Binomialverteilung – Parameter p bestimmen

Binomialverteilung – Parameter p bestimmen Übung

• Gib das allgemeine Vorgehen an, um den Parameter $p$ bei einer Binomialverteilung zu bestimmen.

  Tipps

  Beginne damit, die Informationen aus der Aufgabenstellung richtig einzuordnen.

  Du benötigst eine Ungleichung, um $p$ bestimmen zu können.

  Lösung

  Ist eine Zufallsgröße $X$ binomialverteilt, so sind folgende Parameter relevant:

  • $p$: Trefferwahrscheinlichkeit
  • $n$: Anzahl der Versuchsdurchführungen
  • $k$: Trefferzahl

  Ist in einer Aufgabe zur Binomialverteilung die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ gesucht, können wir wie folgt vorgehen:

  1.$~$Die Informationen aus der Aufgabenstellung richtig einordnen.
  Wichtig ist es, die Aufgabenstellung genau zu lesen, und die gegebenen Größen den Parametern zuzuordnen.

  2.$~$Die Informationen durch eine Ungleichung ausdrücken.
  Nun können wir die Informationen aus der Aufgabenstellung durch eine Ungleichung zur Binomialverteilung ausdrücken. Dabei ist es wichtig, genau auf die Formulierung zu achten und zwischen höchstens und mindestens zu unterscheiden: Höchstens bedeutet kleiner oder gleich ($\leq$), mindestens bedeutet größer oder gleich ($\geq$).

  3.$~$Den Parameter $p$ durch systematisches Probieren bestimmen.
  Wir verwenden den Taschenrechner und die Funktion binomCdf, um $p$ zu bestimmen. Dazu kann es hilfreich sein, eine Tabelle anzulegen, aus der wir den Parameter $p$ ablesen können.

  4.$~$Den Antwortsatz formulieren.
  Am Ende der Aufgabe müssen wir den Bezug zum Sachkontext herstellen. Der ermittelte Parameter $p$ muss dazu in einen Antwortsatz eingebunden werden.

• Beschreibe das Vorgehen zum Lösen der Aufgabe.

  Tipps

  Mindestens bedeutet größer oder gleich ($\geq$).
  Höchstens bedeutet kleiner oder gleich ($\leq$).

  Wir suchen den kleinsten Wert für $p$, der eine Wahrscheinlichkeit über $75$ Prozent liefert.

  Lösung

  Die Aufgabenstellung:

  Wie hoch darf der Anteil verspäteter Züge höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75$ Prozent höchstens drei von zehn Zügen eine Verspätung haben?

  Die Größen der Binomialverteilung:

  Das zugrunde liegende Bernoulli-Experiment ist: Ein Zug kann entweder verspätet sein oder nicht. Die darauf aufbauende Zufallsgröße $X$ ist also binomialverteilt und zählt die Anzahl verspäteter Züge. Ein verspäteter Zug gilt dann als Treffer:

  • Wir betrachten insgesamt $10$ Versuchsdurchführungen: $n=10$.
  • Die erforderliche Trefferzahl ist $k\leq3$.
  • Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$, die dem Anteil tatsächlich verspäteter Züge entspricht, ist gesucht.

  Wir haben außerdem das Ereignis höchstens drei Züge, also $k \leq 3$, und wissen, dass die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis größer gleich $75\,\%$ sein soll. Wir schreiben also:

  $P(X \leq 3) \geq 0,\!75$

  Je größer $p$ ist, desto mehr Treffer, also verspätete Züge, können wir durchschnittlich erwarten.

  Bestimmung von $p$ durch systematisches Probieren:

  Wir müssen jetzt also bestimmen, wie groß $p$ (auf zwei Nachkommastellen gerundet) höchstens sein darf, um die genannten Gegebenheiten zu erfüllen.
  Da in der Aufgabenstellung nach höchstens drei Treffern gefragt wird, können wir direkt mit der kumulierten Wahrscheinlichkeit arbeiten.
  Wir können mit dem Taschenrechner eine Tabelle anlegen und verwenden dazu den Befehl binomCdf. Dabei sollte die Tabelle die kumulierten Wahrscheinlichkeiten $P$ für gegebene Trefferwahrscheinlichkeiten $p$ darstellen, die in der Nähe von $0,\!75$ liegen. Eine geeignete Tabelle sieht wie folgt aus:

  $\begin{array}{l|c} p & P(X \leq 3) \\ \hline 0,\!25 & 0,\!7759 \\ 0,\!26 & 0,\!7521 \\ 0,\!27 & 0,\!7274 \\ 0,\!28 & 0,\!7021 \end{array}$

  Nun müssen wir nur noch das $p$ ausfindig machen, das möglichst klein ist, aber bei dem der Schwellenwert $0,\!75$ überschritten wird. Das ist hier bei $0,\!26$ der Fall:

  $p = 0,\!26 = 26\,\%$

  Antwort:

  Bis zu einem Anteil von circa $26$ Prozent verspäteter Züge sind mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75$ Prozent höchstens drei von zehn Zügen verspätet.

• Formuliere die Ungleichung.

  Tipps

  Unterscheide zwischen dem Ungleichheitszeichen in der Klammer und dem Ungleichheitszeichen vor dem Ergebnis.

  Mindestens bedeutet größer oder gleich ($\geq$).
  Höchstens bedeutet kleiner oder gleich ($\leq$).
  Mehr als bedeutet größer ($>$).
  Weniger als bedeutet kleiner ($<$).

  Lösung

  Um die Ereignisse den passenden Ungleichungen zuzuordnen, vergegenwärtigen wir uns zunächst noch einmal die Bedeutung einiger gängiger Formulierungen:

  • Mindestens bedeutet größer oder gleich ($\geq$).
  • Höchstens bedeutet kleiner oder gleich ($\leq$).
  • Mehr als bedeutet größer ($>$).
  • Weniger als bedeutet kleiner ($<$).

  
  

  Damit ergeben sich folgende Ungleichungen:

  
  

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\color{#66D8FF}{\text{mindestens}}$ $90$ Prozent sind $\color{#FF66FF}{\text{höchstens}}$ $5$ Kartoffeln zu klein.

  Wir schreiben:

  $P(X$ $\color{#FF66FF}{\leq}$ $5)$ $\color{#66D8FF}{\geq}$ $0,\!9$

  
  

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\color{#FF66FF}{\text{höchstens}}$ $10$ Prozent sind $\color{#F3DB00}{\text{mehr als}}$ $5$ Kartoffeln zu klein.

  Wir schreiben:

  $P(X$ $\color{#F3DB00}{>}$ $5)$ $\color{#FF66FF}{\leq}$ $0,\!1$

  Da mehr als 5 das Gleiche ist wie mindestens 6 können wir auch schreiben:

  $P(X \geq 6) \leq 0,\!1$

  
  

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\color{#66D8FF}{\text{mindestens}}$ $90$ Prozent sind $\color{#99FF32}{\text{weniger als}}$ $5$ Kartoffeln zu klein.

  Wir schreiben:

  $P(X$ $\color{#99FF32}{<}$ $5)$ $\color{#66D8FF}{\geq}$ $0,\!9$

  Da weniger als 5 das Gleiche ist wie höchstens 4 können wir auch schreiben:

  $P(X \leq 4) \geq 0,\!9$

  
  

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\color{#FF66FF}{\text{höchstens}}$ $90$ Prozent sind $\color{#66D8FF}{\text{mindestens}}$ $5$ Kartoffeln zu klein.

  Wir schreiben:

  $P(X$ $\color{#66D8FF}{\geq}$ $5)$ $\color{#FF66FF}{\leq}$ $0,\!9$

• Ermittle den gesuchten Parameter $p$.

  Tipps

  Wenn mindestens zwei Teammitglieder krank sind, dann kann das Team nicht weiterarbeiten. Es darf also höchstens ein Teammitglied erkranken, damit das Team arbeiten kann.

  Bei der Tabelle musst du das $p$ ausfindig machen, das möglichst groß ist, aber bei dem der Schwellenwert $0,\!8$ noch nicht unterschritten wird.

  Lösung

  Die Aufgabenstellung:

  In einem Team arbeiten acht Personen. Jede Person ist mit der Wahrscheinlichkeit $p$ an einem Tag krank. Fallen mindestens zwei der acht Teammitglieder aus, kann das Team nicht weiterarbeiten.

  Wie hoch darf die Wahrscheinlichkeit für eine Erkrankung (auf zwei Nachkommastellen gerundet) höchstens sein, damit das Team mit mindestens $80$ Prozent Sicherheit arbeiten kann?

  Die Größen der Binomialverteilung:

  Das zugrunde liegende Bernoulli-Experiment ist: Eine Person kann entweder krank sein oder nicht. Die darauf aufbauende Zufallsgröße $X$ ist also binomialverteilt und zählt die Anzahl erkrankter Teammitglieder. Ein erkranktes Teammitglied gilt dann als Treffer:

  • Wir betrachten insgesamt acht Personen: $n=8$.
  • Damit das Team arbeiten kann, muss gelten: $k<2$.
  • Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$, also die Wahrscheinlichkeit für eine Erkrankung eines Teammitglieds, ist gesucht.

  Wenn mindestens zwei Teammitglieder krank sind, dann kann das Team nicht weiterarbeiten. Es darf also höchstens ein Teammitglied erkranken, damit das Team arbeiten kann. Wir schreiben:

  $P(X \leq 1) \geq 0,\!8$

  Bestimmung von $p$ durch systematisches Probieren:

  Wir müssen nun bestimmen, wie groß $p$ (auf zwei Nachkommastellen gerundet) höchstens sein darf, um die genannten Gegebenheiten zu erfüllen.
  Da wir die Ungleichung mit $X \leq 1$ formuliert haben, können wir direkt mit der kumulierten Wahrscheinlichkeit arbeiten.
  Wir können mit dem Taschenrechner eine Tabelle anlegen und verwenden dazu den Befehl bimomCdf. Dabei sollte die Tabelle die kumulierten Wahrscheinlichkeiten $P$ für gegebene Trefferwahrscheinlichkeiten $p$ darstellen, die in der Nähe von $0,\!8$ liegen. Eine geeignete Tabelle sieht wie folgt aus:

  $\begin{array}{l|c} p & P(X \leq 1) \\ \hline 0,\!09 & 0,\!842 \\ 0,\!10 & 0,\!813 \\ 0,\!11 & 0,\!783 \\ 0,\!12 & 0,\!752 \end{array}$

  Jetzt müssen wir nur noch das $p$ ausfindig machen, das möglichst groß ist, aber bei dem der Schwellenwert $0,\!8$ noch nicht unterschritten wird. Das ist hier bei $0,\!10$ der Fall:

  $p = 0,\!10 = 10\,\%$

  Antwort:

  Die Wahrscheinlichkeit für eine Erkrankung darf höchstens $10$ Prozent sein, damit das Team mit mindestens $80$ Prozent Sicherheit arbeiten kann.

• Gib an, ob es sich um eine Binomialverteilung handelt.

  Tipps

  Bei einer Binomialverteilung gibt es genau zwei mögliche Versuchsausgänge.

  Drei der vier Situationen sind Beispiele für eine Binomialverteilung.

  Lösung

  Eine Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli-Kette, also einer wiederholten Durchführung eines Bernoulli-Experiments. Ein solches Experiment hat genau zwei Versuchsausgänge, die als Treffer und kein Treffer bezeichnet werden.
  Die Binomialverteilung ordnet der Anzahl an Treffern, die bei $n$ Versuchsdurchführungen einer binomialverteilten Zufallsgröße erzielt werden, die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zu.

  
  

  Wir unterscheiden damit die gegebenen Beispiele:

  
  

  Folgende Beispiele sind binomialverteilt:

  • Eine Stichprobe von $30$ elektrischen Bauteilen wird auf fehlerhafte Bauteile untersucht.

  Bei diesem Beispiel handelt es sich um ein binomialverteiltes Zufallsexperiment, da genau zwei Versuchsausgänge (fehlerhaft versus nicht fehlerhaft) möglich sind. Die Anzahl der Versuchsdurchgänge ist $n=30$, die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ ist in jedem Versuchsdurchgang gleich und in diesem Beispiel unbekannt.

  • Tarek nimmt unvorbereitet an einem Multiple-Choice-Test mit $35$ Fragen teil. Bei jeder Frage ist eine von drei Antwortmöglichkeiten korrekt.

  Bei diesem Beispiel handelt es sich um ein binomialverteiltes Zufallsexperiment, da bei jeder Aufgabe genau zwei Versuchsausgänge (richtig versus falsch) möglich sind. Die Anzahl der Versuchsdurchgänge ist $n=35$, die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ ist $p=0,\!33$.

  • Bei einer Party können die Gäste zwischen Cocktails mit und ohne Alkohol wählen. Erfahrungsgemäß entscheiden sich $60$ Prozent für den alkoholfreien Cocktail.

  Bei diesem Beispiel handelt es sich um ein binomialverteiltes Zufallsexperiment, da genau zwei Versuchsausgänge (ohne Alkohol versus mit Alkohol) möglich sind. Die Anzahl der Versuchsdurchgänge entspricht der Anzahl der Partygäste, die Trefferwahrscheinlichkeit für alkoholfrei ist $p=0,\!60$.

  
  

  Folgendes Beispiel ist nicht binomialverteilt:

  • Aus einer Lostrommel mit Nieten, Gewinnen und Trostpreisen werden fünf Lose gezogen.

  Bei diesem Beispiel handelt es sich nicht um ein binomialverteiltes Zufallsexperiment, da es nicht nur zwei, sondern drei mögliche Versuchsausgänge (Niete, Gewinn und Trostpreis) gibt.

• Entscheide, welcher Parameter der Binomialverteilung gesucht ist.

  Tipps

  • $n$ steht für die Anzahl der Versuchsdurchführungen.
  • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
  • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

  Überlege jeweils zunächst, welche Größen gegeben sind. Überlege dann, was die gesuchte Größe ist.

  Lösung

  Alle Aufgaben sind Beispiele einer Binomialverteilung. Eine Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli-Kette, also einer binomialverteilten Zufallsgröße.
  Die Funktionsgleichung der Binomialverteilung lautet:

  $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} $

  In dieser Aufgabe ist es besonders wichtig zu wissen, was die Parameter bedeuten:

  • $n$ steht für die Anzahl der Versuchsdurchführungen.
  • $p$ definiert die Trefferwahrscheinlichkeit.
  • $k$ beschreibt, welche Trefferzahl untersucht wird.

  Die Binomialverteilung ordnet jeder möglichen Trefferzahl die dazugehörige Wahrscheinlichkeit zu.

  
  

  Wir betrachten die gegebenen Beispiele:

  Beispiel Lostopf:

  Durchschnittlich ist jedes zehnte Los ein Gewinn.
  Wie viele Versuche brauchst du mindestens, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90$ Prozent mindestens drei Gewinnlose zu ziehen?

  Ein Gewinnlos ist in diesem Fall ein Treffer. Wir können damit die Parameter der Binomialverteilung wie folgt zuordnen:

  $p= 0,\!1$ $\quad$ $k\geq3$ $\quad$ $n=~?$

  Beispiel Äpfel:

  Ein Landwirt behauptet, dass $60$ Prozent seiner Äpfel wurmfrei sind.
  Wie viele Äpfel musst du mindestens aufschneiden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $80$ Prozent mindestens einen wurmstichigen Apfel zu finden?

  Ein wurmstichiger Apfel ist in diesem Fall ein Treffer. Wir können damit die Parameter der Binomialverteilung wie folgt zuordnen:

  $p= 0,\!4$ $\quad$ $k\geq1$ $\quad$ $n=~?$

  Beispiel Autos:

  Jedes zehnte Auto, das ein Werk verlässt, hat einen Elektronikfehler.
  An einem Tag verlassen $250$ Autos die Fabrik. Du möchtest herausfinden, wie viele dieser Autos mit einer Wahrscheinlichkeit von $80$ Prozent mindestens fehlerhaft sind.

  Ein Auto mit Elektronikfehler ist in diesem Fall ein Treffer. Wir können damit die Parameter der Binomialverteilung wie folgt zuordnen:

  $p= 0,\!1$ $\quad$ $k=~?$ $\quad$ $n=250$

  Beispiel Mülltonnen:

  Ein Entsorgungsunternehmen behauptet, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $60$ Prozent mindestens die Hälfte von $100$ Papiertonnen falsche Müllsorten enthält.
  Wie groß ist der Anteil an falsch befüllten Papiertonnen mindestens?

  Eine falsch bestückte Mülltonne ist in diesem Fall ein Treffer. Wir können damit die Parameter der Binomialverteilung wie folgt zuordnen:

  $p=~?$ $\quad$ $k\geq50$ $\quad$ $n=100$