesamt sechs verschiedene Möglichkeiten.
  Wenn man nur bei den Augenzahlen $5$ und $6$ gewinnt, dann gibt es zwei Gewinnmöglichkeiten.
  Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt:

  $p = \dfrac{2}{6}\ = \dfrac{1}{3}$

  Was ist die Gegenwahrscheinlichkeit für mindestens zehn Treffer?
  Nutze sie, um mit der Funktion für kumulierte Wahrscheinlichkeiten weiterzurechnen.
  Setze sie außerdem in den Tabellenkopf ein.

  Lösung

  In dieser Aufgabe ermitteln wir $n$ durch systematisches Probieren.

  Als Erstes müssen wir die wichtigen Angaben aus dem Text nutzen und hierdurch $p$, $k$ und die Formel zum Berechnen der Wahrscheinlichkeit bestimmen.

  Es soll eine Augenzahl von mindestens vier erzielt werden. Hierzu zählen $4$, $5$ und $6$. Das sind drei von sechs möglichen Ausgängen des Würfelns:

  $p = \frac{3}{6} = 0,\!5$

  Es sollen mindestens zehn Treffer erzielt werden:

  $k\geq 10$

  Die Treffer sollen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens achtzig Prozent erreicht werden:

  $P(X\geq 10) \geq 0,\!8$

  Damit wir diese Informationen nutzen können, müssen wir die Formel für die Wahrscheinlichkeit umstellen. Hierdurch können wir die Funktion für kumulierte Wahrscheinlichkeiten verwenden. Da in unserem Fall mindestens zehn Treffer erzielt werden sollen, nutzen wir folgende Gegenwahrscheinlichkeit:

  $\begin{array}{llll} P(X\geq 10) & = & 1-P(X\leq 9) & \\ 1-P(X\leq 9)&\geq & 0,\!8& \vert +P(X\leq 9) -0,\!8 \\ 0,\!2&\geq& P(X\leq 9) \\ \end{array}$

  Weil wir $P(X\leq 9)$ nicht nach $n$ umstellen können, probieren wir systematisch verschiedene Werte für $n$ mithilfe unseres Taschenrechners (binomCdf($n$, $p$, $k$)) aus:

  $\begin{array}{c|c|c} n & P(X\leq 9) & \text{Kritischer Wert?}\\ \hline 10& 0,\!9990 & \text{Nein}\\ 20& 0,\!4119 & \text{Nein}\\ 21& 0,\!3318 & \text{Nein}\\ 22& 0,\!2617 & \text{Nein}\\ 23& 0,\!2024 & \text{Nein}\\ 24& 0,\!1537 & \text{Ja}\\ 25& 0,\!1148 & \text{Nein}\\ \end{array}$

  Um einen guten Startwert zu finden, kannst du in den Tabellen in einigen Tafelwerken nachschauen, in denen kumulierte Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ausprägungen von $p, k$ und $n$ aufgelistet sind.

  Es ist auch zeitsparend, wenn du nicht jeden Wert einzeln in den Taschenrechner eingibst, sondern dir die Werte in einer Tabelle beziehungsweise Funktion anzeigen lässt, sodass du nur noch den entsprechenden kritischen Wert suchen musst.

  Diesen kritischen Wert stellen wir zum Schluss heraus. Der kritische Wert ist das $n$, welches erstmals die errechnete Wahrscheinlichkeit unterschreitet, denn es soll gelten:

  $0,\!2 \geq P(X\leq 9)$

  Bei unserem Beispiel geschieht dies bei $n=24$. Der Wert $0,\!2$ wird hier das erste Mal unterschritten.
  $n=24$ ist unser Ergebnis.

  Du musst also $24$-mal würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von über achtzig Prozent mindestens zehnmal eine Augenzahl von mindestens vier zu erzielen.

  Hinweis:

  Wir können tatsächlich von einer Wahrscheinlichkeit von über 80 Prozent sprechen, da unser Gegenereignis ($P(X\leq 9)$) die Gegenwahrscheinlichkeit ($0,\!2$) unterschreitet.

  Wenn du die Antwort hier entsprechend der Aufgabenstellung mit „mindestens 80 Prozent“ formulierst, dann ist das natürlich auch richtig.

• Definiere die Bestandteile der Bernoulli-Formel.

  Tipps

  Überlege, was das Ergebnis der Bernoulli-Formel ist.

  Merit schießt insgesamt zehnmal auf eine Torwand. Erfahrungsgemäß trifft sie bei drei von vier Versuchen.
  Es ergibt sich:

  $n = 10 \quad\vert\quad p = 0,\!75$

  Überlege, was $n$ und $p$ angeben.

  Der Binomialkoeffizient bestimmt eine Auswahl aus einer Grundmenge ohne Zurücklegen und ohne Betrachtung der Reihenfolge. Um ihn zu berechnen, brauchen wir die Anzahl der Versuche (Länge der Bernoulli-Kette) und die Anzahl der ausgewählten Elemente (Anzahl der Treffer).

  Lösung

  In dieser Aufgabe definieren wir die Bestandteile der Bernoulli-Formel. Sie wird genutzt, um $n$ zu bestimmen, wenn mindestens ein Treffer erzielt werden soll.

  Im Allgemeinen berechnen wir mit der Bernoulli Formel $P (X = k)$ die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern.

  Zum Beispiel können wir berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass von einer Gesamtzahl an Münzwürfen bei einer bestimmten Anzahl an Würfen Kopf nach oben zeigt.

  Wir betrachten die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir genau $k$ Treffer landen. Die Variable $k$ repräsentiert also die Anzahl der Treffer.

  Wenn wir errechnen möchten, wie wahrscheinlich es ist, dass keinmal Kopf nach oben zeigt, dann ist $k=0$. Wir berechnen also $P (X = 0)$.

  Die Variable $n$ steht für die Länge der Bernoulli-Kette, sprich die Anzahl an Versuchen.

  Die Trefferwahrscheinlichkeit wird mit $p$ angegeben.

  Da es bei einem Münzwurf die Möglichkeiten Zahl und Kopf gibt, liegt die Wahrscheinlichkeit für eine der beiden Möglichkeiten bei 50 Prozent:

  $p=0,\!5$.

  Mit den beschriebenen Bestandteilen kann die Bernoulli-Formel bereits aufgestellt werden:

  $P ( X = k)= \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1- p)^{n-k}$

  Sie lautet für unsere Berechnung der Wahrscheinlichkeit von keinmal Kopf:

  $P ( X = 0) = \displaystyle \binom{n}{0} \cdot 0,\!5^{0} \cdot (1- 0,\!5)^{n}$

  Der enthaltene Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ gibt die Anzahl der Pfade an, die zu unserer gewünschten Trefferzahl führen.

  In unserem Beispiel ist das genau einer:

  $\displaystyle \binom{n}{0} = 1$

  Die darüber hinaus enthaltene Pfadwahrscheinlichkeit $p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$ beinhaltet die Trefferwahrscheinlichkeit ($p$) und die Gegenwahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer ($1-p$).
  Beide werden so oft mit sich selbst multipliziert, wie unsere gewünschte Anzahl für einen Treffer bzw. keinen Treffer ist. (Dementsprechend stehen die Potenzen $k$ für die Durchführungen mit Treffer und $n-k$ für die Durchführungen ohne Treffer.)

  Für die Trefferwahrscheinlichkeit $p^{k}$ ergibt sich in unserem Fall:

  $p^{k} = 0,\!5^{0} = 1$

  Auf diese Weise bleibt die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer $(1-p)^{n-k}$ bestehen:

  $(1-p)^{n-0} = (1- 0,\!5)^{n}= 0,\!5^{n}$

  Mit dem Logarithmus können wir hieraus $n$ bestimmen.

• Bestimme die Parameter.

  Tipps

  Achte darauf, $p$ mit zwei Nachkommastellen zu schreiben.
  Bei einem Münzwurf wird Kopf beispielsweise mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von fünfzig Prozent erzielt:

  $p=0,\!50$

  Lies die Aufgaben genau und setze ein:

  • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Befragten.
  • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
  • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

  Lösung

  In dieser Aufgabe ermitteln wir angegebene und fehlende Parameter einer Binomialverteilung. Hierfür ist es wichtig zu wissen, was die Parameter bedeuten:

  • $n$ steht für die Gesamtanzahl der Befragten.
  • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
  • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

  Wenn wir das wissen, können wir sie in den Sachaufgaben folgendermaßen zuordnen:

  Beispiel 1

  In einer Fabrik werden Kugelschreiber hergestellt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kugelschreiber fehlerhaft ist, beträgt fünf Prozent:

  $p=0,\!05$

  Du möchtest herausfinden, wie viele Stifte mit einer Wahrscheinlichkeit von achtzig Prozent mindestens fehlerhaft sind, wenn du einhundert einkaufst:

  $n= 100$

  Es ergibt sich:

  $\quad p=0,\!05 \quad\vert\quad n=100 \quad\vert\quad k\geq ~?$

  Beispiel 2

  Ein Unternehmen hat eine Kundenbindung von neunzig Prozent:

  $p=0,\!90$

  Du möchtest herausfinden, wie viele Kundinnen und Kunden du befragen musst, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens siebzig Prozent mindestens fünfundvierzig Personen zu finden, die dem Unternehmen treu bleiben:

  $k \geq 45 $

  Es ergibt sich:

  $\quad p=0,\!90 \quad\vert\quad n= ~? \quad\vert\quad k\geq 45$

  Beispiel 3

  Du drehst zwölfmal an einem Glücksrad:

  $n= 12$

  Du möchtest bestimmen, wie viele Gewinnfelder es geben muss, damit du mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens achtzig Prozent mindestens sechsmal gewinnst:

  $k \geq 6$

  Es ergibt sich:

  $\quad p=~? \quad\vert\quad n=12 \quad\vert\quad k\geq 6$

  Beispiel 4

  In einer Multiple-Choice-Klausur hast du immer vier Antwortmöglichkeiten, wobei nur eine richtig ist:

  $p=\frac{1}{4}= 0,\!25$

  Die Prüfung hat fünfzig Fragen:

  $n=50$

  Du möchtest berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass du – ohne zu lernen – mindestens dreißig Fragen richtig beantwortest:

  $k\geq 30$

  Es ergibt sich:

  $\quad p=0,\!25 \quad\vert\quad n=50 \quad\vert\quad k\geq30$