Bernoulli-Formel

Bernoulli-Formel Übung

• Gib an, wann die Bernoulli-Formel genutzt wird.

  Tipps

  Drei Aussagen sind richtig.

  Das Werfen einer Münze ist beispielsweise ein Zufallsexperiment, bei dem die Bernoulli-Formel genutzt werden kann.

  Überlege, wie du hier vorgehst.

  Lösung

  In dieser Aufgabe wird wiederholt, in welchen Fällen wir die Bernoulli-Formel nutzen können.

  Die Bernoulli-Formel kommt zum Einsatz, wenn wir eine Bernoulli-Kette, also eine Aneinanderreihung von ein und demselben Bernoulli-Experiment betrachten. Wenn wir die Anzahl der Treffer, die Länge der Bernoulli-Kette und die Trefferwahrscheinlichkeit gegeben haben, dann können wir die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferzahl berechnen.

  $\,$

  Für unsere Aussagen bedeutet das:

  1. Aussage:

  • Die Bernoulli-Formel nutzen wir zum Berechnen einer Wahrscheinlichkeit.

  Diese Aussage ist richtig: Mit der Bernoulli-Formel wird die Wahrscheinlichkeit für eine festgelegte Trefferzahl berechnet.

  2. Aussage:

  • Die Bernoulli-Formel nutzen wir zum Berechnen des Binomialkoeffizienten.

  Diese Aussage ist falsch: Der Binomialkoeffizient ist Teil der Bernoulli-Formel. Er gibt an, wie viele Pfade des zum Zufallsexperiment passenden Baumdiagramms für unsere Rechnung relevant sind.

  3. Aussage:

  • Die Bernoulli-Formel nutzen wir, wenn in jedem Durchgang mehr als zwei Ausgänge eines Zufallsexperiments betrachtet werden.

  Diese Aussage ist falsch: Die Bernoulli-Formel gilt nur für die mehrfache Durchführung eines Bernoulli-Experiments, also eines Zufallsexperiments, bei dem wir zwischen genau zwei Ausgängen unterschieden.

  4. Aussage:

  • Die Bernoulli-Formel nutzen wir, wenn es bei einem Zufallsexperiment genau zwei relevante Ausgänge gibt.

  Diese Aussage ist richtig: Die Bernoulli-Formel gilt für Zufallsexperimente, bei denen wir genau zwei relevante Ausgänge unterscheiden.

  5. Aussage:

  • Die Bernoulli-Formel nutzen wir, wenn ein Zufallsexperiment mit sich ändernder Wahrscheinlichkeit mehrmals durchgeführt wird.

  Diese Aussage ist falsch: Die Bernoulli-Formel gilt nur für Aneinanderreihungen von Zufallsexperimenten mit genau zwei Ausgängen, bei denen sich die Wahrscheinlichkeit nicht ändert.

  6. Aussage:

  • Die Bernoulli-Formel nutzen wir, wenn ein Zufallsexperiment mit gleichbleibender Wahrscheinlichkeit mehrmals durchgeführt wird.

  Diese Aussage ist richtig: Die Bernoulli-Formel gilt für mehrere Wiederholungen eines Zufallsexperiments mit genau zwei Ausgängen, bei denen sich die Wahrscheinlichkeit nicht ändert. Die entstehende Bernoulli-Kette repräsentiert eine Aneinanderreihung von ein und demselben Bernoulli-Experiment.

• Definiere die Bestandteile der Bernoulli-Formel.

  Tipps

  Überlege, was das Ergebnis der Bernoulli-Formel ist.

  Welche Variable steht schon in der Formel für das Ergebnis und bestimmt seine Bedeutung genauer?

  Der Binomialkoeffizient bestimmt eine Auswahl aus einer Grundmenge ohne Zurücklegen und ohne Betrachtung der Reihenfolge.

  Um ihn zu berechnen, brauchen wir die Anzahl der Grundmenge (Länge der Bernoulli-Kette) und die Anzahl der ausgewählten Elemente (Anzahl der Treffer).

  Lösung

  In dieser Aufgabe definieren wir die Bestandteile der Bernoulli-Formel. Das hilft uns, den Aufbau der Bernoulli-Formel besser zu verstehen.

  Im Allgemeinen berechnen wir mit der Bernoulli-Formel $P (X = k)$ die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern.

  Zum Beispiel können wir berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass von einer Gesamtzahl an Münzwürfen bei einer bestimmten Anzahl an Würfen Kopf nach oben zeigt.

  Wir betrachten die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir genau $k$ Treffer landen. Die Variable $k$ repräsentiert also die Anzahl der Treffer.

  Wenn wir errechnen möchten, wie wahrscheinlich es ist, dass zweimal Kopf nach oben zeigt, ist $k=2$. Wir berechnen also $P (X = 2)$.

  Die Variable $n$ steht für die Länge der Bernoulli-Kette, sprich die Anzahl an Versuchswiederholungen.

  Bei einer Gesamtanzahl von vier Münzwürfen entspricht $n=4$.

  Die Trefferwahrscheinlichkeit wird mit $p$ angegeben.

  Da es bei einem Münzwurf die Möglichkeiten Zahl und Kopf gibt, liegt die Wahrscheinlichkeit für eine der beiden Möglichkeiten bei $50$ Prozent:

  $p=0,\!5$

  Mit den beschriebenen Bestandteilen kann die Bernoulli-Formel schon aufgestellt werden:

  $P ( X = k)= \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1- p)^{n-k}$

  Sie lautet für unsere Berechnung der Wahrscheinlichkeit von zweimal Kopf bei vier Würfen:

  $P ( X = 2)= \displaystyle \binom{4}{2} \cdot 0,\!5^{2} \cdot (1- 0,\!5)^{4-2}$

  Der enthaltene Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ gibt die Anzahl der Pfade an, die zu unserer gewünschten Trefferzahl führen.

  In unserem Beispiel sind das:

  $\begin{array}{lllll} \displaystyle \binom{4}{2} & = & \dfrac{4!}{2! \cdot (4-2)!} & = & \dfrac{24}{2 \cdot 2} \\ \\ & = & \dfrac{24}{4}& = & 6 \end{array}$

  Nachvollziehen kann man das anhand der Auflistung der Pfade, die zu zweimal Kopf führen:

  Kopf – Kopf – Zahl – Zahl $\quad \vert \quad$ Zahl – Kopf – Kopf – Zahl

  Kopf – Zahl – Kopf – Zahl $\quad \vert \quad$ Zahl v Kopf – Zahl – Kopf

  Kopf – Zahl – Zahl – Kopf $\quad \vert \quad$ Zahl – Zahl – Kopf – Kopf

  Diese Anzahl der Pfade wird anschließend mit der zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeit $p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$ multipliziert.
  Sie beinhaltet die Trefferwahrscheinlichkeit ($p$) und die Gegenwahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer ($1-p$), welche beide so oft mit sich selbst multipliziert werden, wie unsere gewünschte Anzahl für einen Treffer bzw. keinen Treffer ist. (Dementsprechend stehen die Potenzen $k$ für die Durchführungen mit Treffer und $n-k$ für die Durchführungen ohne Treffer.)

  Die Wahrscheinlichkeit für jeden der oben aufgeführten Pfade lässt sich auf diese Weise folgendermaßen berechnen:

  $0,\!5^{2} \cdot (1-0,\!5)^{4-2} = 0,\!25 \cdot 0,\!25 = 0,\!0625$

  Zurückführen können wir diese Rechnung auf die Pfadregel. Sie definiert die Wahrscheinlichkeit eines Pfades als das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades. Für den Pfad „Kopf – Kopf – Zahl – Zahl“ heißt das beispielsweise:

  $0,\!5 \cdot 0,\!5 \cdot 0,\!5 \cdot 0,\!5 = 0,\!0625$

• Vervollständige die Bernoulli-Formel.

  Tipps

  Wie oft versucht Tom, die Murmel insgesamt zu finden?

  Überlege, welche Variable für die Anzahl der Versuche und damit die Länge der Bernoulli-Kette steht und setze ein.

  Wie oft soll Tom die Murmel finden und damit gewinnen?

  Überlege, welche Variable für die Anzahl der Treffer steht und setze ein.

  Schaue dir die Bedeutung der Variablen an und setze richtig ein.

  Lösung

  In dieser Aufgabe setzen wir gegebene Zahlen richtig in die Bernoulli-Formel ein.

  Um die Zahlen korrekt zuzuordnen, müssen wir uns die Situation genau anschauen:

  Tom versucht fünfmal die Murmel zu finden. Daraus ergibt sich:

  $n = 5$

  Da er unter fünf Bechern eine Murmel finden soll, beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit:

  $p = \dfrac{1}{5} = 0,\!2$

  Es soll die Wahrscheinlichkeit für zwei Gewinne berechnet werden:

  $k=2$

  Eingesetzt in die Bernoulli-Formel ergibt sich folgende Rechnung:

  $\begin{array}{llllll} P (X=k)& =& \displaystyle \binom{n}{k} &\cdot& p^{k} &\cdot &(1- p)^{n-k} \\ \\ P (X=2) & = & \displaystyle \binom{5}{2} & \cdot & 0,\!2^{2} & \cdot & (1- 0,\!2)^{5-2} \\ \\ & = & 10 & \cdot & 0,\!04 & \cdot & 0,\!8^{3} \\ & = & 0,\!4 & \cdot & 0,\!512 & &\\ & = & 0,\!2048 \\ &\approx & 20,\!5 \,\% \end{array}$

  Die Wahrscheinlichkeit $P (X=2)$, genau zweimal zu gewinnen, beträgt demnach $20,\!5$ Prozent.

• Ermittle die Bestandteile der Bernoulli-Formel und berechne die Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Um herauszufinden, welche Gewinnwahrscheinlichkeit es bei einem Zufallsexperiment gibt, zählst du alle Möglichkeiten und setzt sie, wie in dem Beispiel, in einen Bruch ein:

  Es gibt insgesamt sechs verschiedene Möglichkeiten.
  Wenn man nur bei den Augenzahlen $5$ und $6$ gewinnt, dann gibt es zwei Gewinnmöglichkeiten.
  Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt:

  $p = \dfrac{2}{6}\ = \dfrac{1}{3}$

  Den Binomialkoeffizienten berechnest du folgendermaßen:

  $n = 6 \quad\vert\quad k= 4$

  $\begin{array}{lll} \displaystyle \binom{n}{k} & = & \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \\ \\ \displaystyle \binom{6}{4} & = & \dfrac{6!}{4! \cdot (6-4)!} \\ \\ & = & \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }{(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} \\ \\ & = &\dfrac{720}{24 \cdot 2} \\ \\ & = & 15 \\ \end{array}$

  Mit einem Taschenrechner kannst du den Binomialkoeffizienten mit der Funktion $\text{nCr}$ bestimmen. In unserem Beispiel würden wir hierfür Folgendes eingeben:

  $6 ~ \text{nCr} ~ 4 \quad$ oder $\quad \text{nCr}(6,4)$

  Schreibe die errechnete Wahrscheinlichkeit $P ( X = k )$ von der Kommaschreibweise in die Prozentschreibweise und runde auf die erste Stelle nach dem Komma.

  Hierfür rechnest du:

  $\cdot~ 100$

  Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle $0, 1, 2, 3$ oder $4$ wird abgerundet. Die vorherige Ziffer bleibt gleich:

  $P ( X = k ) = 0,\!2574 \approx 25,\!7 \,\%$

  Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine $5, 6, 7, 8$ oder $9$ wird aufgerundet:

  $P ( X = k ) = 0,\!2576 \approx 25,\!8 \,\%$

  Lösung

  In dieser Aufgabe nutzen wir die Bernoulli-Formel zum Berechnen der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Trefferzahl. Um die Rechnung richtig aufzustellen, müssen wir uns die Situation genau anschauen:

  Lina würfelt fünfmal. Daraus ergibt sich:

  $n = 5$

  Da es bei dem Würfel insgesamt sechs verschiedene Möglichkeiten gibt und davon nur die drei geraden Augenzahlen zu einem Gewinn führen, beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit:

  $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,\!5$

  Es soll die Wahrscheinlichkeit für drei Gewinne berechnet werden:

  $k=3$

  Eingesetzt in die Bernoulli-Formel ergibt sich folgende Rechnung:

  $\begin{array}{llllll} P (X = k)& =& \displaystyle \binom{n}{k} &\cdot& p^{k} &\cdot &(1- p)^{n-k} \\ \\ P (X = 3) & = & \displaystyle \binom{5}{3} & \cdot & 0,\!5^{3} & \cdot & (1- 0,\!5)^{5-3} \\ \\ & = & 10 & \cdot & 0,\!125 & \cdot & 0,\!5^{2} \\ & = & 1,\!25 & \cdot & 0,\!25 & &\\ & = & 0,\!3125 \\ &\approx & 31,\!3 \,\% \end{array}$

  Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, genau dreimal zu gewinnen ($P (X = 3)$), gerundet $31,\!3$ Prozent.

  Den Binomialkoeffizienten rechnest du folgendermaßen aus:

  $\begin{array}{lll} \displaystyle \binom{n}{k} & = & \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \\ \\ \displaystyle \binom{5}{3} & = & \dfrac{5!}{3! \cdot (5-3)!} \\ \\ & = &\dfrac{120}{6 \cdot 2} \\ \\ & = & 10 \\ \end{array}$

  Hinweis: Du kannst den Binomialkoeffizienten auch direkt mit dem Taschenrechner bestimmen:

  $\quad \displaystyle \binom{n}{k} \quad \rightarrow \quad n~ \text{nCr} ~k \quad$ oder $\quad \text{nCr}(n,k)$

• Bestimme die Bestandteile der Bernoulli-Formel.

  Tipps

  Die Anzahl der Treffer kommt in jedem Teil der Gleichung vor: Du musst die Variable dreimal markieren.

  Die Wahrscheinlichkeiten für einen Treffer und für keinen Treffer ergeben zusammen $1$.

  Die Anzahl der Durchführungen und die Anzahl der Treffer sind beide Bestandteile des Binomialkoeffizienten.

  Lösung

  In dieser Aufgabe bestimmen wir die Bestandteile der Bernoulli-Formel. Das hilft uns, den Aufbau der Bernoulli-Formel zu wiederholen.

  Im Allgemeinen berechnen wir mit der Bernoulli-Formel $P ( X = k )$ die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern. Wir betrachten also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir genau $k$ Treffer landen.

  Die Variable $k$ repräsentiert demnach die Anzahl der Treffer.

  Mit dem Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ wird die Anzahl der Pfade festgelegt, die zu unserer gewünschten Trefferzahl führt. Hierfür wird neben $k$ die Variable $n$ benötigt, die für die Länge der Bernoulli-Kette, sprich die Anzahl an Versuchswiederholungen, steht.

  Die Trefferwahrscheinlichkeit wird mit $p$ angegeben. Sie wird so oft mit sich selbst multipliziert, wie unsere gewünschte Anzahl für einen Treffer ist. Dementsprechend besitzt $p$ die Potenz $k$, welche für die Durchführungen mit Treffer steht.

  Die Gegenwahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer wird durch den Ausdruck ($1-p$) berechnet. Diese wird so oft mit sich selbst multipliziert, wie unsere gewünschte Anzahl für keinen Treffer ist. Sie besitzt deshalb die Potenz $n-k$, die die Durchführungen ohne Treffer angibt. $(1-p)^{n-k}$ steht demnach für die Wahrscheinlichkeit und Durchführungen mit keinem Treffer.

  Richtig markiert sieht die Formel folgendermaßen aus: $P ( X = \color{violet}{k}\color{black}{)= }\displaystyle \color{lightskyblue}{\binom{n}{k}} \color{black}{ ~\cdot~ }\color{greenyellow}{p}^{\color{violet}{k}} \color{black}{~\cdot~ }(1- \color{greenyellow}{p}\color{black}{)}^{\color{gold}{n}\color{black}{~-~}\color{violet}{k}}$

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten mit der Bernoulli-Formel.

  Tipps

  Um herauszufinden, welche Gewinnwahrscheinlichkeit es bei einem Glücksrad gibt, zählst du alle Unterteilungen und setzt sie, wie in dem Beispiel, in einen Bruch ein:

  Es gibt in dem Glücksrad auf dem Bild acht Unterteilungen.
  Bei zwei roten Feldern gewinnt man.
  Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt:

  $p = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = 0,\!25$

  Die Drehungen/Versuche entsprechen der Länge der Bernoulli-Kette, die erhofften Gewinne definieren die Trefferzahl: Setze die Werte richtig in die Bernoulli-Formel ein.

  Lösung

  In dieser Aufgabe nutzen wir die Bernoulli-Formel zum Berechnen verschiedener Wahrscheinlichkeiten einer bestimmten Trefferzahl. Hierfür müssen wir die Länge der Bernoulli-Kette (Anzahl der Versuche), die Trefferzahl (erhoffte Gewinne) und die Trefferwahrscheinlichkeit (abhängig vom Glücksrad) in die Formel einsetzen:

  $P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1- p)^{n-k}$

  Den enthaltenen Binomialkoeffizienten berechnen wir mit folgender Formel:

  $\begin{array}{lll} \displaystyle \binom{n}{k} & = & \dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \\ \end{array}$

  Alle Glücksräder haben gemeinsam, dass sie vier Unterteilungen haben: Ein Spiel wird gewonnen, wenn die Nadel auf einem roten Feld stehen bleibt.

  Für unsere verschiedenen Spielvarianten ergeben sich hierdurch folgende Rechnungen:

  Erstes Glücksrad:

  • rote Felder auf dem Glücksrad: $1$
  • Drehungen: $7$
  • erhoffte Gewinne: $3$

  $p = \dfrac{1}{4} = 0,\!25 \quad \vert \quad n = 7 \quad \vert \quad k=3$

  $\begin{array}{llllll} P_1 (X = 3) & = & \displaystyle \binom{7}{3} & \cdot & 0,\!25^{3} & \cdot & (1- 0,\!25)^{7-3} \\ \\ & = & 35 & \cdot & 0,\!015625 & \cdot & 0,\!31640625\\ & \approx & 0,\!173 \\ & = & \color{#99CC00}{17,\!3 \,\%} \end{array}$

  Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit $P_1 (X = 3)$ gerundet $17,\!3$ Prozent.

  Nebenrechnung:

  $\displaystyle \binom{7}{3} = \dfrac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \dfrac{5040}{6 \cdot 24} = \dfrac{5040}{144} = 35$

  Zweites Glücksrad:

  • rote Felder auf dem Glücksrad: $2$
  • Drehungen: $6$
  • erhoffte Gewinne: $4$

  $p = \dfrac{2}{4} = 0,\!5 \quad \vert \quad n = 6 \quad \vert\quad k=4$

  $\begin{array}{llllll} P_2 (X = 4) & = & \displaystyle \binom{6}{4} & \cdot & 0,\!5^{4} & \cdot & (1- 0,\!5)^{6-4} \\ \\ & = & 15 & \cdot & 0,\!0625 & \cdot & 0,\!25 \\ & \approx & 0,\!234 \\ & = & \color{#99CC00}{23,\!4 \,\%} \end{array}$

  Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit $P_2 (X = 4)$ gerundet $23,\!4$ Prozent.

  Nebenrechnung:

  $\displaystyle \binom{6}{4} = \frac{6!}{4! \cdot (6-4)!} = \frac{720}{24 \cdot 2} = \frac{720}{48} = 15$

  Drittes Glücksrad:

  • rote Felder auf dem Glücksrad: $3$
  • Drehungen: $8$
  • erhoffte Gewinne: $5$

  $p = \dfrac{3}{4} = 0,\!75 \quad \vert \quad n = 8 \quad \vert\quad k=5$

  $\begin{array}{llllll} P_3 (X = 5) & = & \displaystyle \binom{8}{5} & \cdot & 0,\!75^{5} & \cdot & (1- 0,\!75)^{8-5} \\ \\ & = & 56 & \cdot & 0,\!2373046875 & \cdot & 0,\!015625 \\ & \approx & 0,\!208 \\ & = & \color{#99CC00}{20,\!8 \,\%} \end{array}$

  Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit $P_3 (X = 5)$ gerundet $20,\!8$ Prozent.

  Nebenrechnung:

  $\displaystyle \binom{8}{5} = \frac{8!}{5! \cdot (8-5)!} = \frac{40320}{120 \cdot 6} = \frac{40320}{720} = 56$

  Viertes Glücksrad:

  • rote Felder auf dem Glücksrad: $2$
  • Drehungen: $9$
  • erhoffte Gewinne: $6$

  $p = \dfrac{2}{4} = 0,\!5 \quad \vert \quad n = 9 \quad \vert \quad k=6$

  $\begin{array}{llllll} P_4 (X = 6) & = & \displaystyle \binom{9}{6} & \cdot & 0,\!5^{6} & \cdot & (1- 0,\!5)^{9-6} \\ \\ & = & 84 & \cdot & 0,\!015625 & \cdot & 0,\!125 \\ & \approx & 0,\!164 \\ & = & \color{#99CC00}{16,\!4 \,\%} \end{array}$

  Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit $P_4 (X = 6)$ gerundet $16,\!4$ Prozent.

  Nebenrechnung:

  $\displaystyle \binom{9}{6} = \frac{9!}{6! \cdot (9-6)!} = \frac{362880}{720 \cdot 6} = \frac{362880}{4320} = 84$

  Fünftes Glücksrad:

  • rote Felder auf dem Glücksrad: $1$
  • Drehungen: $4$
  • erhoffte Gewinne: $2$

  $p = \dfrac{1}{4} = 0,\!25 \quad \vert \quad n = 4 \quad \vert \quad k=2$

  $\begin{array}{llllll} P_5 (X = 2) & = & \displaystyle \binom{4}{2} & \cdot & 0,\!25^{2} & \cdot & (1- 0,\!25)^{4-2} \\ \\ & = & 6 & \cdot & 0,\!0625 & \cdot & 0,\!5625 \\ & \approx & 0,\!211 \\ & = & \color{#99CC00}{21,\!1 \,\%} \end{array}$

  Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit $P_5 (X = 2)$ gerundet $21,\!1$ Prozent.

  Nebenrechnung:

  $\displaystyle \binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$