Binomialverteilung – Parameter k bestimmen

Binomialverteilung – Parameter k bestimmen Übung

• Formuliere die Ungleichung.

  Tipps

  • maximal bedeutet kleiner oder gleich $(\leq)$
  • mindestens bedeutet größer oder gleich $(\geq)$
  • höchstens bedeutet kleiner oder gleich $(\leq)$

  Unterscheide zwischen dem Ungleichheitszeichen in der Klammer und dem Ungleichheitszeichen vor dem Ergebnis.

  Lösung

  Um die Ereignisse den passenden Ungleichungen zuzuordnen, vergegenwärtigen wir uns zunächst noch einmal die Bedeutung einiger gängiger Formulierungen:

  • maximal bedeutet kleiner oder gleich $(\leq)$
  • mindestens bedeutet größer oder gleich $(\geq)$
  • höchstens bedeutet kleiner oder gleich $(\leq)$

  
  

  Damit können wir die Ereignisse zunächst umformulieren und dann als Ungleichung schreiben:

  
  

  • Ereignis: Die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ Treffer ist maximal $10$ Prozent.
  • Umformulierung: Die Wahrscheinlichkeit für mindestens $\boldsymbol{k}$ Treffer ist kleiner gleich $0{,}1$.
  • Ungleichung: $P(X \geq k) \leq 0{,}1$

  
  

  • Ereignis: Die Wahrscheinlichkeit für höchstens $k$ Treffer ist mindestens $90$ Prozent.
  • Umformulierung: Die Wahrscheinlichkeit für höchstens $\boldsymbol{k}$ Treffer ist größer gleich $0{,}9$.
  • Ungleichung: $P(X \leq k) \geq 0{,}9$

  
  

  • Ereignis: Die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ Treffer ist höchstens $90$ Prozent.
  • Umformulierung: Die Wahrscheinlichkeit für mindestens $\boldsymbol{k}$ Treffer ist kleiner gleich $0{,}9$.
  • Ungleichung: $P(X \geq k) \leq 0{,}9$

  
  

  • Ereignis: Die Wahrscheinlichkeit für höchstens $k$ Treffer ist mindestens $10$ Prozent.
  • Umformulierung: Die Wahrscheinlichkeit für höchstens $\boldsymbol{k}$ Treffer ist größer gleich $0{,}1$.
  • Ungleichung: $P(X \leq k) \geq 0{,}1$

• Gib den Lösungsweg wieder.

  Tipps

  Wir wissen:

  Die Wahrscheinlichkeit für mindestens $\boldsymbol{k}$ Treffer ist kleiner gleich $0,\!01$.

  Wir schreiben also:

  $P(X \geq k) \leq 0,\!01$

  Betrachte nun das Gegenereignis, denn nur dessen Wahrscheinlichkeit kannst du mit der Verteilungsfunktion für kumulierte Wahrscheinlichkeiten bestimmen.

  Lösung

  Der Test:

  Ein Multiple-Choice-Test besteht aus $20$ Fragen. Jede Frage hat vier Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist.

  Frage:

  Wie viele richtige Antworten muss die Lehrkraft für das Bestehen mindestens ansetzen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, den Test rein zufällig zu bestehen, maximal ein Prozent beträgt?

  Die Parameter der Binomialverteilung:

  Eine Zufallsgröße $X$, die die Anzahl an richtigen Antworten zählt, ist bei diesem Beispiel binomialverteilt.
  Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ dafür, bei einer Frage rein zufällig die richtige Antwort anzukreuzen, liegt bei $p = \dfrac{1}{4}$.
  Der Parameter $k$, der als Trefferanzahl in unserem Fall die Anzahl an richtigen Antworten wiedergibt, ist gesucht.

  Die Ausgangslange:

  Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens $\boldsymbol{k}$ Treffer kleiner gleich $0,\!01$ sein soll und schreiben somit:

  $P(X \geq k) \leq 0,\!01$

  Verwendung der Gegenwahrscheinlichkeit:

  Da wir nur die Wahrscheinlichkeit für höchstens $\boldsymbol{k}$ Treffer mit der Verteilungsfunktion für kumulierte Wahrscheinlichkeiten bestimmen können, arbeiten wir mit der entsprechenden Gegenwahrscheinlichkeit.
  Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses höchstens $\boldsymbol{k -1}$ Treffer muss also mindestens $99$ Prozent betragen:

  $P(X \leq k-1) \geq 0,\!99$

  Anlegen einer Tabelle:

  Welcher Mindestwert für $k$ die Bedingung erfüllt, können wir durch systematisches Probieren beziehungsweise das Anlegen einer Tabelle bestimmen. Dafür können wir den Taschenrechner und die Funktion binomCdf verwenden. Eine entsprechende Tabelle für ansteigende $(k-1)$-Werte sieht wie folgt aus:

  $\begin{array}{c|c} k-1 & P(X \leq k-1) \\ \hline 8 & 0,\!9591 \\ 9 & 0,\!9861 \\ 10 & 0,\!9961 \\ 11 & 0,\!9991 \end{array}$

  Ablesen aus der Tabelle:

  Wir sehen, dass für $k-1=10$ die Wahrscheinlichkeit erstmals größer als $0,\!99$ ist, nämlich ${P(X \leq 10) = 0,\!9961}$.

  Bestimmung des Parameters $\boldsymbol{k}$:

  An dieser Stelle müssen wir unbedingt darauf achten, dass wir in der angelegten Tabelle $k-1$ betrachten und wir daher zu dem ersten Wert, der unsere Bedingung erfüllt, noch eins addieren müssen.
  Es gilt also:

  $k=11$

  Antwort:

  Wenn mindestens elf richtige Antworten für das Bestehen des Tests gefordert werden, dann liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, den Test rein zufällig zu bestehen, bei maximal ein Prozent.

• Bestimme, welche Trefferzahl festgelegt werden muss, damit maximal zehn Prozent die nächste Runde erreichen.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses höchstens $\boldsymbol{k - 1}$ Treffer muss mindestens neunzig Prozent betragen.

  Achte darauf, dass in der angelegten Tabelle $k-1$ betrachtet wird und du daher zu dem ersten Wert, der die Bedingung erfüllt, noch $1$ addieren musst.

  Lösung

  Die Ausgangslage:

  Die durchschnittliche Trefferquote der Teilnehmerinnen und Teilnehmer bei einem Turnier im Torwandschießen liegt bei $40$ Prozent.

  In der ersten Runde wird $25$-mal auf die Torwand geschossen: Eine Mindestanzahl an Treffern für das Erreichen der nächsten Runde soll so festgelegt werden, dass maximal $10$ Prozent der Teilnehmenden die zweite Runde erreichen.

  Die Parameter der Binomialverteilung:

  Eine Zufallsgröße $X$, die die Anzahl an Treffern zählt, ist bei diesem Beispiel binomialverteilt.
  Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ liegt bei $p = 0,\!4$.
  Der Parameter $k$, der als Trefferanzahl in unserem Fall die Anzahl an Treffern angibt, ist gesucht. //

  Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens $\boldsymbol{k}$ Treffer kleiner gleich $0,\!1$ sein soll, damit nur maximal $10\,\%$ der Teilnehmerinnen und Teilnehmer die zweite Runde erreichen.
  Wir schreiben dafür:

  $P(X \geq k) \leq 0,\!1$

  Verwendung der Gegenwahrscheinlichkeit:

  Da wir nur die Wahrscheinlichkeit für höchstens $\boldsymbol{k}$ Treffer mit der Verteilungsfunktion für kumulierte Wahrscheinlichkeiten bestimmen können, arbeiten wir mit der entsprechenden Gegenwahrscheinlichkeit.
  Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses höchstens $\boldsymbol{k - 1}$ Treffer muss also mindestens neunzig Prozent betragen:

  $P(X \leq k-1) \geq 0,\!9$

  Wir legen nun eine entsprechende Tabelle für ansteigende $(k-1)$-Werte an. Dafür können wir den Taschenrechner und die Funktion binomCdf mit $n = 25$ und $p = 0,\!4$ verwenden.

  $\begin{array}{l|c} k-1 & P(X \leq k-1) \\ \hline 10 & 0,\!585 \\ 11 & 0,\!732 \\ 12 & 0,\!846 \\ 13 & 0,\!922 \\ 14 & 0,\!966 \end{array}$

  Ermittlung des Parameters $\boldsymbol{k}$ aus der Tabelle:

  Wir sehen, dass für $k-1=13$ die Wahrscheinlichkeit erstmals größer als $0,\!9$ ist, nämlich $P(X \leq 13) = 0,\!922$.

  Jetzt müssen wir noch darauf achten, dass wir in der angelegten Tabelle $k-1$ betrachten und wir daher zu dem ersten Wert, der unsere Bedingung erfüllt, noch $1$ addieren müssen.
  Es gilt also:

  $k=14$

  Antwort:

  Ab einer angesetzten Trefferzahl von $14$ erreichen maximal zehn Prozent der Teilnehmenden die zweite Runde.

• Berechne den gesuchten Parameter.

  Tipps

  In diesem Beispiel müssen wir nicht das Gegenereignis nutzen, da wir die Wahrscheinlichkeit für höchstens $\boldsymbol{k}$ Treffer direkt mit der Verteilungsfunktion für kumulierte Wahrscheinlichkeiten bestimmen können.

  Eine Tabelle für $n = 200$ und $p = 0,\!05$ sieht wie folgt aus:

  $\begin{array}{c|c} k & P(X \leq k) \\ \hline 4& 0,\!026 \\ 5 & 0,\!062 \\ 6 & 0,\!123 \\ 7 & 0,\!213 \end{array}$

  Lösung

  Die Ausgangslage:

  Bei der Fahrscheinkontrolle in der U-Bahn liegt die Wahrscheinlichkeit, eine Person ohne gültigen Fahrschein aufzugreifen, erfahrungsgemäß bei fünf Prozent. An einem Tag werden $200$ Fahrgäste kontrolliert.

  Die Stadt möchte eine Grenze festlegen, um bei geringem Erfolg die Anzahl der Kontrollen zu verringern: Wie viele Personen dürfen am Tag maximal aufgegriffen werden, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger Kontrollen durchgeführt werden, mindestens zehn Prozent beträgt?

  Die Parameter der Binomialverteilung:

  Eine Zufallsgröße $X$, die die Anzahl an Treffern (Personen ohne gültigen Fahrschein) zählt, ist bei diesem Beispiel binomialverteilt.
  Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ liegt bei $p = 5\,\% = 0,\!05$.
  Es werden pro Tag $n = 200$ Personen kontrolliert.
  Der Parameter $k$, der als Trefferanzahl in unserem Fall die Anzahl der kontrollierten Personen ohne Fahrschein angibt, ist gesucht.

  Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit für höchstens $\boldsymbol{k}$ Treffer mindestens zehn Prozent, also größer gleich $0,\!1$, sein soll und schreiben somit:

  $P(X \leq k) \geq 0,1$

  In diesem Beispiel müssen wir nicht das Gegenereignis nutzen, da wir die Wahrscheinlichkeit für höchstens $\boldsymbol{k}$ Treffer direkt mit der Verteilungsfunktion für kumulierte Wahrscheinlichkeiten bestimmen können

  Wir legen nun eine entsprechende Tabelle für ansteigende $k$-Werte an. Dafür können wir den Taschenrechner und die Funktion binomCdf mit $n = 200$ und $p = 0,\!05$ verwenden:

  $\begin{array}{c|c} k & P(X \leq k) \\ \hline 4& 0,\!026 \\ 5 & 0,\!062 \\ 6 & 0,\!123 \\ 7 & 0,\!213 \end{array}$

  Ermittlung des Parameters $\boldsymbol{k}$ aus der Tabelle:

  Wir sehen, dass für $k=6$ die Wahrscheinlichkeit erstmals größer als $0,\!1$ ist, nämlich $P(X \leq 6) = 0,\!123$.

  Antwort:

  Es dürfen maximal sechs Personen am Tag ohne Fahrschein aufgegriffen werden, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger Kontrollen stattfinden, mindestens zehn Prozent beträgt.

• Überprüfe die Aussagen zu den Parametern der Binomialverteilung.

  Tipps

  Es sind zwei Aussagen richtig.

  Der Münzwurf ist ein Bernoulli-Experiment mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p = 0,\!5$.

  Lösung

  Eine Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli-Kette, also einer binomialverteilten Zufallsgröße. Bei dieser Zufallsgröße werden der Anzahl an Treffern, die bei $n$ Versuchsdurchführungen erzielt werden können, die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zugeordnet. Wir können also die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferanzahl $k$ mit der Funktionsgleichung der Binomialverteilung berechnen:

  $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

  
  

  Für unsere Aussagen bedeutet dies Folgendes:

  
  

  • $p$ ist die Trefferanzahl.

  Diese Aussage ist falsch: $p$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit. Die Trefferanzahl wird hingegen durch die Variable $k$ beschrieben.

  
  

  • $k$ ist die Anzahl der Ausgänge des Zufallsexperiments.

  Diese Aussage ist falsch: Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zufallsexperiments mit zwei Ausgängen. Die Variable $k$ hingegen gibt die Trefferzahl an.

  
  

  • $n$ ist die Anzahl der Versuchsdurchführungen.

  Diese Aussage ist richtig.

  
  

  • $X$ ist die Zufallsgröße.

  Diese Aussage ist richtig: $X$ kann als Zufallsgröße alle möglichen Trefferzahlen annehmen.

• Entscheide, welcher Parameter gesucht ist.

  Tipps

  Die Funktionsgleichung der Binomialverteilung lautet:

  $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

  Dabei ist $X$ die Zufallsgröße, $n$ die Anzahl der Versuchsdurchführungen, $p$ die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und $k$ eine bestimmte Trefferanzahl.

  Überlege jeweils zunächst, welche Größen gegeben sind. Überlege dann, was die gesuchten Größe ist.

  Lösung

  Alle Aufgaben sind Beispiele einer Binomialverteilung. Eine Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli-Kette, also einer binomialverteilten Zufallsgröße.

  Die Funktionsgleichung der Binomialverteilung lautet:

  $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

  Dabei ist $X$ die Zufallsgröße, $n$ die Anzahl der Versuchsdurchführungen, $p$ die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und $k$ eine bestimmte Trefferanzahl.

  Die Binomialverteilung ordnet jeder möglichen Trefferzahl die dazugehörige Wahrscheinlichkeit zu.

  
  

  Wir betrachten nun die Beispiele:

  Beispiel 1:

  Ein Medikament wirkt bei einer Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von $80$ Prozent. Eine Gruppe von erkrankten Personen erhält das Medikament.
  Wie groß darf die Gruppe höchstens sein, damit mit mindestens $60$ Prozent Wahrscheinlichkeit alle Personen der Gruppe geheilt werden?

  Die Betrachtung jeder einzelnen Person stellt hier eine Versuchsdurchführung dar mit den möglichen Ausgängen „geheilt“ und „nicht geheilt“. Die gesuchte Größe ist die Anzahl an Patienten und Patientinnen, also die Anzahl an Versuchsdurchführungen.
  $\rightarrow$ gesuchter Parameter: $\color{#99CC00}{n}$

  Beispiel 2:

  Ein Hersteller von Glühlampen behauptet, dass $99$ Prozent der Lampen einwandfrei funktionieren. Bei einer Kontrolle wird eine Stichprobe von $150$ Lampen kontrolliert und die Anzahl der defekten Glühlampen protokolliert.
  Für welche Anzahl fehlerhafter Lampen liegt die Wahrscheinlichkeit bei höchstens zwei Prozent?

  Die Betrachtung jeder einzelnen Lampe ist hier eine Versuchsdurchführung. Es gibt dabei die möglichen Versuchsausgänge „defekt“ und „nicht defekt“. Die Anzahl der Versuchsdurchführungen ist gegeben mit $150$ zu kontrollierenden Lampen. Auch die Wahrscheinlichkeit $p$ ist gegeben. Gesucht ist hingegen die Anzahl an defekten Glühbirnen, also die Trefferanzahl.
  $\rightarrow$ gesuchter Parameter: $\color{#99CC00}{k}$

  Beispiel 3:

  Ein Firma, die Zahnpasta produziert, behauptet, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $60$ Prozent in einer Gruppe von $40$ Personen mindestens die Hälfte Zahnstein hat.
  Wie groß ist der Anteil von Personen mit Zahnstein in der Bevölkerung mindestens?

  Die Betrachtung jeder einzelnen Person stellt hier eine Versuchsdurchführung dar, mit den möglichen Ausgängen „Zahnstein“ und „kein Zahnstein“. Die gesuchte Größe ist die Wahrscheinlichkeit für Zahnstein, also die Trefferwahrscheinlichkeit.
  $\rightarrow$ gesuchter Parameter: $\color{#99CC00}{p}$