Binomialverteilung – Sigma-Regeln

Binomialverteilung – Sigma-Regeln Übung

• Beschreibe die Formel von Bernoulli und gib den Erwartungswert und die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße an.

  Tipps

  Beispiel

  Du würfelst $15$-mal mit dem abgebildeten Würfel.

  Die Wahrscheinlichkeit, ein rotes Feld zu würfeln, beträgt $p=\frac13$.

  Dann gilt:

  • $E(X)=5$ und
  • $\sigma(X)\approx1,054$.

  $1-p$ ist ist die Gegenwahrscheinlichkeit von $p$, also die Wahrscheinlichkeit dafür, nicht zu treffen.

  Lösung

  Dies ist die Formel nach Bernoulli.

  Dabei ist $X$ eine Zufallsgröße, die jedem Ergebnis eines mehrstufigen Zufallsversuchs die Anzahl $k$ der Treffer zuordnet. Hierfür steht „$X=k$“.

  Die Wahrscheinlichkeit $p$ ist die Treffer- oder auch Erfolgswahrscheinlichkeit. Damit ist $1-p$ die Gegenwahrscheinlichkeit von $p$, die Misserfolgswahrscheinlichkeit.

  Merke dir:

  • $X$: Zufallsgröße
  • $k$: Anzahl der Treffer
  • $n-k$: Anzahl der Nichttreffer
  • $n$: Länge der Bernoullikette (Wie oft wird das Bernoulli-Experiment hintereinander durchgeführt?)
  • $p$: Erfolgswahrscheinlichkeit
  • $1-p$: Misserfolgswahrscheinlichkeit

  Der Erwartungswert $E(X)$ sowie die Standardabweichung $\sigma(X)$ einer binomial verteilten Zufallsgröße $X$ lassen sich so berechnen:

  • $E(X)=n\cdot p$ und
  • $\sigma(X)=\sqrt{E(X)\cdot (1-p)}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.

• Gib die $\sigma$-Regeln an.

  Tipps

  Beachte, dass der Erwartungswert $\mu$ ein Lageparameter ist. Er gibt an, in welchem Bereich sich die Ausprägungen der Zufallsgröße $X$ bewegen.

  Die Standardabweichung ist ein Streuungsparameter. Es ist ein Maß für die Streuung der Ausprägungen der Zufallsgröße $X$ um den Erwartungswert.

  Jede Sigma-Regel legt dabei ein Intervall fest.

  Je größer das betrachtete Intervall, desto größer die Wahrscheinlichkeit.

  Lösung

  Der Erwartungswert einer Zufallsgröße ist ein Lageparameter. Er gibt an, in welchem Bereich sich die Ausprägungen der Zufallsgröße befinden.

  Da diese Ausprägungen durchaus von dem Erwartungswert abweichen können (man spricht von Streuung), wird auch noch ein Streuungsparameter betrachtet. Das ist die Standardabweichung.

  Die Standardabweichung ist ein Maß der Streuung. Je größer die Standardabweichung, desto stärker streuen die tatsächlichen Ausprägungen der Zufallsgröße $X$ um den Erwartungswert. Wie sehr diese streuen, beschreiben die Sigma-Regeln.

  Diese geben Abschätzungen für Intervallwahrscheinlichkeiten an. Dabei sehen die Intervalle so aus:

  $[\mu-k\cdot \sigma; \mu+k\cdot \sigma]$

  Dabei ist $k$ ein Vielfaches der Standardabweichung.

  Die $1$-$\sigma$-Regel

  $P(\mu-1\cdot \sigma\le X\le \mu+1\cdot \sigma)\approx 0,680$

  Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Person einen IQ-Wert hat, der in diesem Bereich ist, liegt bei ungefähr $0,680$. Das bedeutet, etwas weniger als $70~\%$ der gesamten Wahrscheinlichkeit sind bereits abgedeckt. Ebenso kannst du die folgenden Sigma-Regeln interpretieren.

  Die $2$-$\sigma$-Regel

  $P(\mu-2\cdot \sigma\le X\le \mu+2\cdot \sigma)\approx 0,955$

  Die $3$-$\sigma$-Regel

  $P(\mu-3\cdot \sigma\le X\le \mu+3\cdot \sigma)\approx 0,997$

  Hier, und auch bei der $2$-$\sigma$-Regel, siehst du, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ einen Wert in diesem Bereich annimmt, schon sehr nahe bei $1$ ist.

  Andersherum ausgedrückt heißt dies, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ einen Wert außerhalb dieses Bereiches annimmt, sehr klein wird. Dies kannst du auch in dem abgebildeten Histogramm am Beispiel der $2$-$\sigma$-Regel sehen. Außerhalb der roten vertikalen Linien ist nur noch sehr wenig (grau markierte) Fläche zu erkennen.

• Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung.

  Tipps

  Wenn du mit einem handelsüblichen Spielwürfel $30$-mal würfelst, ist der Erwartungswert für das Ergebnis „Augenzahl $6$“ gegeben durch $30\cdot \frac16=5$.

  Bei Binomialverteilungen gilt: Wenn du den Erwartungswert mit der Gegenwahrscheinlichkeit von $p$ multiplizierst, erhältst du die Varianz.

  Die Wurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung.

  Lösung

  Zur Berechnung der Intervalle für die Sigma-Regeln musst du zunächst den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ berechnen.

  • $\mu=n\cdot p$, also hier $\mu=60\cdot \frac16=10$
  • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$, also hier $\sigma=\sqrt{60\cdot \frac16\cdot \frac56}\approx2,887$

  Hinweis: Die hier dargestellten Formeln gelten für binomialverteilte Zufallsvariablen.

• Ermittle die Intervalle für die Sigma-Regeln.

  Tipps

  Berechne zunächst den Erwartungswert $\mu=n\cdot p$ und die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.

  Bei den Sigma-Regeln werden symmetrische Umgebungen des Erwartungswertes betrachtet. Diese haben als untere Grenze $\mu-k\cdot \sigma$ und als obere $\mu+k\cdot \sigma$.

  Zum Beispiel wird bei der $1$-$\sigma$-Regel einmal $1\cdot \sigma$ vom Erwartungswert subtrahiert und einmal $1\cdot \sigma$ zum Erwartungswert addiert.

  Hier ist $\mu=10$ und $\sigma\approx 2{,}887$.

  Lösung

  Bei den Sigma-Regeln wird jeweils eine Umgebung des Erwartungswertes betrachtet. Diese Umgebung ergibt sich üblicherweise durch Subtraktion oder Addition eines Vielfachen der Standardabweichung von (oder zu) dem Erwartungswert. Es wird also die folgende Wahrscheinlichkeit betrachtet:

  $P(\mu-k\cdot \sigma \le X\le\mu+k\cdot \sigma)\approx $ ...

  Hier folgt je nach dem Vielfachen $k$ der Standardabweichung eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit.

  Verwende im Folgenden $\mu=10$ sowie $\sigma\approx 2{,}887$.

  Die $1$-$\sigma$-Regel

  Addiere beziehungsweise subtrahiere $1\cdot\sigma$. Dies führt zu

  $P(7{,}113\le X\le12{,}887)\approx0{,}680$.

  Die $2$-$\sigma$-Regel

  Dieses Mal addierst beziehungsweise subtrahierst du $2\cdot \sigma$. Dies führt zu

  $P(4{,}226\le X\le15{,}774)\approx0{,}955$.

  Die $3$-$\sigma$-Regel

  Zuletzt machst du das Ganze noch einmal mit $3\cdot \sigma$ und kommst somit zu der folgenden Abschätzung:

  $P(1{,}339\le X\le18{,}661)\approx0{,}997$.

• Benenne die Größen in der $\sigma$-Regel.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit $P(U\le X\le O)$ wird als Intervallwahrscheinlichkeit bezeichnet.

  Dabei nimmt die Zufallsgröße nur Ausprägungen an, die zwischen einer unteren Grenze $U$ und einer oberen Grenze $O$ liegen.

  Der Erwartungswert ist eine Lageparameter. Er gibt die Lage der Ausprägungen der Zufallsgröße $X$ an. Demgegenüber ist die Standardabweichung ein Streuungsparameter.

  Lösung

  Bei der Binomialverteilung streuen die Werte (die Ausprägungen) der Zufallsgröße $X$ um den Erwartungswert $\mu$.

  Deshalb wird häufig eine symmetrische Umgebung dieses Erwartungswertes betrachtet. Dazu betrachtet man das Intervall, was entsteht, wenn man diesen Wert vom Erwartungswert subtrahiert bzw. mit diesem addiert.

  Dabei kann die Standardabweichung auch mit einem Faktor versehen werden.

  Hier siehst du zum Beispiel die $1$-$\sigma$-Regel. Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für $X\in[\mu-1\cdot\sigma;\mu+1\cdot \sigma]$ ungefähr $0,680$ beträgt.

  Die entsprechenden Größen sind also

  • der Erwartungswert $\mu$,
  • die Standardabweichung $\sigma$,
  • die Zufallsgröße $X$
  • und die ungefähre Wahrscheinlichkeit $0,680$.

• Gib die Intervallgrenzen für die Zufallsgröße an.

  Tipps

  • Die Trefferwahrscheinlichkeit ist $p=0,3$.
  • Der Erwartungswert ist $\mu=n\cdot p$.

  Du erhältst $\mu=15$.

  Beachte, dass $X=k$ nur für natürliche Zahlen $k\in\{0;1;2;3;...;50\}$ gelten kann. Das bedeutet, dass sowohl die untere als auch die obere Grenze natürliche Zahlen sind.

  Die Standardabweichung ist $\sigma\approx 3,24$.

  Betrachte die folgenden Sigma-Regeln:

  • $P(\mu-1\cdot \sigma\le X\le \mu+1\cdot \sigma)\approx 0,680$
  • $P(\mu-2\cdot \sigma\le X\le \mu+2\cdot \sigma)\approx 0,955$
  • $P(\mu-3\cdot \sigma\le X\le \mu+3\cdot \sigma)\approx 0,997$

  Lösung

  In dieser Aufgabe kannst du an einem konkreten Beispiel eine Sigma-Regel üben. Da die näherungsweise Wahrscheinlichkeit mit $0{,}955$ gegeben ist, handelt es sich um die $2$-$\sigma$-Regel.

  Bestimme zunächst den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$:

  • $\mu=n\cdot p=50\cdot 0{,}3=15$ und
  • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{50\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7}\approx3{,}24$.

  Nun kannst du die Intervallgrenzen berechnen.

  • $\mu-2\cdot \sigma=15-2\cdot 3{,}24=8{,}52$
  • $\mu+2\cdot \sigma=15+2\cdot 3{,}24=21{,}48$

  Da diese Zahlen keine natürlichen Zahlen sind, rundest du die kleinere nach oben und die größere nach unten.

  Du kannst also folgende Intervallwahrscheinlichkeit angeben:

  $P(9\le X\le 21)\approx 0{,}955$.

  Übrigens: In diesem Beispiel kannst du diese Intervallwahrscheinlichkeit auch mit Hilfe von Tabellen zur kumulierten (summierten) Binomialverteilung berechnen. Dabei gehst du wie folgt vor.

  Es gilt $P(9\le X\le 21)=P(X\le21)-P(x\le 8)$. Die beiden rechten Wahrscheinlichkeiten kannst du aus einer Tabelle ablesen, die Wahrscheinlichkeiten zu kumulierten Wahrscheinlichkeiten auflistet. Dies führt zu

  $P(X\le21)-P(x\le 8)=0{,}9749-0{,}0183=0{,}9566$.